相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 例2．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，平分交于点D． (1)尺规作图：作交的延长线于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在平行四边形中． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）条件下若，，平分，求的长． 变式1．（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果四边形是矩形，且，求证：． 变式2．（2026·四川达州·一模）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)点G在线段上，且，连接交于点H，若恰好平分，求的长． 变式3．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 考点二 相似三角形的实际应用问题 例1．（2026·河南·二模）一学习小组想要测量路口路灯的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮（）站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子（）长度为3.2米；小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定（），测得此时小亮的影子（）长度为2.4米． (1)路灯的高为多少？ (2)学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议． 例2．（25-26九年级下·广东云浮·月考）综合与实践： 背景 晚上小明在广场上散步，如图①，，是广场上的两根电线杆，小明站在点处，在两盏路灯，的照射下，地面上形成了他的两个影子，． 素材1 两盏路灯，的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 ，，，，在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题 提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 (1)如图②，当小明影子长为时，小明到电线杆的距离为多少？ (2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长发生变化，请说明理由． (3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 例3．（2026·河南周口·一模）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于年月，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．淇淇在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度．于是把“测量茗阳阁的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量茗阳阁的高度 实物图和测量示意图 测量过程 ①在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上点处，此时，从平面镜中刚好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；②将平面镜从点处沿向后移动到点处，站在点处又恰好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；③，为眼睛到地面的距离 测量数据 米，米，米，米 备注 点在同一条直线上，图上所有点均在同一平面内，，，，，均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁的高度． 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 变式2．（2026·宁夏固原·一模）综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 示意图          测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时．小组同学测得标杆高为米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为_____米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 变式3．（2025·广东广州·模拟预测）综合与实践 【主题】汽车盲区与行车安全实践探究 【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二：如图2，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度，双眼与车头连线上某点与地面距离，该点与车头水平距离，驾驶员与车头水平距离，点在上，． 素材三：如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为的摩托车．如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为，小汽车车尾盲区为正后方长为的矩形区域． 【问题解决】 (1)①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； (2)如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，根据全等三角形的性质可得：，根据可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； （2）连接交于点，根据菱形性质得，，，，进而得，在中，由勾股定理得，继而得，再证明是的中位线得，然后证明和相似，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）证明：， ， 点为的中点， ， 在和中，， ， ， 点为中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 在中，，点为中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如下图所示： 由（1）可知：四边形是菱形， ，，，， ， ， 点为中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 又点为中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 设，， ， 解得：， ． 例2．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，平分交于点D． (1)尺规作图：作交的延长线于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，由内错角相等，两直线平行作即可； （2）先求出，再求出，进而求出，得到，证明，得到，求出，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在平行四边形中． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）条件下若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交于点，交于点，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，根据菱形的性质证明，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：菱形即为所求作； （2）解：平行四边形中， ， 菱形， ， ， 平分， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ． 变式1．（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果四边形是矩形，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先得到梯形是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据比例线段证明，然后结合翻折，矩形的性质证明，即可求证． 【详解】（1）证明：由翻折可得，， ∵梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，设， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式2．（2026·四川达州·一模）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)点G在线段上，且，连接交于点H，若恰好平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7.2 【分析】（1）结合平行四边形的性质证明，由全等三角形的性质可得，然后证明即可； （2）首先确定，由平行四边形的性质可得，再结合平分证明，进而可得，然后证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 变式3．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合一个角是直角，即可判定矩形； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例，求出，则，再结合矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又， ． ∴四边形是矩形． （2）解：在矩形中，， ． ， ． ， 又， ． ， ，， ， ， ， ∴在矩形中，． 考点二 相似三角形的实际应用问题 例1．（2026·河南·二模）一学习小组想要测量路口路灯的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮（）站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子（）长度为3.2米；小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定（），测得此时小亮的影子（）长度为2.4米． (1)路灯的高为多少？ (2)学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议． 【答案】(1)路灯的高为13.6米 (2)多次测量取平均值 【分析】（1）设长为米，长为米，证明，根据相似的性质可得，再证，得到，联立即可求解； （2）多次测量取平均值（合理即可）． 【详解】（1）设长为米，长为米． ， ． ，即． ， ． ，即． 解得 答：路灯的高为13.6米． （2）多次测量取平均值（合理即可）． 例2．（25-26九年级下·广东云浮·月考）综合与实践： 背景 晚上小明在广场上散步，如图①，，是广场上的两根电线杆，小明站在点处，在两盏路灯，的照射下，地面上形成了他的两个影子，． 素材1 两盏路灯，的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 ，，，，在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题 提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 (1)如图②，当小明影子长为时，小明到电线杆的距离为多少？ (2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长发生变化，请说明理由． (3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)的长不变， (3)此时小明头顶离地面的最大高度 【分析】（1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）连接，证明，得出，根据，证明，得出，求出，即可求出结果； （3）由，得出，得出，即，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ，，， ， 解得， ，； （2）解：的长不变， 连接，如图所示： 根据题意得，，， ， ， 根据（1）可知， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：同（2）可得， ， ，即， ，，， ， 解得， 此时小明头顶离地面的最大高度． 例3．（2026·河南周口·一模）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于年月，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．淇淇在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度．于是把“测量茗阳阁的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量茗阳阁的高度 实物图和测量示意图 测量过程 ①在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上点处，此时，从平面镜中刚好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；②将平面镜从点处沿向后移动到点处，站在点处又恰好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；③，为眼睛到地面的距离 测量数据 米，米，米，米 备注 点在同一条直线上，图上所有点均在同一平面内，，，，，均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁的高度． 【答案】米 【分析】设米，得米，由可得米，进而根据求出的值即可求解． 【详解】解：设米， ∵米，点在同一条直线上， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴ 解得， ∴米， 答：茗阳阁的高度为米． 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 【答案】 【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 答：该建筑物的高度为． 变式2．（2026·宁夏固原·一模）综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 示意图          测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时．小组同学测得标杆高为米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为_____米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】(1)15 (2)图见解析，旗杆的高度为米 (3)还需要测出线段（或线段）的长度 【分析】（1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知、、、的长，则只需要求出的长即可，再可证明得到，则只需要知道的长即可． 【详解】（1）解：∵同一时刻下，物长与影子的长对应成比例， ∴， ∴， 即， 解得， ∴利用方案测得旗杆的长度为米． （2）解：补全测量示意图如下所示，过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴旗杆的高度为米． （3）解：如图所示：根据题意知、， ∵， ∴， ∴， 则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 变式3．（2025·广东广州·模拟预测）综合与实践 【主题】汽车盲区与行车安全实践探究 【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二：如图2，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度，双眼与车头连线上某点与地面距离，该点与车头水平距离，驾驶员与车头水平距离，点在上，． 素材三：如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为的摩托车．如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为，小汽车车尾盲区为正后方长为的矩形区域． 【问题解决】 (1)①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； (2)如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 【答案】(1)①；②不能观察到物体，见解析 (2)39 【分析】（1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； ②过点作交于点，可证得到，得，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，，，，， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， 解得，经检验，是原方程的解， ∴， ∴； ②不能观察到物体，理由如下： 如图，过点M作交于点N， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不能观察到物体； （2）解：摩托车的速度为， ∴摩托车在的反应时间里的行驶路程为， 由题意可得， ∴摩托车应与小汽车至少保持的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $