一次函数、二次函数、反比例函数的实际应用问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

一次函数、二次函数、反比例函数的实际应用问题专项训练 一次函数、二次函数、反比例函数的实际应用问题专项训练 考点目录 一次函数的实际应用问题 二次函数的实际应用问题 反比例函数的实际应用问题 考点一 一次函数的实际应用问题 例1．（2026·江苏南京·一模）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水．第分钟时，再打开出水管排水；第分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)进水速度是_____升/分钟； (2)求段的函数表达式及的值； (3)在整个过程中，某两个时刻容器的水量都为升，且这两个时刻的差为分钟，直接写出的值． 例2．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如表所示： 价格品种 品种 品种 进价（元盒） 标价（元盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），所进蓝莓能够全部售出，其中品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 例3．（2026·山东济南·二模）雪野湖景区纪念品店花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件．两种产品的成本价与销售价如下表所示： 产品名称 成本价（元/件） 销售价（元/件） 雪野鱼粉速食包 15 22 莱芜梆子文创钥匙扣 25 35 (1)求该店第一次购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件？ (2)五一假期临近，该店第二次购进这两种产品共120件．此次进货预算不超过2600元，且全部售完．进货时，雪野鱼粉速食包的成本价比原来提高了，莱芜梆子文创钥匙扣的成本价打九折，两种产品的售价保持不变．问：纪念品店此次购买雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件时，才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何进货利润最大 素材1 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产． 素材2 通过调查，销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元． 素材3 该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的． 问题解决 (1)任务1：请你运用所学知识，求出每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润． (2)任务2：该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 变式2．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 变式3．（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 考点二 二次函数的实际应用问题 例1．（2026·湖北随州·二模）项目式学习： 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1．由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2．汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 10 20 30 40 刹车距离 0 8 24 48 80 (1)【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速（单位：）为横坐标，以刹车距离（单位：m）为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的关于的函数表达式． (2)【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 例2．（2026·江苏泰州·一模）为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 例3．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆. (1)若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； (2)若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽. (3)求这块菜地的最大面积？ 变式1．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机快递配送，用于紧急配送业务．无人机从物流基地出发，匀速飞往某菜鸟驿站，飞行距离为16千米．若采用传统车辆配送，公路距离为30千米，车辆的平均速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0．1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该菜鸟驿站，0.2小时后接到通知，需要在接到通知10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． (3)无人机快递配送业务的服务费是每单10元，每月可配送300单．经过一段时间的试运营，发现每单服务费每降低1元，每月可增加50单．当每单服务费为多少元时，该菜鸟驿站每月无人机配送服务费总额最大？ 变式2．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 变式3．（2026·山西临汾·一模）综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … (1)【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 考点三 反比例函数的实际应用问题 例1．（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 例2．（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 例3．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 变式1．（2026·辽宁大连·一模）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题： (1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 变式2．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 变式3．（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数、二次函数、反比例函数的实际应用问题专项训练 一次函数、二次函数、反比例函数的实际应用问题专项训练 考点目录 一次函数的实际应用问题 二次函数的实际应用问题 反比例函数的实际应用问题 考点一 一次函数的实际应用问题 例1．（2026·江苏南京·一模）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水．第分钟时，再打开出水管排水；第分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)进水速度是_____升/分钟； (2)求段的函数表达式及的值； (3)在整个过程中，某两个时刻容器的水量都为升，且这两个时刻的差为分钟，直接写出的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）分钟进水升，即可求解； （）据函数图象，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解； （）设段的函数表达式为，设这两个时刻分别为和，根据这两个时刻的差为分钟，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得：分钟进水升， ∴进水速度是（升分钟）； （2）解：进、出水管同时开了分钟，到分钟时水量从升降到升，净减少升 ∴出水速度为 (升/分钟)， ∴剩余的升水的出水时间为(分钟)， ∴， ∴， ∵端点为， 设：段函数表达式为， 得， 解得， ∴段函数表达式为； （3）解：设段的函数表达式为， 将点代入得， 解得，即， 设这两个时刻分别为和，且在段，在段， 则，得， ，得， ∵这两个时刻的差为分钟，即， ∴， 解得． 例2．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如表所示： 价格品种 品种 品种 进价（元盒） 标价（元盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），所进蓝莓能够全部售出，其中品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，B品种的蓝莓购进盒； (2)当品种购进盒，品种购进盒时，利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒，由题意可得，然后解方程组即可； （）设品种蓝莓购进盒，总利润为元，则品种蓝莓购进盒，由题意可得，解得，且为正整数，然后根据题意可得，再由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得， 解得， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒； （2）解：设品种蓝莓购进盒，总利润为元，则品种蓝莓购进盒， 由题意可得， 解得，且为正整数， 由题意可得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时，， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，利润最大，最大利润是元． 例3．（2026·山东济南·二模）雪野湖景区纪念品店花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件．两种产品的成本价与销售价如下表所示： 产品名称 成本价（元/件） 销售价（元/件） 雪野鱼粉速食包 15 22 莱芜梆子文创钥匙扣 25 35 (1)求该店第一次购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件？ (2)五一假期临近，该店第二次购进这两种产品共120件．此次进货预算不超过2600元，且全部售完．进货时，雪野鱼粉速食包的成本价比原来提高了，莱芜梆子文创钥匙扣的成本价打九折，两种产品的售价保持不变．问：纪念品店此次购买雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件时，才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)第一次购进雪野鱼粉速食包10件，莱芜梆子文创钥匙扣90件 (2)第二次购进雪野鱼粉速食包17件，购进莱芜梆子文创钥匙扣103件，最大利润为1381元 【分析】（1）设该店第一次购进雪野鱼粉速食包件，莱芜梆子文创钥匙扣件，根据“花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件”及表格成本价列方程组求解即可； （2）设第二次购进雪野鱼粉速食包件，则购进莱芜梆子文创钥匙扣件，根据“此次进货预算不超过2600元”列不等式求出m的值，设总利润为元，求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设该店第一次购进雪野鱼粉速食包件，莱芜梆子文创钥匙扣件， 根据题意得： 解得： 答：第一次购进雪野鱼粉速食包10件，莱芜梆子文创钥匙扣90件； （2）解：设第二次购进雪野鱼粉速食包件，则购进莱芜梆子文创钥匙扣件，由题意得：， 设总利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 又取整数， 当时，， 莱芜梆子文创钥匙扣件数是， 答：第二次购进雪野鱼粉速食包17件，购进莱芜梆子文创钥匙扣103件，最大利润为1381元． 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何进货利润最大 素材1 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产． 素材2 通过调查，销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元． 素材3 该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的． 问题解决 (1)任务1：请你运用所学知识，求出每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润． (2)任务2：该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元 (2)购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，总利润为元，根据题意列得不等式组，求得，再求得总利润，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元， 根据题意得， 解得， 答：每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元； （2）解：设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，总利润为元， 根据题意得， 解得， 总利润， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ， 答：购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元． 变式2．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)一共有3种方案 (3)采购2台甲种机器人，3台乙种机器人 【分析】（1）设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件列方程求解； （2）设购进甲种机器人y台，根据每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台列不等式组求解即可； （3）设总价为W万元，根据题意列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据题意得：， 解得， 则， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设购进甲种机器人y台，由题意得： ， 解得． ∵y为整数， ∴或3或4， ∴一共有3种方案； （3）解：设总价为W万元，则． ∵， ∴当y取最小值时，W取最小值．即当时，W的最小值为4.4万元，此时，采购2台甲种机器人，3台乙种机器人． 变式3．（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元． 考点二 二次函数的实际应用问题 例1．（2026·湖北随州·二模）项目式学习： 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1．由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2．汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 10 20 30 40 刹车距离 0 8 24 48 80 (1)【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速（单位：）为横坐标，以刹车距离（单位：m）为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的关于的函数表达式． (2)【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【答案】(1)①图象见解析；② (2)汽车超速，见解析 【分析】（1）①通过描点、连线就可以得出函数的大致图象； ②由函数图象，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）令，求得的值，对比即可 【详解】（1）解：①函数图象如图所示： ②由图象可得，函数图象经过原点， 设抛物线的表达式为 代入得， 解得 ∴函数表达式为： （2）解：由题意得，将代入得，， 整理得， 解得，（舍去） 而，而 ， 故汽车超速． 例2．（2026·江苏泰州·一模）为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元 (2)当时，每天的利润最大，最大利润为1000元 【分析】（1）设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元； （2）解：由题意得，， ，对称轴为直线，且为整数， 当时，最大 答：当时，每天的利润最大，最大利润为1000元． 例3．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆. (1)若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； (2)若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽. (3)求这块菜地的最大面积？ 【答案】(1)， (2)米 (3)平方米 【分析】（1），可得米，结合，可求得的取值范围； （2）根据题意可得方程，解方程即可求得答案； （3）设菜地的面积为平方米，可得，根据二次函数的图象和性质，即可求得答案； 【详解】（1）解：根据题意可知． 根据题意可知米． 根据题意可知，即 解得． （2）解：根据题意，得． 解方程，得，（舍去）． 所以米． （3）解：设菜地的面积为平方米． 根据题意，得． 因为是的二次函数，该函数图象开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，且， 所以当时，可以取得最大值，最大值为平方米． 变式1．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机快递配送，用于紧急配送业务．无人机从物流基地出发，匀速飞往某菜鸟驿站，飞行距离为16千米．若采用传统车辆配送，公路距离为30千米，车辆的平均速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0．1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该菜鸟驿站，0.2小时后接到通知，需要在接到通知10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． (3)无人机快递配送业务的服务费是每单10元，每月可配送300单．经过一段时间的试运营，发现每单服务费每降低1元，每月可增加50单．当每单服务费为多少元时，该菜鸟驿站每月无人机配送服务费总额最大？ 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)48千米/时 (3)8元 【分析】（1）设无人机的速度为x千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据剩余路程提高后的速度剩余可用时间列不等式． （3）构建每单服务费订单量的二次函数，根据二次函数性质，求最大值． 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 可得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，符合题意， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，根据题意得 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． （3）设每单服务费降低y元，每月服务费总额为W元，则： ． 当时，W取最大值3200元，此时，每单服务费为元． 变式2．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 【答案】(1)， ； (2) (3)且． 【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可； （2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可； （3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示 得， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 由， 故最高点P的坐标为； （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故； （3）解：根据题意，得， 故， 整理，得， 直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ， 整理，得， 解得； 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 解得， 因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故且． 变式3．（2026·山西临汾·一模）综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … (1)【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 【答案】(1)任务1：， 任务2：当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米 (2) 【分析】（1）任务1：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点，设抛物线的解析式是，用待定系数法求出函数表达式； 任务2：解方程求出的值，再根据求出水火箭飞行的水平距离； （2）任务3：由可知，设发射台的高度为米，则抛物线的解析式为，求出点、的坐标，分别求出当抛物线经过点、时的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）任务1：解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点， 设抛物线的解析式是， 可得：， 解得：， ； 任务2：当时， 可得：， 解得：，， ， ， 当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米； （2）解：，， ， ， 整理可得：， 设发射台的高度为米， 则抛物线的解析式为， 当抛物线经过点时，则米， 点的坐标为， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时，则， 点的坐标为， 可得：， 解得：， ． 考点三 反比例函数的实际应用问题 例1．（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【答案】(1)，图像见解析 (2)点左侧所挂物体所受的重力为 (3) 【分析】（1）根据表格信息可得，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为，可得，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， 如图， （2）解：设重力为， ∴， 解得：． （3）解：∵弹簧测力计的示数不超过， ∴， 解得：， ∵为一根长的匀质木杆的中点， ∴， 综上：． 例2．（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【答案】(1) (2)①（）；②见解析 【分析】（1）根据题意，设，再将，代入求解即可； （2）①设F与x之间的解析式为，将图2中的点代入求解，得到，结合，可得，再根据及，即可求得x的取值范围； ②结合x的取值范围，用描点法画图即可． 【详解】（1）解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设， 根据题意，得时，， ， ， 与L之间的函数解析式是． （2）解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过， ， ， 与x之间的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②画出图象如图所示． 例3．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由（1）得， 在中，当时，， 解得或（舍去）， 小时， 答：这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次． 变式1．（2026·辽宁大连·一模）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题： (1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）理解题意，设，再把代入，求出，即可作答． （2）理解题意，直接把代入，得，即可作答． （3）唱名对应的吸管的振动频率是，结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵f是l的反比例函数． ∴设 依题意，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得出f与l之间的函数表达式为； 依题意，把代入，得， 即吸管长度为时，对应的振动频率为， （3）解：依题意，唱名对应的吸管的振动频率是， 由（1）得出f与l之间的函数表达式为； 则， ∴， 即在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是． 变式2．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 变式3．（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中 【分析】（1）利用待定系数法可求出段反比例函数解析式，进而得出答案； （2）利用待定系数法可求出段一次函数解析式，再把，代入段解析式求出对应的y值，把，代入段解析式求出对应的y值，进行比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设段反比例函数解析式为 ， 把点 代入得 ，解得 ， ∴段反比例函数解析式为： ； （2）解： 设段解析式为 ， 把，，代入得 ，解得 ， 即段解析式为 ， 把，代入段解析式得 ， 把，代入段解析式得 ， 因为 ， 因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $