几何法求二面角、已知二面角求其他量问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦几何法求二面角及逆向应用，通过多样化几何体情境构建正向推理与逆向计算的完整训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求二面角|3例+3变式|含证明、二面角求解及线面角综合，涉及三棱柱、翻折体等|从线面垂直证明到二面角作证算，构建空间角求解完整逻辑链| |已知二面角求其他量|3例+3变式|给定二面角求距离、长度及体积，涵盖旋转体、四棱锥等|逆向应用二面角条件，深化空间几何量关系的推理与转化|

几何法求二面角、已知二面角求其他量问题专项训练 几何法求二面角、已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求二面角 已知二面角求其他量问题 考点一 几何法求二面角 例1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 例2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 例3．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 变式1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 变式2．（25-26高二上·湖南·期中）如图1，在平面四边形中，，．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的三棱锥．    (1)证明：． (2)当点到平面的距离最大时，求三棱锥外接球的表面积． (3)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 变式3．（25-26高一下·广西来宾·月考）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是棱的中点，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角． 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 例2．（25-26高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点. (1)求证：平面； (2)已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值； (3)在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由. 例3．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 变式1．（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 变式2．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． (1)求； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的大小为，求． 变式3．（24-25高三上·广东惠州·月考）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $几何法求二面角、已知二面角求其他量问题专项训练 几何法求二面角、已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求二面角 已知二面角求其他量问题 考点一 几何法求二面角 例1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用三棱锥体积的等积性，结合正弦定理、线面角的定义进行求解即可.. 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 在中，，则， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 例2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 例3．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得； （2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得即为所求角，然后在直角三角形中计算可得； （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得. 【详解】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为 变式1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 变式2．（25-26高二上·湖南·期中）如图1，在平面四边形中，，．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的三棱锥．    (1)证明：． (2)当点到平面的距离最大时，求三棱锥外接球的表面积． (3)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明线面垂直来证得. （2）利用几何体外接球半径的求法求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积. （3）根据面面角的定义作出平面与平面的夹角（或其补角），解三角形计算出夹角的余弦值. 【详解】（1）依题意，折叠后，，，， 所以, 延长，过作，交的延长线于， 连接，则， 由于平面， 所以平面，由于平面，所以. （2）当点到平面的距离最大时，平面平面， 由于平面平面，平面，， 所以平面，由于平面，所以， . 设是的中点，是三角形的外心，是三角形的外心， 是三棱锥外接球的球心. 连接，则， 连接，则平面，平面，    由于，所以四边形是正方形. 设外接球的半径为，由正弦定理得， 则，所以，则， 所以三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积为. （3）当时，，所以， 在内，过作，交于，      则是平面与平面的夹角（或其补角） 在中，， ，则. 在中，, 所以， 所以，在中，， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高一下·广西来宾·月考）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是棱的中点，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知侧面底面，得平面，则，又侧面是正三角形，可得，即可得证； （2）由已知，作出二面角的平面角，证出是直角三角形，则可求出二面角的大小. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面， 平面，得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，，平面， 所以平面． （2）如图，取，中点、，连接、、， 因为底面为矩形，侧面是正三角形， 所以，，且且都在平面内， 所以平面，又， 所以平面，，平面， 所以，， 所以就是二面角的平面角， 由（1）知平面，因为，所以平面， 面，则， 在直角三角形中，， 又正三角形中，则， 所以，所以， 即二面角为． 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直得线面垂直； （2）连接，由平面，得到，由∥平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面∥平面，将问题转化为平面与平面夹角的正切值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【详解】（1）∵为上底面圆的直径，点在上底面圆周上， ∴，∵∥，∴， 又∵平面，且平面，∴， ∵，且平面， ∴平面. （2）连接，由（1）平面， ∴就是直线与平面所成的角， 即， ∴且，∴，， ∴为直角三角形，∴为弧的中点，∴ 又，∴， 又∵平面平面，且交线为，， ∴平面 ∴点到平面的距离为， ∵∥平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ∵，∴， ∵， ∴ ∴，∴点到平面的距离为. （3）分别取，的中点，，连接，，，则∥，∥， ∵且平面，，且平面， ∴平面∥平面， ∵平面与平面夹角正切值为， ∴平面与平面夹角的正切值为， ∵为的中点，， ∴，， 又∵且平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面， 连接，过点作于点， ∵平面平面，且平面， ∴平面， 平面，, 过点作于点，连接， ，平面， 平面，又平面，， ∴为平面与平面夹角，即， 设，则， ∵，∴， 直角三角形中，， 又∵∥，∴， 在中，由射影定理知，∴， 在直角中，，∴， 在直角中，， 整理得，解得，即， ∴. 例2．（25-26高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点. (1)求证：平面； (2)已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值； (3)在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)是，理由见解析. 【分析】（1）取中点，连接，先证明四边形是平行四边形，得出.，进而根据线面平行的判定定理，即可得出结论； （2）过作于，连接，可证为二面角的平面角，求解即可； （3）根据已知分别求出，判断是否成立，结合平面的基本性质可得结论. 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为为的中点，所以且.， 因为底面四边形是矩形，为棱的中点，所以且． 所以且，故四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）过作于，连接， 平面平面，平面平面，平面， 因为，所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角或其补角， 设，由余弦定理得， 又， 所以，所以， 所以， 所以， 因为平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为， 所以，平方得， 所以，整理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． （3） 因为是正三角形，，则，， 所以，，，由（2）知，则， 在中， 在中， 而， 综上，，又都在平面内，则三点共线， 由平面，即平面，，则平面， 又平面，而，则平面. 例3．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)与不垂直，理由见解析 (2)． (3) 【分析】（1）假设，得到线面垂直，，由三角形全等得到，于是，与矛盾，得到结论； （2）作出辅助线，证明出线面垂直，为二面角的平面角，设，表达出各边长，利用得到方程，解得，求出，，由勾股定理得到方程，求出； （3）作出辅助线，由（2）知平面，设，则点E到平面的距离，又，设与平面所成角的大小为θ，则，变形后，利用函数单调性求出取值范围，得到答案. 【详解】（1）直线与不垂直，理由如下： 事实上，假设，又，，平面， 所以平面．又平面，所以． 在和中，，， 所以，所以． 于是，与矛盾． 所以，假设不成立，即与不垂直； （2）设点A在平面内的射影为O，在平面内，过点O作，垂足为P， 连接，因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角．即， 所以， 点O作，垂足为Q，连接，同理可得． 在中，，， 故∽，所以，即， 解得，． 连接并延长交于点F， 因为为边长为2的等边三角形，， 故，则F为的中点，且． 设，在中，，，， 因为，所以，由勾股定理得， 在中，． 因为，所以，解得． 其中， 此时，所以． （3）由已知，点A在底面的射影O在的角平分线上． 在平面内，过点O作，垂足为P． 连接，在平面内，过点O作， 由（2）知，平面，又平面，所以． 又，所以平面． 易得，，，， ． 设，则点E到平面的距离，， 又， 设与平面所成角的大小为θ，则， 因为，， 当时，取得“”． 所以，与平面所成角的正弦值的取值范围为． 变式1．（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 变式2．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． (1)求； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据平面得平面平面，从而可得平面，故为直角三角形，从而可求； （2）可证为的中点，从而可利用等积转化求三棱锥的体积； （3）过点作的平行线交于点，可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可求的值 . 【详解】（1）∵平面，平面，∴平面平面， 又∵，平面，平面平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为直角三角形， ∴，即． （2）连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，可知为的中点，而平面平面，故， 在中，，，， ∴，，， ∴ ． （3）由题意知平面，过点作的平行线交于点， ∴平面，再作（为垂足）， 因为平面，故，而平面， 所以平面，而平面，故， ∴为二面角的平面角，， 由（2）可知，∴是等腰直角三角形， 同理也是等腰直角三角形，从而， 在中，，，∴， 不妨设，，则且， ∴，∴． 变式3．（24-25高三上·广东惠州·月考）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面垂直关系可得，由勾股定理可得，则∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角的平面角为，设，根据题意结合三角知识运算求解即可. 【详解】（1）因为底面，且底面，则， 又因为，，平面， 可得平面，由平面，所以， 因为，，，即， 可得，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）若，设，则， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 可得，， 因为底面，且底面，则， 且，则，可得， 因为底面，且底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，则， 可得，， 则，即， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 且，则，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $