精品解析：甘肃兰州市学府致远学校2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

兰州市学府致远学校2025-2026学年度第二学期高一年级期中测试 数学 注意事项： 1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，若，则（ ） A. -1 B. -7 C. 1 D. 7 5. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，，且，则与的夹角（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 平均数是6 C. D. 10. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 11. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 13. 在中，若，则___________． 14. 两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下： A组 5 6 7 8 B组 6 8 9 ①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”） ②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”） 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是不共线的两个向量． （1）若，证明：A，B，C三点是否共线； （2）若与共线，求实数k的值． 16. 已知向量． （1）当时，求实数的值． （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 17. 已知，且是锐角． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求和的值． 18. 向量，函数． （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校2025-2026学年度第二学期高一年级期中测试 数学 注意事项： 1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由，得． 4. 已知，，若，则（ ） A. -1 B. -7 C. 1 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得. 5. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10， 因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 6. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 7. 已知向量，满足，，且，则与的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 因为，， 所以. 8. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为 ，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 平均数是6 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助众数定义可得，再利用中位数与平均数定义计算即可得. 【详解】由这组数据的众数为8，故，则这组数据为， 则这组数据中位数是8，平均数为， 故A、B、D正确，C错误. 10. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用和差角公式、二倍角公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是. 故选：BC 11. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理求，根据正弦函数性质，结合大边对大角判断判断A选项；利用正弦函数的单调性与诱导公式判断的大小判断B选项；利用正弦函数的单调性与对称性确定的关系判断C选项；根据三角形性质可得，结合大边对大角可得为钝角，根据余弦定理列方程求的范围判断D选项. 【详解】对于A选项，， 根据正弦定理， ，，， 所以有两解，所以有两解，故A正确； 对于B选项，若为锐角三角形，则，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，则，B正确； 对于C选项，因为、，则、， 因为，所以或或， 若，则；若，则； 若，则，这与的内角和定理矛盾. 综上所述，为等腰或直角三角形，C错误； 对于D选项，因为为的三边，所以，故， 当时，最大边为，钝角三角形中最大角为钝角， 由余弦定理， 所以， 化简得，解得，结合可得，D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 【答案】1 【解析】 【分析】运用正弦的和角公式即可求解. 【详解】. 13. 在中，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知边，角以及角的余弦值，可先由同角三角函数关系求出，再由正弦定理求出. 【详解】在△ABC中，因为 ，所以 又因为 ，所以， 由正弦定理，得， 所以. 14. 两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下： A组 5 6 7 8 B组 6 8 9 ①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”） ②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】易知两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，所以； 两组同学该周课外运动时长的方差分别为， ，所以， 因此. 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是不共线的两个向量． （1）若，证明：A，B，C三点是否共线； （2）若与共线，求实数k的值． 【答案】（1）证明：由， 得， ， 因此向量与共线，且有公共点， 所以，B，C三点共线. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证.. （2）利用共线向量定理列式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由与共线得存在实数，使得， 即，而向量与不共线，则，解得，， 所以实数k的值为. 16. 已知向量． （1）当时，求实数的值． （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由已知，，， 由有 ，解得． 【小问2详解】 由已知，， 由有，解得， 于是． 17. 已知，且是锐角． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求和的值． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系式即可求出； （2）利用二倍角公式即可； （3）利用两角差的正切公式和两角和的正弦公式即可求出. 【小问1详解】 ，且是锐角，， . 【小问2详解】 根据二倍角公式可得， . 【小问3详解】 根据两角差的正切公式得， 根据两角和的正弦公式得. 18. 向量，函数． （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算公式计算得到的表达式，利用三角恒等变换公式对进行化简，利用正弦函数的周期公式求最小正周期；再根据正弦函数的单调减区间的求解方法，结合复合函数单调性规律，求出的单调减区间； （2）根据平移规则求出的解析式，利用角的拆分，结合两角差的余弦公式进行求解. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为; 令，解得， 故的单调减区间为； 【小问2详解】 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 即， ，即， 由，得，则， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $