2026年九年级中考数学二轮重难点二次函数的综合应用专题复习

2026年九年级中考数学二轮重难点二次函数的综合应用专题复习 1．（24-25九年级下·山东青岛·开学考试）如图1，河面上架有一座彩虹桥，桥的支撑梁呈抛物线形．建立如图2所示的平面直角坐标系（桥面所在直线为x轴），已知，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当桥面离河面的高度是时，求抛物线形支撑梁在河面上的跨度是多少米？ (3)若点P为线段上一点，以，为邻边做平行四边形，当点Q在抛物线上时，求P点的坐标． 2．（2025·贵州黔东南·一模）拋物线形实际问题与平移变换结合如图（1），某塑料大棚的一端由一个矩形支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图（2）所示． (1)求该塑料大棚最高点到地面的距离． (2)小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图（3），然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你给出解答． ①将抛物线向右平移，设拋物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． ②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围． 3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆，围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的边为，面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当花圃面积为时，求的长； (3)当取何值时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ 5．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图为一个汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．如图，棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知点在该函数图象上． (1)求车棚支柱的高度； (2)若一辆箱式货车按如图所示的方式在停车棚下避雨，货车截面可以看作长，宽的矩形，请通过计算判定货车是否能够完全停到车棚内（即点位于点正下方时，点是否在抛物线下方）． 6．（2026·宁夏银川·一模）如图①是一个校园长廊，其外轮廓可以近似看成由抛物线的一部分和矩形的两条边组成，如图②，点在抛物线上，四边形为矩形，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知米，米，抛物线的顶点距地面的竖直高度为6米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为达到最佳观赏效果，需要对花墙进行修剪，工人师傅借助梯子工作，点在抛物线上，为了增加稳定性使点与点重合，已知工人师傅利用工具能够修剪到的最大竖直高度是米，请你判断工人师傅借助梯子能否修剪到抛物线部分的所有花墙． 7．（25-26九年级上·全国·月考）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为x米，面积为y平方米． (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求矩形花圃的最大面积． 8．（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值； (3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． 9．（2025·广西玉林·一模）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点C运动，且点Q的速度是点P的两倍．的面积为S，求： (1)点P的速度为，后的面积S是多少？ (2)若P、Q运动过程中，S与时间t的关系如图2所示，求点P的速度． (3)在（2）的条件下，求出当t为何值时S取最大值，最大值是多少？ 10．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 11．（2025·贵州黔东南·二模）如图，抛物线过点、与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积； (3)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E．当E是的三等分点时，求点F的坐标． 12．（25-26九年级上·上海虹口·月考）在平面直角坐标系中，已知开口向上抛物线过点，与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C． (1)如图，如果这条抛物线的对称轴是直线，求这条抛物线的解析式； (2)连接． ①设这条抛物线的对称轴与线段交于点D，用含a的式子表示； ②连接，点P是线段上一点且，如果点P关于直线的对称点Q恰好在这条抛物线上，求点的坐标． 13．（25-26九年级上·重庆·月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式（）分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 14．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，抛物线（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标； (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，求点到线段距离的最大值，并写出此时点的坐标； (3)在抛物线上找一点，使，求点的坐标； (4)在对称轴上找一点，使最大，直接写出点的坐标； (5)  为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (6)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：∵，，， ∴，，， 设抛物线的解析式为，把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵桥面离河面的高度是， ∴点M的纵坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴，, ∴（米）， 即抛物线形支撑梁在河面上的跨度是米； （3）解；设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设点，则，即， ∵轴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 2．(1)该塑料大棚最高点到地面的距离为米 (2)①抛物线平移的距离为；②的取值范围为或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和图象平移规律是关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式，利用抛物线对称性质求出塑料大棚最高点到地面的距离即可； （2）①先求出平移前抛物线与轴的左边交点坐标，再利用矩形的中心对称性质求出平移距离即可； ②当抛物线过点时，与矩形只有两个交点，此时，当抛物线顶点在上时，此时，当抛物线顶点在上时，此时，继而得到抛物线与矩形四边只有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴设抛物线解析式为， 由题意可知，点和点在抛物线上， 则 解得， ∴抛物线解析式为：， 根据抛物线对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3， ∴顶点坐标的纵坐标为， 故该塑料大棚最高点到地面的距离为米； （2）解：①设抛物线平移前与轴的左交点为， 令，则， 解得， ， 连接，交于点，则， 设抛物线平移的距离为， 则， 当直线经过点时，可以将矩形的面积平分，此时，点为的中点， ∴， 解得， 故抛物线平移的距离为； ②当抛物线过点时，与矩形只有两个交点，此时， 当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点，当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为， 此时， 当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为， 此时， 故当抛物线顶点在边与之间时，． 综上分析，的取值范围为或． 3．(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 4．(1)； (2) (3)当取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（矩形面积最值问题），解题的关键是根据篱笆长度建立面积的函数关系式，并结合取值范围分析函数性质． （1）根据篱笆总长表示出矩形另一边的长度，进而列出面积函数，结合墙的长度确定自变量取值范围； （2）将面积值代入函数关系式，解方程并结合取值范围确定的长； （3）将函数配方成顶点式，结合自变量取值范围分析函数的最大值． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则， 根据题意得：， ， ． （2）将代入， 得 ， 解得 ，（舍去）， 的长为； （3）， ，， 当时，． 答：当取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是． 5．(1)车棚支柱的高度为； (2)货车能够完全停到车棚内，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与特殊四边形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点代入函数关系求出即可； （）由（）得，函数关系为，则点，所以当时，，从而可得货车能够完全停到车棚内． 【详解】（1）解：∵点在该函数图象上， ∴，解得：， ∴函数关系为， 当时，， ∴， ∴， 即车棚支柱的高度为； （2）解：货车能够完全停到车棚内，理由， 由（）得，函数关系为， ∵，点， ∴点， 当时，， 由题意得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴货车能够完全停到车棚内． 6．(1) (2)工人师傅借助梯子不能修剪到抛物线部分所有花墙，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点的坐标为，则可设抛物线的函数表达式为，再代入点，即可求解； （2）设点的坐标为，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为， 则可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； （2）解：如答图， 设是抛物线上一动点，过点作轴，交于点， 由题可知， 设直线的表达式为， 把代入， 则， 得， 直线的表达式为， ， 设点的坐标为，其中，则， 则， ， 梯子距离抛物线的最大竖直距离为米， ， 工人师傅借助梯子不能修剪到抛物线部分所有花墙． 7．(1) (2)最大面积为平方米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由矩形的面积求解析式即可； （2）根据配方法进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， 解得， ∴； （2）解：， ∴当时，y随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，y最大， ∴矩形花圃的最大面积为平方米． 8．(1)； (2)的最大值为； (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）先求得，，设抛物线的解析式为，利用用待定系数法求解即可； （2）设，，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）连接，作于点，求得是等腰直角三角形，利用三角函数再求得，设，作轴于点，由题意得到，再分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则，令，则， ∴，， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：连接，作于点， ∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 当时， 整理得， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 9．(1)后的面积S是； (2)点P的速度为； (3)当时，最大，最大值为. 【分析】（1）由题意可得点Q的速度为，当时，可得，,再进一步求解即可； （2）由是的二次函数，设的速度为，则的速度为，可得，可得，求解或，结合图象可得不符合题意，从而可得答案； （3）由（2）得：当，则，可得，再结合二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）解：∵点Q的速度是点P的两倍，点P的速度为， ∴点Q的速度为， 当时， ，, ∵， ∴， ∴的面积S是； （2）解：由题意可得：是的二次函数，设的速度为，则的速度为， ∴，，， ∴， 当时，， ∴，即， 解得：或， 结合图象可得不符合题意； ∴点P的速度为； （3）解：由（2）得：当，则， ∴， ∵的最长运动时间为， 的最长运动时间为：， ∴当时，最大， 最大值为：. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，二次函数与几何图形的面积，二次函数的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，本题的计算量大，掌握基础的计算方法是解题的关键. 10．(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；②的值为或． 【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可； （2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； ②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点是的中点， ∴点， 当时，， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； ②∵点是抛物线上一个动点， ∴，则， 当点在原点上方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 当点在原点下方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 11．(1) (2) (3)点F的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求抛物线和直线的解析式、“铅垂法”求三角形的面积最大值， 相似三角形的判定与性质，抛物线与直线的交点等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，设过点P作轴的垂线交于点Q， 则，利用“铅垂法”求的最大面积； （3）设，当时，过点E作轴的平行线，交轴于点G，可得， 利用相似的性质，求出，进一步求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程可求点F的坐标； 当时，同理可求点F的坐标，综合可得结果． 【详解】（1）将点、代入抛物线， 可得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）当时，，所以抛物线与y轴交于点， 设直线的解析式为， 将点，代入直线的解析式， 可得， 解得， 直线的解析式为． 点P是直线上方抛物线上一点， 可设， 如图1，连接，，过点P作轴的垂线交于点Q，则， ， 当时，有最大值． 又， 当时，的面积最大，为． （3）设， 当时，如图2，过点E作轴的平行线，交轴于点G，则， ， ， ， ，解得， ． 设直线的解析式为，代入点，， 可得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，， 当时，，所以； 当时，同理可求，直线：， 解方程得，， 当时，，所以； 综上可知，点F的坐标为或． 12．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据二次函数的对称轴为，将点代入抛物线，利用待定系数法进行求解即可； （2）①根据待定系数法求出直线的解析式为，将对称轴代入直线解析式得出点的坐标，根据两点间距离公式求出和，从而计算的值； ②设点的坐标为，则抛物线解析式为，进而得到，根据待定系数法求出直线的解析式为，设点，根据两点间距离公式求出和，进而求出点的坐标，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，两直线相交于点，与轴的交点为，根据对称性求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线过点，对称轴是直线， 则 解得 因此，这条抛物线的解析式为； （2）①解：如图： 令得，则点， 设直线的解析式为， 将点、两点代入得， 解得 则直线的解析式为， 将代入抛物线得，，即， 由图像可知，抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C， 则对称轴在轴右侧，即， 根据抛物线开口向上可得，， 则，即， 解得， 将代入直线解析式得， ， 将代入和得， ，， 则点的坐标为， ， ， 由于，则、， 即、， 因此； ②解：如图： 根据题意可得，设点的坐标为，则抛物线解析式为， 由于抛物线的解析式为， 则，即， 因此，点、点，， 设直线的解析式为，则 解得 则直线的解析式为， 设点，那么， ， 则， 即， 解得， 由于，点在轴左侧， 则，， 则点的坐标为， 过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点、，连接、， 轴的平行线与轴的交点为，连接，交直线于点，如图： 由可知，， 由平行线的性质可知， 、，， 所以、， 由对称性可知，，即， 则，所以， 由于，则，所以， ，即， 所以， 因为 所以， ， ， 则、， 因此点的坐标为， 将点代入抛物线得， ， 解得， 由于，则， ， 因此点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、两点间的距离公式、平行线的性质、轴对称的性质，数形结合思想是解题的关键． 13．(1) (2)； (3)或 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，由，求出点的坐标，理由待定系数法，将点、两点代入抛物线函数解析式，求出、的值，从而得到抛物线函数解析式； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，在中，由勾股定理得出的长度，进而得到和，设，其中，，，根据过点P作交直线于点D得到、和，利用的周长得到，进而得到当时，周长最大为，此时，从而得到点的坐标；将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、，得出 ，由平移的性质可得四边形是平行四边形，即，结合，得出的最大值； （3）根据题意得到和对称平移后的抛物线，当点在直线的左边时，作轴于点，此时，进而得到，设，则，，根据，解出的值，注意点在直线的左边，判断的值是否符合题意；当点在直线的右边时，令直线交轴于点，作点关于直线对称点，与抛物线的交点为，根据正切的定义得到，即点，设，根据题意列出方程，求出，设直线的解析式为，将点代入解析式得到直线的解析式为，与抛物线联立求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线函数解析式，，， 当时，，则， ，则， 即、， 将、两点代入抛物线函数解析式得： ， 解得， 因此，抛物线函数解析式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将、两点代入解析式得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将、两点代入解析式得： ， 解得， 则直线的解析式为， 在中，、， 由勾股定理得，， 则、， 由于点P是直线上方抛物线上的一动点，轴交直线于点E，   设，其中，，， 则， 过点P作交直线于点D 则， ， 的周长为， 由于， 则当时，周长最大为，此时， 因此； 将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、，如图所示： 则点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，即， 由平移的性质可得：， 又因为， 则四边形是平行四边形，即， 由于， 则的最大值为：， 综上所述，点P的坐标为，的最大值为； （3）解：所有符合条件的点的横坐标为或，理由如下： 将点向下平移一个单位长度得到点，则， 抛物线关于原点对称后的解析式为， 由于将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，即向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 则， 由于， 则， 即， 当点在直线的左边时，作轴于点，此时， 则， 设，则，， 由于， 则， 解得或（不符合题意，舍去）； 当点在直线的右边时，令直线交轴于点，作点关于直线对称点，与抛物线的交点为， 由、得，， 则点， 由轴对称点的性质可得，、， 设，由题意得： 解得或（不符合题意，舍去） 则， 设直线的解析式为，将点代入解析式得： ， 解得， 则直线的解析式为， 与抛物线联立得： 解得或（不符合题意，舍去） 则点的横坐标为， 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用、三角函数的应用，根据题意列出方程、熟练掌握二次函数的图象性质、三角函数的定义是解题的关键． 14．(1)； (2)； (3) (4) (5) (6)存在；点的坐标为、和 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，根据顶点坐标公式求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，过点作于点，设点，点坐标为，得到直线的解析式，进而得到的最大值，从而得到点的坐标，根据，求出点到线段距离的最大值； （3）过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，易证得，根据全等三角形的性质易得点的坐标，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标； （4）作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，要使最大，点应在直线上，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点的坐标； （5）根据可得点、到的距离相等，分两种情况讨论：①当、在同侧时，，利用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标；②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，利用待定系数法求出平行线的解析式，根据图像发现，此时不存在点； （6）分类讨论：当为平行四边形的对角线时和当且时，根据平行四边形对角线中点坐标相同进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： 解得 则抛物线的解析式为， 对称轴为， 将代入得， 则点的坐标为； （2）解：根据抛物线与轴交于点得，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和点代入得 解得 则直线的解析式为， 过点作轴，交直线于点，过点作于点， 设点，点坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， ， 则点坐标为， 根据点和点得、， 则 由于，轴， 则、， ， 因此，点到线段距离的最大值为，点的坐标为； （3）解：过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，如图： 则、、， ， ， ， 点、， 、， 点的坐标为， 中点的横坐标为、纵坐标为， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 将直线与抛物线联立得： ， 解得或， 由于点， 则点的横坐标为， 将代入得， 因此点的坐标为； （4）解：作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，如图所示： 由（1）知，抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为，即为点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 因此，点的坐标为； （5）解：根据题意得： ， 则点、到的距离相等， 分两种情况： ①当、在同侧时，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线的解析式为， 将直线的解析式与抛物线解析式联立得， ， 解得或（舍去）， 将代入得，， 因此，点的坐标为； ②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，如图： 设过的直线解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线解析式为， 由图像发现，此时过点的直线与抛物线没有交点， 则点不存在， 综上所述，点的坐标为； （6）解：存在点，点坐标为、和； 理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为，对称轴为， 设点，， 当为平行四边形的对角线时， 根据题意得：， 解得， 当时，， 则点的坐标为； 当且时， 根据题意得：， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为和， 综上所述，抛物线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的点的坐标为、和． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，是二次函数压轴题，掌握利用待定系数法求解析式，全等三角形的运用，等腰直角三角形的性质、利用轴对称解决路径问题，三角形等面积的性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $