专项加练6 测量问题—锐角三角函数与相似三角形的应用-【众相原创·赋能中考】2026年数学分层练习册（贵州专用）

专项加练6测量问题 一锐角三角函数与 相似三角形的应用（近5年必考 1.[生活情境](2025铜仁一中模拟)有一个2.[开放性试题]某数学兴趣小组测量一座 拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图 塔的高度AB,有以下两种方案： 2所示，已知箱体长AB=50cm,拉杆BC 方案一：如图1，在距离塔底B点45m远 的伸长距离最大时可达35cm,点A,B,C 的D处竖立一根高2.4m的标杆CD,小 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的 明站在距离标杆1m的点F处，他的眼睛 滚轮⊙A,⊙A与水平地面相切于点D,在 所在位置E、标杆的顶端C和塔顶A三点 拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水 在一条直线上.已知小明的眼睛到地面的 平地面38cm时，点C到水平地面的距离 距离EF=1.72m,AB⊥BM,CD⊥BM,EF CE为59cm.设AFMN ⊥BM,点B,D,F,M在同一直线上 (1)求圆形滚轮⊙A的半径长： 方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm (2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感 的直尺CD站在与塔AB距离45m的地 觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉 方（即，点E到AB的距离为45m),他把手 旅行箱时，CE为80cm,∠CAF=64°，求此 臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB,尺子两端恰 时拉杆BC的伸长距离. 好遮住塔AB(即A,C,E在一条直线上， (结果精确到1cm,参考数据：sin64°≈ B,D,E在一条直线上)，已知点E到直尺 0.90,c0s64°≈0.44，tan64°≈2.1) CD的距离为30cm. DE M MD 图1 图2 EN 图1 图2 请你结合上述两个方案，选择其中的一个 方案求塔的高度AB. 45 3.小辉和同学在郊外游玩时，看到了高高矗4.(2025遵义红花岗区二模)图1是一款机 立在田野间的电线塔.他们准备通过所学 械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成， 知识测量该电线塔AB的高度.如图，小辉 其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平 在点F处直立一根2米的标杆EF,小明 地面垂直.在实际运用中要求三部分始终 在点C处发现A,E,C三点共线，经测量 处于同一平面内，其示意图如图2所示， FC的长度为6米，∠AFB=19.5°.已知 经测量，上臂AB=6m,中臂BC=4m,底 AB⊥BC,EF⊥BC,并且C,F,B三点在一 座CD=2m. 条水平线上，请你帮助他们求出电线塔 AB的高度.（结果保留整数.参考数据： sinl9.5°≈0.33，cos19.5°≈0.94，tanl9.5°≈ D 0.35) 图1 图2 图3 (1)若上臂AB与水平地面平行，∠ABC= E 60°，计算点A到地面的距离；（结果保留 B 根号) (2)在一次操作中，中臂与底座成150°夹 角，上臂与中臂夹角为100°，如图3，计算 此时点A到CD所在直线的距离.（结果 精确到0.1m,参考数据：sin70°≈0.94， c0s70°≈0.34，tan70°≈2.75，√2≈1.41， √3≈1.73) 46 5.[开放性试题]学校数学兴趣小组的同学利用所学数学知识测量本地一条河流的宽度.小 组的同学在河流的两岸及本侧空地上选择了5棵树作为标记，展开活动记录如下： 活动项目 测量本地一条河流的宽度 活动方案 “长度”方案 “角度”方案 D M 方案 示意图 B C B ①测量BC的长度和QC的长度； ①测量BC的长度； 实施过程 ②测量AQ的长度 ②测量∠CBQ的度数和∠CBP的度数 ①CB=CQ=30m; ①CB=30m; 测量数据 ②QA=17.5m ②∠CB0=45°，∠CBP=67.4° ①河流的两岸PM与QW互相平行，PC与QN互相垂直； 备注 ②点P,Q,C在一条直线上，点P,A,B在一条直线上，且PC⊥CB 参考数据 tan67.4°≈2.4 请你从以上两种方法中任选一种，计算河流的宽度PQ. 4710（证明：nG=5∠0=0 又.AD⊥BC,∴.∠CAD=90°-30°=60° :点F在BC的垂直平分线上， ∴.FB=FC,∴.∠FBC=∠C=30° .∠AFB=∠FBC+∠C=30°+30°=60°， △AEF是等边三角形； (2)解：.·∠CAD=60°，∠BAC=90°，∴.∠BAD=30° 在Rt△ABD中，AD=√5BD=2√. 在Rt△ACD中，CD=√3AD=6. 第19节解直角三角形的实际应用 1.D2.B3.B4.10.6 5.无人机从A点上升到B点的高度AB约为3.6m 6解：同学甲总治则4=0m 答：实际A,B两点间的距离为100m. 同学乙：如解图，过点B作BM⊥CD,垂足为M. 在Rt△CBM和Rt△BDM中， 光 tan∠CBM=tan37o .CM ≈0.75 十东 BM DM B tan∠DBM=tan45-BML 379 15 可设CM=3k,则BM=4k, .CB=√CM+BMr=5k,DM= BM=4k. .CD=CM+DM=3k+4k=7k=105,.k=15,CB=75. 在t△4GD中，in∠CAD=in37=C 40≈0.6， ·ACCD 175,∴.AB=AC-BC≈175-75=100. 0.6 答：A,B两点间的距离约为100m 7.解：(1)由题意可得BE=×24=-8cm cos140=BG 1 .∴.BG=8×cos14°≈8×0.97≈7.76(cm): (2)n∠Aia6=sml4-8e5G=&nl4m）. 如解图，延长GB,NMM交于点H, C D 则NH=DG=DE-EG=(28-8sinl4°)cm,DN=GH, ..HM=NH-MN=(20-8sin14)cm. .∠ABG=14°，∠ABM=149° .∠FBG=135°，.∠MBH=45°，∠MBH=∠BMH=45°， ∴.BH=HM=(20-8sinl4°)cm. ∴DN=GH=BG+BH=≈7.76+20-8sin14°≈7.76+20-8× 36 0.24≈25.8(cm) 答：线段DW的长度约为25.8cm 专项加练6测量问题一锐角三角函数与 相似三角形的应用 1.解：(1)如解图，作BH⊥AF于点K,交MN于点H, 则BK∥CG,△ABK∽△ACG. 设圆形滚轮⊙A的半径AD的长是xcm, 整-提解8 经检验，x=8是分式方程的解，且符合题意， ∴.圆形滚轮⊙A的半径长是8cm: B GF MD H EN (2)在Rt△ACG中，CG=80-8=72,∠CAF=64°， CG 则sin∠CAF= ≈0.9..AC=80 AC .∴.BC=AC-AB=80-50=30. .此时拉杆BC的伸长距离约为30cm 2.解：选择方案 如解图，过点E作EH⊥CD,垂足为H,延长EH交AB于 点G, 长E H DF M 由题意，得DH=BG=EF=1.72m,EH=DF=1m,EG=BF= BD+DF=45+1=46(m),∠CHE=∠AGE=90°. .CD=2.4m,∴.CH=CD-DH=2.4-1.72=0.68(m). 又.·∠CEH=∠AEG,∴.△CEH∽△AEG. CH EH 0.68 1 AGEG心AG464G=31.28m, ∴.AB=AG+BG=31.28+1.72=33(m), ∴.塔的高度AB为33m. (答案不唯一，选择一种解答即可) 3.解：.EF⊥BC,AB⊥BC,.∴.∠EFC=∠ABC=90°， 又∠C=∠C,∴△EFC∽△ABC, ..EF-FC.2 6 ·ABBC·ABBF+6 在R△ABF中，∠AFB=19.5,则an∠AFB= BE .AB=BF·tan19.5o≈0.35BF. 2 6 0.35BFBF+6 .BF=120米， ..AB=0.35BF≈0.35×120=42（米）. 答：电线塔AB的高度约为42米 4.解：(1)延长DC交AB于点M,如解图1. :CD垂直于地面，上臂AB与水平地面平行， .∴.CM⊥AB,∴.∠BMC=90°. Ac-60,BCm.Cc5(m) .DM=CM+CD=(23+2)m, 即点A到地面的距离为(25+2)m; M B D 图1 图2 (2)如解图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G,过点 A作AF∥DG交DC的延长线于点F,交BG于点E,过点 B作BN∥GD交DC的延长线于点N,则四边形BEFN是 矩形. ·∠BCD=150°，∴.∠BCN=30°. BC=4 m..EF=BN=1 2×4=2(m). .·BE∥DC,∴.∠CBE=∠BCN=30° .·∠ABC=100°，∴.∠ABE=∠ABC-∠CBE=70° .'AB=6m,∴.AE=AB·sin∠ABE=6×sin70°≈5.6(m), ∴.AF=AE+EF=7.6(m), .∴.点A到CD所在直线的距离约为7.6m. 5.解：“长度”方案： .'PC⊥QN,PC⊥CB,∴.∠PQA=∠PCB=90 又∠QPA=∠CPB,.△PQA△PCB. PA.即P0=17.5 六P元CB,即p0+3030P0=42m 答：河流的宽度PQ为42m. “角度”方案： 在Rt△QCB中，∠QCB=90°.∠CBQ=45°，CB=30m .QC=CB=30(m). .'∠CBP=67.4°，CB=30m. .PC=CB·tan∠CBP≈30x2.4=72(m) .∴.PQ=PC-QC≈72-30=42(m). 答：河流的宽度P0约为42m. (以上两种方案，任选一种求解) 第五单元四边形 第20节多边形与平行四边形 1.C2.A3.B 4.D 【变式设问】平行四边形对角线互相平分的四边形是 平行四边形 5.C6.55°【变式设问】107.358.18 9.解：·四边形ABCD是平行四边形， .∴.BCAD,BC=AD=5,.∠D=∠FCE E是CD的中点，∴.DE=CE ∠D=∠FCE. 在△ADE和△FCE中， DE=CE, ∠AED=∠FEC, ∴.△ADE≌△FCE(ASA),∴.FC=AD=5, .BF=BC+FC=5+5=10. 10.解：(1)选择①，证明如下：∠B=∠AED,BC/DE. 又.AB∥CD, :.四边形BCDE为平行四边形：（选择一种证明即可） (2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴.DE=BC=10. AD⊥AB,∴.∠A=90°， .AE=√DE-AD=√10-8=6， 即线段AE的长为6. 11.2 12.解：(1)选择小星， 证明：E,F分别为BC,BD的中点， ∴.EF是△BCD的中位线，.EF∥CD,CD=2EE .AC=3AD,∴.CD=2AD,∴.AD=EF. 又ADEF,.四边形ADEF是平行四边形： (答案不唯一，任选一位同学求解即可) (2)F是BD的中点，∠BAC=90°，BD=2AF 由(1)知，四边形ADEF是平行四边形，CD=2AD, ∴DE=AF,AD=EF CD=DE...BD=2AF=2DE=2CD=4AD. 在Rt△ABD中，AD+AB=BD2,即AD+152=16AD, 解得AD=√5（负值已舍去），EF=AD=√I5. 13.3 第21节矩形 1.D2.D3.B4.B5.A 6.(1)证明：由题意可得BD=CD,AD⊥BC,.∠ADC=90°. AE⊥AD,∠DAE=90°， 又CEAD,.∠AEC=90°，.四边形ADCE是矩形； (2)解：A0=4,Bc=6Bm=0C=之6C=3 ∠ADC=90°，AC=√AD+DC=√4+3=5. 由(1)知，四边形ADCE是矩形， .AE=DC=3,EC=AD=4, ~B0=了4c,ER,即×4= 1 X5xEF ∴.EF=2.4. 7.B 8.5【解析】如解图，连接BD,BF .AB 8,AD =6,..BD √AB+AD=10..·点G为BE的 中点，点H为EF的中点，.BF= H 2GH,.当BF有最大值时，GH有 最大值.：点F是CD上的点，当点F与点D重合时， BF有最大值为10，.GH的最大值为5. 37