旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 考点目录 旋转与全等的性质综合问题 旋转与相似的性质综合问题 考点一 旋转与全等的性质综合问题 例1.(2026·吉林长春·模拟预测)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=12.点P是线段BC上一个动 点，连接AP,设线段CP的长为xx>O). (1)AC的长为； (2)当AP将ABC分成的两个三角形中有一个是轴对称图形时，求x的值. (3)将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ,连接AQ. ①连结BQ,则BQ长的最小值为： ②当点Q到ABC的某两条边所在直线的距离相等时，直接写出x的值. 【答案】(1)5 25或19 4 029. 6 【分析】(1)利用勾股定理计算即可； (2)根据情况分两种情况讨论，利用勾股定理和轴对称图形性质即可求出： (3)①过Q作QH⊥BC于H,在CB上取点D,使CD=AC=5,证明△ACP≌△PHO(AAS),得出 AC=HP=5=CD,CP=QH,则CP=DH=QH,根据等边对等角求出LQDH=LDQH=45°，则点Q在过点D, DB的上方，与线段DB的夹角为45°的直线上运动，故当BQ⊥DQ,即Q和G重合时，BQ最小，最小值为BG, 此时ABDG是等腰直角三角形，则BG=5BD=72,即可求解， 2 2 ②首先判断点Q只能到AB,BC两条边所在直线的距离相等，过点Q作QM⊥AB于M,QN⊥CB于N,连接BO, 再用等面积法列式计算即可. 【详解】(1)解：∠ACB=90°，AB=13,BC=12, AC=V132-122=5; 1 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (2)解：分成的两个三角形是轴对称图形，则这个三角形是等腰三角形， ①当AC=CP时，如图： 此时x=CP=AC=5, ②当AP=BP时，如图： C B .AP =BP=BC-CP=12-x, AC:+CP:=AP:, 5+2=2-x,解得：下=19 24 综上所述：x的值为5或 24 (3)解：①如图：过Q作QH⊥BC于H,在CB上取点D,使CD=AC=5,则BD=7, G B DH 将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ, AP=QP,∠APQ=90°， ∠APC=90°-∠HPQ=∠HQP, ∠C=∠PHQ=90°， △ACP≌△PHQ(AAS), .AC=HP=5,CP=QH, .CD=PH, :.CP=DH :.DH=OH, LQDH=∠DQH=45°， Q在过点D,DB的上方，与线段DB的夹角为45°的直线上运动， 2 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ∴当BQ⊥DQ,即Q和G重合时，BQ最小，最小值为BG, 此时aBDG是等腰直角三角形，则BG=5BD=72, 2 BO的最小值为7 2 ②~点P是线段BC上一个动点，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ, ∴点Q只能到AB,BC两条边所在直线的距离相等， 过点Q作QM⊥AB于M,ON⊥CB于N,连接BQ, M --B 同①可证△ACP≌△PON(AAS), .CP=ON, ~Q到AB,BC两条边所在直线的距离相等， “QM=QN=CP=x, S.ACP+S.BOP+S.4+S.40P=S4CB 5x+52-+*13x+5s+-x5x12. 1 2 7 解得：x= 61 :x的值为 例2.(25-26九年级上·黑龙江大庆月考)已知：如图，ABC中，AB=AC,设∠BAC=a,点D是直线BC上一 动点，连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE,连接DE、BE,过点E作EF⊥BC,交直线BC于点F.探 究如下： E E 图① 图② (I)当a=60°时，如图①，点D在CB延长线上时，求证：△ABE≌△ACD; 3 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (2)在第(1)问的条件下，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请直接写出结论，不需要证明. (③)在第(I)问的条件下，如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系， 请直接写出结论，不需要证明. 【答案】(1)见解析 (2)BF=DF+BC 3)BF=DF-BC 【分析】(1)由旋转得AD=AE,可证明∠BAE=∠DAC,根据SAS证明△ABE≌△ACD; (2)先得出BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°，LEBF=60°，BE=2BF,根据CD=BD+BC=BF+DF+BC, CD=BE=2BF,可得出BF=DF+BC; (3)证明ABC是等边三角形，得LABC=∠BCA=60°，再证明△ABE≌△ACD,得LEBF=60°，得BE=2BF,根 据CD=BD-BC=BF+DF-BC,CD=BE=2BF可得结论. 【详解】(1)证明：由旋转得：AD=AE,∠DAE=a=60° ∠BAC=Q=60°， ∠DAE=∠BAC, ∴.∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB,即∠BAE=∠DAC, 又AD=AE,AB=AC, ·△ABE≌△ACD(SAS; (2)解：BF=DF+BC,理由如下： 由(1)知：△ABE≌△ACD, BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°， ∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=180°-60°-60°=60°， EF⊥BC,即∠BFE=90°， ∠BEF=90°-∠EBF=90°-60°=30°， :BE 2BF, CD=BD+BC=BF +DF+BC,CD=BE =2BF, :.2BF=BF +DF+BC, .BF=DF+BC; (3)解：BF=DF-BC,理由如下： AB=AC,∠BAC=a=60°， ·ABC是等边三角形， 4 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ∴∠ABC=∠BCA=60°， .∠ACD=180°-∠BCA=120°， ∠BAC=∠EAD=a=0°， ∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=LCAD, 在AABE和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD ·△ABE≌△ACD(SAS), BE=CD,∠ABE=∠ACD=120°， ∠EBF=∠ABE-∠ABC=120°-60°=60°， ~EF⊥BC,即∠BFE=90°， ∠BEF=90°-∠EBF=90°-60°=30°， ∴BE=2BF, CD=BD-BC=BF DF-BC,CD =BE =2BF, ∴2BF=BF+DF-BC, :.BF DF -BC. 例3.(2026湖北模拟预测)如图1，在正方形ABCD中，AB=12,O为对角线的交点，E是边CD上一动点 (E不与C,D重合). A D E B 图1 图2 (I)当CE=2DE时，OE的长是 (2)探究CE2+DE2与OE存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，E,E2是边CD上两点，DE,=3,∠E,OE2=45°，求OE,的长. 【答案】(1)210 (2)CE2+DE2=2OE2;理由见详解 5 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (3)0E,=2V10 【分析】(1)取正方形边CD的中点F,连接OF,由正方形的性质得出LADC=90°，AB=AD=DC=12,再根据 三角形中位线的判定和性质得出0F=】AD=6,∠0FD=90°，最后根据勾股定理求解即可. (2)同(1)取正方形边CD的中点F,连接0F,则OF=6,DF=CF=6,∠0FD=90°，设DE=x,则 CE=12-x,利用勾股定理得出OE272-12x+x2,再求出CE2+DE2=2x2-12x+72),即可求解. (3)将△ODE,绕点O顺时针旋转90°得到aOCE',连接EE2,证明△OE,E,≌△OEE,(SAS)，,由全等三角形的性质 得出EE2=E'E,设DE2=y,则CE,=12-y,EE2=y-3,由勾股定理求出y的值，再结合(2)的结论即可求 出OE2 【详解】(1)解：取正方形边CD的中点F,连接OF, D B ~ABCD是正方形， ∠ADC=90°，AB=AD=DC=12, O为AC与BD的中点，F为CD的中点， ÷0F=AD=6,0F∥AD, 2 ∴.∠0FD=90°， CE =2DE, :.DE=-CD=4, 3 EF=DF-DE=6-4=2, 在Rt△OFE中， 0E=VEF2+0F2=2V10. （2)解：CE2+DE2=2OE2;理由如下： 同(1)取正方形边CD的中点F,连接OF, 6 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 D E 则0F=6,DF=CF=6,∠0FD=90°， 设DE=x,则CE=12-x, 在Rt△0FE中，0E2=OF2+EF2=62+(12-x-6)=72-12x+x2, CE2+DE2=(12-x2+x2=2x2-24x+144=2x2-12x+72, ∴CE2+DE2=20E2. (3)解：如图，将△ODE,绕点O顺时针旋转90°得到aOCE',连接EE2, D E E B .0E'=OE,CE'=DE=3,COE'=ZDOE, ~∠E0E2=45°，∠C0D=90°， ∠D0E1+∠C0E2=90°-45°=45°， ∠E'OE2=∠COE'+∠COE2=∠D0E,+LCOE2=45°， ∴∠E,OE2=∠E'OE2, 在△OE,E2和△OE'E,中， OE=OE ∠EOE2=∠E'OE2, OE,=OE2 ∴△OEE2≌aOE'E,(SAS), ∴EE2=E'E2, 7 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 设DE2=y,则CE2=12-y,E,E2=y-3, 在RtaE'CE,中，CE”+CE,2=E'E,, 32+(12-y2=(y-3)2, 解得y=8, DE2=8,CE2=4. 由(2)知CE,2+DE22=20E,2, ∴42+82=20E,2, 0E,=20. 变式1.(2026湖北一模)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,AC为对角线，将ABC绕点A逆时针方 向旋转，得到△AEF(点B的对应点为点E,点C的对应点为点F). 图1 图2 图3 (I)在图1中，连接BE,CF,求证：△ABEn△ACF; (2)如图2，当点F落在AD的延长线上时，延长FE交BC于点G,求GE的长： (③)如图3，当点E落在矩形的对角线BD上时，延长FE交AC于点H. ①求证：AD平分∠FAC; ②直接写出4的值. AC 【答案】(1)见解析 (2)GE=2 3)0见解析；②H-25 AC 39 【分析】(q)由旋转得E=A,4F=4C,B4C=∠BAP,所以可证4g=4E,即可求证ABE4CF: AC AF (2)过点G作GM⊥AD,垂足为M,先证明四边形GMDC是矩形，再证明△GMF≌△AEF(AAS),即可求解； 8 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (3)①延长EH交BC于点N,连接AN,DF,设EF交AD于点S,先证明∠BEN=∠NBE,NB=NE,由外角 的性质得出∠HNC=2∠EBN,再由三角形内角和定理得出∠FAH=2LEBN,即可求证； ②先证明AN垂直平分BE,再证明△ABN∽△CBA,求出BN,NC的值，接着证明△ACD≌△AFD(SAS),求出 SD,AS的值，再证明△ASH∽△CVH,利用相似三角形的性质即可求解， 【详解】(1)解：~四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, BC=AD=8,LABC=90°， ∴由勾股定理得AC=√AB2+BC2=√6？+82=10. 由旋转可得：AE=AB=6,AF=AC=10,∠BAC=∠EAF, ∠BAE=∠BAC-LEAC, ∠CAF=∠EAF-∠EAC, ∠BAE=LCAF, ABAE63 AC AF 105 AABE∽△ACF; (2)解：如图1，过点G作GM⊥AD,垂足为M,则∠GMD=90°， E 图1 四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, AF=AC=VAB2+BC2=10,∠ADC=LDCB=90°， 则∠GMD=∠MDC=∠DCG=90°， ∴四边形GMDC是矩形， MG=DC 由旋转得：AB=AE,BC=EF,LABC=LAEF,∠ACB=∠AFE, ∴MG=EA,∠GMF=∠AEF=90°， 又“∠F=∠F, ·△GMF2△AEF(AAS), GF=AF=AC,MF=EF =BC=AD, GE=GF-EF=AF-MF=AC-AD=10-8=2; 9 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (3)解：①如图2，延长EH交BC于点N,连接AN,DF,设EF交AD于点S,AC交BD于点H, D N 图2 由旋转得AB=AE,∠ABC=∠AEF=90°，∠ACB=∠AFE, ∠ABE=∠AEB,∠ABC=∠AEN=90°， ∠NBE=∠ABC-∠ABE,∠BEN=∠AEN-∠AEB, ∴.∠BEN=∠NBE, ∴.NB=NE,∠HNC=2∠EBN. ∠AHF=∠CHN,∠ACB=∠AFE, l80°-∠AHF-∠AFE=180°-∠CHN-∠ACB, 即∠FAH=∠HNC,÷∠FAH=2LEBN, ~四边形ABCD是矩形， BG=GC,AD∥BC, ∠EBC=∠ACB=∠DAC, .∠FAH=2∠EBN=2∠DAC=∠DAC+∠DAF, ∠DAC=∠DAF, AD平分∠FAC; ②答案：长药 解：~AB=AE,NB=NE, ·AN垂直平分BE, ∠BAN+∠ABE=∠ABE+∠EBN=90°， ∴.∠BAN=∠EBN=∠ACB. 又∠ABN=∠CBA=90°， △ABN∽△CBA, 腿用装 6=8 10 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 BN-号NC=Bc-Bw-号 ZDAC =ZDAF,AD=AD,AC=AF, ∴△ACD≌△AFD(SAS), .CD=FD,∠ADC=∠ADF=90°， D为FC的中点， ~四边形ABCD是矩形， ∴SD∥NC, .△FSD∽△FNC, SD FD 1 NC FC 2' SD=号NC= 1 2 =4,4S=AD-SD=8-2=25 44 AS∥NC, .△ASH∽△CNH, 25 AH 25HC· 14 .AH AH 25 AC AH+HC 39 变式2.(25-26九年级下·河南商丘阶段检测)几何探究：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在直线 BC上，连接AD,AE. D B B B B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，若LDAE=45°，将AD绕点A逆时针旋转90°至AF,连接BF,则BF_DC(选填“><”或=”)； (2)在(1)的条件下，求证：CD2+BE2=DE2; (3)如图2，若∠DAE=135°，CD=4,BE=6,求DE的长： ④如图3，若点H为平面内一点满足化-8C=HC,P是H的中点，则的值为。☐ BC 【答案】(1)= (2)见解析 11 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (3)213 ④72或2 1010 【分析】(1)根据旋转的性质得到AD=AF,∠FAD=90°，再通过角的转换可得∠BAF=LCAD,进而即可证明 △ABF≌△ACD,进而即可得解； (2)根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠C=45°，∠CAD+∠BAE=90°-∠DAE=45°，再利用 △ABF≌△ACD的性质，在RtABEF中由勾股定理得到BF2+BE2=EF2,再证△AED≌AAEF,得到EF=DE,由此 即可证明； (3)添加合适的辅助线，通过角的转换可得∠DAG=∠DAE,则可证明aDAE≌△DAG,则DG=DE,再通过角的 转换可得∠BAE=∠CAG,进而证明△ABE≌aACG,可得AG=AE,CC=BE=6,∠BAE=LCAG, LACG=∠ABE=45°，再运用勾股定理求得GD=2√13，即可求解； (4)设BC=5a,则BH=6a,当H在BC的上方时，如图所示，将△BAP绕点A顺时针旋转90°得到△ACQ,连接 PC,则∠P4Q=90°，进而勾股定理求得AP=7N5。,当H在BC的下方时，同理可得4P=5。即可求解 2 2 【详解】(1)解：AD绕点A逆时针旋转90°至AF,如图， B 则有AD=AF,∠FAD=90°， ∠BAF+∠BAD=90°， 又∠BAC=90°， LCAD+∠BAD=90°， ∠CAD=∠BAF, 又AB=AC, 在△ACD和△ABF中， AD=AF ∠CAD=∠BAF, AC=AB ∴△ACD≌△ABF(SAS), :.BF=CD 12 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (2)证明：~AB=AC,LBAC=90°， .LC=∠ABC=45°， AACD≌△ABF, ∴BF=CD,LABF=∠ACD=45°，AD=AF,∠CAD=∠BAF, .LBAF+∠BAE=∠CAD+∠BAE=45°，即∠FAE=45°， ∴∠ABF+∠ABC=45°+45°=90°，即FB⊥BE, 在△AED和△AEF中， AE=AE ∠DAE=∠FAE=45°， AD=AF ·△AED≌△AEF(SAS), ∴EF=DE, 在RtA BEF中，由勾股定理得：BF2+BE2=EF2, BF =CD,EF=DE, CD2+BE2=DE2; (3)解：在点A左侧，过点A作AG⊥AE,且AG=AE,连接GD,GC,如图， D G ∴.∠EAG=90°， ∠DAG=360°-∠EAG-∠DAE=360°-90°-135°=135°， ∴∠DAG=LDAE, 在△DAG和△DAE中， DA=DA ∠DAG=∠DAE, AG=AE ∴△DAG≌△DAE(SAS), .DG=DE, 13 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ∠EAG=90°，∠BAC=90°， 又∠GAE+∠CAE=∠GAC,∠BAC+∠CAE=∠BAE, ∠BAE=∠GAC, 在△ACG和△ABE中， AC=AB ∠GAC=∠BAE, AG=AE △ACG≌△ABE(SAS), ∴.CG=BE=6, ∠ACG=∠ABE=45°， ∠GCD=LGCA+∠ACB=90°， 在R1aGCD中，由勾股定理得：GD=VCD2+GC=V4+6=23, ∴DE=DG=2V13; (4)解：在RIAABC中，AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45°， BH=6BC, 5 设BC=5a,则BH=6a, 点P是BH的中点， 2.BP =3a, 当H在BC的上方时，如图， H B O 将△BAP绕点A顺时针旋转90°得到△ACQ,连接PC, 则∠PAQ=90°， 由旋转的性质得：△ABP≌△ACQ, 14 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ∴∠ABP=∠ACQ,CQ=BP=3a,PA=AQ, CH=CB,点P是BH的中点， ∴CP⊥BH, ∠CPB=90°， 在RtAPCB中， 由勾股定理得：PC=VBC2-Bp2=V5a2-(3a)2=4a, 又∠BAC=90°， 在四边形ACPB中，∠ABP+∠ACP=180°， .∠ACQ+∠ACP=180°， ∴P,C,Q三点共线， :.PO=PC+CO=PC+BP=4a+3a=7a, 又∠PAQ=90°，PA=AQ, 4PP 7√2 -a, 2 12a .AP _72, BC 5a 10 当H在BC的下方时，如图， 同理可得，PC=4a,CQ=PB=3a, ∴PQ=PC-CQ=a, AP-P0 √ -a, 2 2 2 ·AP 22. Bc=5a=10 综上所述，AP-巨或AP-2 BC 10 BC 10 变式3.(2026山东东营·一模)在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是直线BC上的一点，连接AD,将线 段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE. 15 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 B D 图1 图2 备用图 【观察发现】： (I)如图1，当点D是BC的中点时，连接CE，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由. 【深度探究】： (2)如图2，当点D在线段BC(D点不在BC中点)上时，连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,过点F作FG⊥BC 于点G,猜想线段FG与BD的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】： (3)当点D在线段BC或线段CB的延长线上时，连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,连接CF.若AB=2V2, ∠FCA=60°，请直接写出线段BD的长 【答案】(1)四边形ADCE为正方形，理由见解析 (2)BD=2FG,理由见解析 (3)BD的长度为-2+2V5或2+2√5 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AD=DC、AD⊥BC，由旋转的性质得到AD=AE、∠DAE=90°， 进而得到AE∥DC且DC=EC,则四边形ADCE是平行四边形，利用∠ADC=90°、AD=DC,得出四边形ADCE 是正方形： (2)连接CE,易证明△ABD≌△CAE(SAS),则BD=CE、∠ACE=45°，进而得到∠DCE=90°，进而得到 FG∥EC,根据等腰直角三角形的性质得到，点F是DE的中点，进而得到GF是△DCE的中位线，即EC=2FG, 从而得出结论： (3)分情况讨论：当①点D在线段BC的延长线上或②点D在线段CB的延长线上时，连接EC,过点A作 4W18C于点M,同(2)可证明∠BCE=90,根据直角三角形斜边中线的性质得到AF-ED=CF,进而证待 1CF为等边三粉形，列用角之何倒和签关系家出∠408=0，在R1△4DM中，DM-,列用8、DN 、 BD间的和差关系求解即可. 【详解】(1)解：四边形ADCE为正方形，理由如下： :AB=AC,∠BAC=90°，点D是BC的中点， AD=DC、AD⊥BC, LADC=90°， 16 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 由旋转知，AD=AE、∠DAE=90°， ∴LADC=∠DAE=90°、AE=DC, AE∥DC, :四边形ADCE是平行四边形， :∠ADC=90°、AD=DC, :平行四边形ADCE是正方形： (2)解：BD=2FG,理由如下： 连接CE, B D 图2 由(1)知，∠BAC=∠DAE=90°， :ZBAC-ZDAC ZDAE-ZDAC, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD≌△CAE(SAS, BD=CE、∠ABD=∠ACE=45°， ∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°， 即∠DCE=90°， :FG⊥BC, LFGD=LDCE=90°， .FGIEC, 'AD=AE、AF⊥DE, :点F是DE的中点， GF是△DCE的中位线， :EC=2FG, 17 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 :BD=2FG (3)解：BD的长度为-2+2√5或2+2√5，理由如下： ①当点D在线段BC的延长线上时， 如图，连接EC,过点A作AM⊥BC于点M, :∠BAC=∠DAE=90°， M D .∠BAC-LDAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .AABD≌ACAE(SAS), .BD=CE、∠ABD=∠ACE, 由(1)知，∠ABC=∠ACB=45°， .∠ACE=45°， :.∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°， :∠DAE=90°、AD=AE、AF⊥DE, 8AF=EF=DF、∠EAF=)∠DAE=45 :∠ECD=180°-LBCE=90°、点F是DE中点， :CF EF FD, :AF CF, :∠ACF=60°， :△ACF为等边三角形， ∠CAF=60°， ∠BAD=∠CAE=∠CAF+∠EAF=60°+45°=105°， 18 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-45°-105°=30°， :AM⊥BC, ∠AMB=90°， ∠BAM=90°-∠B=90°-45°=45°， ∠BAM=∠B, .BM AM, 在RtABM中，BM=AB-cos45°=2N2×Y5-2, :AM BM =2, 在Rt△ADM中，∠ADB=30°， :DM= 4M-2=25 an30°=5 3 :.BD=BM DM=2+23: ②当点D在线段CB的延长线上时， 如图，连接EC,过点A作AM⊥BC于点M, B D M E 同①证明△ACF为等边三角形， ∠CAF=60°， ∠BAD=∠CAE=LCAF-LEAF=60°-45°=I5°， ∠ADB=∠ABC-∠BAD=45°-15°=30°， 由①可知，AM=BM=2, 在Rt△ADM中，∠ADB=30°， “DM=_AM2 am30s万26 3 :BD DM -BM =-2+23. 19 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 考点二 旋转与相似的性质综合问题 例1.(2026山东济南·二模)综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动， 图1 图2 图3 备用图 【问题发现】 (I)如图1，在矩形ABCD中，∠ACD=30°，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为E,G, 则四边形AEFG为矩形.请问线段CF与DG的数量关系为_，直线CF与DG形成的锐角度数为_ 【拓展探究】 (2)如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为a,当0°<a<180°时，连接CF,DG,在旋转的 过程中，CF与DG的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图2进行证明. 【解决问题】 (3)如图3，当矩形ABCD的边AD=AB时，点E为直线CD上异于D,C的一点，以AE为边在AE右侧作正方形 AEFG,点H为正方形AEFG的对称中心，连接DH,若AD=4,DE=2,求出DH的长. 【答案】(1)CF=2GD;60° (2)不发生变化，理由见解析 (3)√2或3√2 【分析】(1)延长EF交CD于点H,根据矩形的性质以及含30°角的直角三角形的性质求解； (2)延长CF交DG于点K,根据旋转和矩形的性质证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解； (3)连接AC、AH，根据点的位置分两种情况进行讨论，根据正方形的判定和性质证明三角形相似，然后利用相 似三角形的性质求解。 【详解】(I)解：如图所示，延长EF交CD于点H, E B A G C D H 图1 FE⊥AB,FG⊥AD, 20 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ∠BEF=∠AEF=90°，∠AGF=∠CGF=90°， 四边形ABCD为矩形， AB∥CD,∠D=90°， ∠FHD=∠BEF=90°， 四边形DGFH为矩形， ∴FH=DG, ∠ACD=30°， ∴CF=2GD; ∠ACD=30°，∠D=90°， ∠CAD=90°-∠ACD=90°-30°=60°， 即直线CF与DG形成的锐角度数为60°； (2)解：不发生变化，理由如下： 如图所示，延长CF交DG于点K, G 图2 ~四边形ABCD和四边形AEFG为矩形，且由(1)可得∠AFG=∠ACD=30°， ∴.∠ADC=∠AGF=∠EAG=∠BAD=90°， ∠CAF=∠DAG=, AD AG 1 AC AF2 ∴.△ACF∽△ADG, DG 1 CF 2' 即CF=2GD; △ACF∽△ADG, ∴.∠ACF=∠ADG, ∠DCK+∠ACF=∠DCK+ADG=30°， ∠CKD=180°-∠DCK+ADG)-∠ADC=60°， 即直线CF与DG形成的锐角度数为60°： (3)解：当矩形ABCD的边AD=AB时，四边形ABCD为正方形， 21 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH, B 图3 ~四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，且点H为正方形AEFG的对称中心， c0-Em-s,%指-5. LCAE=∠DAH, △ACE∽△ADH, DHAD√2 ”CEAC2 AD=CD=4,DE=2, CE=4-2=2, .DH-CE=: ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH, G A D 图4 ~四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，且点H为正方形AEFG的对称中心， LCAD=∠EAH=45°， 4C=AE=2, AD AH ∠CAE=LDAH, △ACEn△ADH, DH AD CE AC 2 AD=CD=4,DE=2, CE=4+2=6, :DH=5cE=2, 2 22 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 综上所述，DH的长为√2或3√2 例2.(2026江苏泰州一模)结合图形，解决问题 图1 图2 图3 (I)如图I,BD是∠ABC的角平分线，Rt△PGQ的直角顶点P在BD上，两条直角边分别交AB、BC于E、F, ∠ABC=90°，求证：PE=PF. 【深度探究】 (2)在平行四边形ABCD中，BC=4,点P为AC上一动点(P不与A,C重合)，AB=m,AP=nPC,点E为直线 AB上一动点，连接PE,将射线PE绕点P逆时针旋转α度(O°<a<I80)交直线BC于点F. ①如图2，若∠BAD:a=90°，m=3,n=2,求PE的值； ②如图3，若∠BAD=心，求的值（用含有m,的代数式表录励 【答案】(1)见解析 Qn得保-=如 ©PFm 【分析】(1)利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案。 (2)①利用矩形的性质过点P分别作AB,BC的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解。 ②借鉴第(2)①问的方法，过点P作BC的平行线，构造相似三角形求解. 【详解】(1)证明：如图，作PH⊥AB,PN⊥BC, BD是∠ABC的角平分线， :PH PN, :∠ABC=∠GPQ=90°，PH⊥AB,PN⊥BC, :四边形HPNB为矩形， ∠HPN=90°， LHPE=∠NPF, 在△HPE和△NPF中， '∠HPE=∠NPF PH=PN ∠PHE=∠PNF △HPE≌aNPF(ASA, 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 :PE =PF D (2)①解：如图所示，过点P分别作AB,BC的垂线，交AB于点H,交BC于点N, :PH⊥AB,∠B=90°， ∠B=∠AHP=90°， HP∥BC, :∠APH=∠ACB, ∴.△APH∽△ACB, 、AH AP HP AB AC BC' :AB=3,BC=4,n=2, AH=2,HP=3, :BH PN =1, :∠HPN=∠EPF=90°， ∠HPE=∠NPF, 又：∠PHE=∠PNF=90°， .△HPE∽△NPF, PE PH 8 PF PN3' D D H中 B NF ②解：如图，作PH∥BC,作LPNF=&, PH∥BC, .△AHPn△ABC, AH HP AP=n AB=m,BC=4, AB BC AC n+1 AH mn 4n HP= n+1) 24 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 :BH AB-AH =m-mn m n+1 n+1 :∠B=∠PNB=180°-a, “BH=PN=m +1’ :∠PNF=∠PHE=∠BAD=a, LHPE=∠NPF, .△HPE∽△NPF, PE PH 4n n+1 4n PF PN n+1 mm y H E 例3.(25-26九年级下·重庆潼南阶段检测)在ABC中，AB=AC. B C B 图1 图2 图3 (I)如图1，D为BC上一点，AD=CD,AD=2,∠BAC=150,求△ABD的面积； (②)如图2，D为BC上一点，AD=CD,F为DA延长线上一点，连接BF并延长至G,使得BF=FG,连接AG, 过C作CE∥AG交AD延长线于E,若LE+∠ABC=∠BAD,请猜想线段AG、CD、AF之间的数量关系，并证 明你的猜想； (3)如图3，∠BAC=90°，AB=1,D为线段AC上一动点，将△ABD关于BD对称得到△EBD,连接AE,将AE绕 E顺时针旋转90°得到FE,连接CF,直接写出CF的最小值. 【答案】(1)3+1 (2)AG=CD+2AF,见解析 (3)√2-1 【分析】(I)过A作AE⊥BD于E,利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到 LC=LDAC=∠ABC=15°，进而可得LADB=2LC=30°，然后解直角三角形求解AE=1,DE=V3,再利 用三角形的面积公式求解即可； 25 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (2)延长GA交BC于H,在射线4H上裁取4W=4G,连接BW,根据三角形的中位线性质得到4F=号BW, AF∥BW,进而推出∠BAH=∠ABH=∠ACD=∠DAC,从而证明△ABH≌△ACD(ASA得到CD=BH, AH=AD,可推出WB=WH=2AF,进而可得结果； (3)以AB为直角边作等腰三角形ABG,∠ABG=90°，BG=AB,证明四边形ABGC是平行四边形得到 CG=AB=1,证明△BAEn△GAF得到FG=V2BE=V2,由CF≥FG-CG=√2-1，当F、C、G共线 时取等号，进而可得解. 【详解】(1)解：如图1，过A作AE⊥BC于E, E D 图1 AB=AC,∠BAC=150°， ∠C=∠ABC=15°， AD=CD, .∠C=∠DAC=15°， .∠ADB=2∠C=30°， 六ME=24B=1, 六DE=VAD2-AE2=V5, EC=5+2, AB=AC,AE⊥BC, ÷BE=EC=V5+2, ÷BD=2V5+2, a4BD的面积为)BDAE=V5+1; (2)解：AG=CD+2AF. 理由：如图2，延长GA交BC于H,在射线AH上截取AW=AG,连接BW, 26 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 G BF=FG, B H D W 图2 AFBW,AF∥BW :∠WBH=∠ADH, .CE‖AG, .∠E=∠HAD, :∠E+∠ABC=∠BAD, ∠HAD+∠ABC=∠BAD, '∠BAH+∠HAD=∠BAD, ∠BAH=∠ABC, :BH=AH, :AB=AC,AD =CD, ∠ABH=∠ACB=∠DAC, ∠BAH=∠ABH=∠ACD=∠DAC, ∴.△ABH≌△ACD(ASA, :CD=BH,AH =AD, AH=CD,∠AHD=∠ADH, :∠WBH=∠AHD=∠WHB, :WB =WH =2AF, AW AH +WH CD+2AF, :AG =CD+2AF (3)解：如图3，以AB为直角边作等腰三角形ABG,∠ABG=90°，BG=AB, 27 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 B .∴.∠BAG=45°， AG 2 G 图3 AB=AC,∠BAC=90°， BG=AC,AC∥BG, :四边形ABGC是平行四边形， CG=AB=1, 由旋转和折叠性质得AE=EF,∠AEF=90°，BE=AB=1, .∠EAF=45°， AE√2 AF 2 AB AE LBAG=ZEAF.AG-AF :ZBAE ZGAF △BAE∽△GAF, BE AE2 FG AF 2 FG=√2BE=√2， :CF≥FG-CG=√2-1，当F、C、G共线时取等号， CF的最小值为√2-1. 变式1.(2026河南周口一模)问题情境：如图，在ABC中，AB=AC,D为射线BC上一点，连接AD,将AD 绕点A顺时针旋转得到AE,且∠DAE=∠BAC,连接BE, 初步探究： B D BD H 图① 图② 28 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (I)如图①，猜想BE与CD的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：如图②，当点D在BC的延长线上时，将CD绕点D逆时针旋转a得到DF,且a=2LABC,连接EF, 猜想四边形BEFD的形状，并说明理由； (3)连接DE,在旋转过程中，若AB=2√5，BC=4,CD=3,请直接写出线段DE的长. 【答案】(I)BE=CD,见解析 (2)四边形BEFD为平行四边形，见解析 (3)线段DE的长为285或2205 5 5 【分析】(1)根据旋转的性质得到AD=AE,证明△ABE≌△ACD(SAS),即可证明BE=CD; (2)根据△ABE≌△ACD得到∠BAC=∠CBE,进而得到∠BAC=∠CBE,根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB,证 明BE∥DF,由旋转的性质得到CD=DF,进而得到BE=DF,即可得到四边形BEFD为平行四边形： (3)过点A作4M1BC于点M,根据等腰三角形三线合一得到CM=)BC=2,根据勾股定理求出AM=4,分当点 D在BC的延长线上时，当点D在线段BC上时两种情况讨论即可. 【详解】(I)解：BE=CD,理由如下： 由旋转的性质，得AD=AE, ∠DAE=∠BAC, ∠BAE=∠CAD, 又AB=AC, ∴△ABE≌△ACD(SAS), .BE =CD; (2)解：四边形BEFD为平行四边形， 同理得：△ABE≌△ACD, ∴∠ACD=∠ABE,CD=BE, ~∠ACD=∠BAC+LABC,∠ABE=∠ABC+∠CBE, ·∠BAC=∠CBE, AB=AC, ∠ABC=LACB, LBAC+LABC+LACB=LBAC+2LABC=I80°，LCDF=2∠ABC, .∠BAC+∠CDF=180°， ∠CBE+∠CDF=180°， 29 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ·BE∥DF, 由旋转的性质，得CD=DF, CD=BE ∴BE=DF, ∴四边形BEFD为平行四边形 (3)解：如图，过点A作AM1BC于点M. A M E 则∠AMC=90°， AB=AC, .CN-2. :AB=AC=25, :AM=AC-CM(25)-22=4. ①当点D在BC的延长线上时，此时DM=CM+CD=5, AD=√AM2+DM2=√4I, AE AD, ABAC AE AD 又：∠BAC=∠DAE, :△ABC∽△AED, AC BC 25 4 AD-ED'√④DE1 解得DE=2205 ②如图，当点D在线段BC上时，此时DM=CD-CM=1, 30 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 AD=VAM2+DM2=7, B D M C 同理①得AC=BC AD ED 即25 4 DE 解得DE=2V85 5 综上所述，线段DE的长为285或2205 5 5 变式2.(2026内蒙古乌海·二模)如图，在ABC中，∠ACB=45°，AD是边BC上的高，AD=6,BD=8,将 △ACD绕点A顺时针旋转得到△ACD',点C,D的对应点分别为C,D,AC'与BC交于点F,CD与BD交于 点E. D' D C 图1 图2 图3 (I)求证：DE=D'E; (2)如图2，当点D落在边AB上时，求点C到BC的距离； (③)如图3，当点E恰好为BD的中点时，求线段DF的长. 【答案】(1)见解析 号 【分析】1)连接AE,由旋转可知，AD'=AD、∠AD'E=∠ADE=90°，易证明Rt△AD'E≌Rt△ADE(HL),从而 得出结论； (2)过点C作C'G⊥BD于点G,根据勾股定理求出AB长，证明△ADC是等腰直角三角形，进而求出CD长， 证明&ABDO△ED8,则D-BD. D'E BD' 据此求出D'E长，利用勾股定理求出BE长，再证明△EC'C∽△EBD,则 31 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 BD,据此求出CG长。 EC C'G (3)过点E作EH⊥AC'于点H,连接AE,在RtaC'EH中，EH=CH=C'E·sin45°，根据勾股定理求出AC'长， 进而求出AH长，设DF=m,AF=n,则EF=4-m,FH=5√互-n,证明△EFH∽△AFD,进而得到 EF EH FH AF-AD-FD,据此求解DF的值. 【详解】(1)证明：如图，连接AE, :AD是边BC上的高， LADE=∠ADC=90°， 由旋转可知，AD'=AD、∠AD'E=∠ADE=90°， 「AE=AE 在Rt△ADE和RtAADE中， AD=AD .Rt△AD'E≌Rt△ADE(HL), :D'E =DE (2)解：如图，过点C作C'G⊥BD于点G, D :AD⊥BC,AD=6,BD=8, AB=√AD2+BD2=V62+82=10, 在RtAADC中，∠ACB=45°， ∠DAC=90°-LACB=90°-45°=45°， :∠DAC=∠ACB, :AD=CD=6, 由题意知，AD'=AD=6、LAD'E=LADE=90°、CD'=CD=6 :BD'=AB-AD'=10-6=4, :∠ADB=LED'B=90°、∠ABD=∠EBD' 32 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 △ABD△ED'B AD BD D'E BD' 即6、8 DE 4' D'E=3, .BE=√BD2+D'E2=V42+32=5, C'E=CD'-D'E=6-3=3, :∠EGC'=∠ED'B=90°，∠C'EG=∠BED', △EC'C△EBD', EC'C'G EB BD' 3 CG 即 4 ·点C到BC的距离为2 (3)解：：E为BD的中点， ·.BE=DE=4, 由(1)知，D'E=DE=4, 由(2)知，CD'=6, C'E=CD'-D'E=6-4=2, 如图，过点E作EH⊥AC'于点H,连接AE, A :∠C=∠C'=45°， B C .LC'EH=90°-∠C=45°， ∠C'EH=∠C', .EH=CH=CE-si45=2x 2 在RtAAC'D'中，由勾股定理得：AC'=√AD+CD=V6+62=6√2， .AH=AC-C'H=6√2-√2=5√2， 设DF=m,AF=n,则EF=4-m,FH=5V2-n, 33 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 :∠EHF=∠ADF=90°，∠EFH=∠AFD, △EFH∽△AFD, EF EH FH AFADFD 即4-m=2_52-n n 6 整理得 N2n=24-6m V2m=30W2-6m 解得m= 42 17 .DF= 2 17 变式3.（2026·海南省直辖县级单位·一模)问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公 共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在ABC中， ∠B=90°，AB=BC=6. 图1 图2 图3 图4 (I)探究发现：分别取AB,AC的中点D,E,作ADE.如图2所示，将ADE绕点A逆时针旋转，连接BD, CE.旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长； (3)拓展探究：如图4，∠FBC=30°，E是直线BF上一点，以AE为斜边在AE左侧作等腰Rt△ADE,直接写出线段 BD的最小值. 【答案】(1)CE=√2BD,证明见解析 (2)3√6 3)32 2 【分析】(1)由题意可得∠BAC=45°，解直角三角形得出AC=√2AB,结合AB,AC的中点分别为D,E,得出 AD-4B=3,DE为4BC的中位线，从面可得DE=号BC=3,∠4DE=∠4BC=90,求出5=万aD,得到 2 ABAD,证明出∠BAD=∠CAE,从而可得áBAD”áCAE,由相似三角形的性质计算即可得出结果， AC AE 34 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 (2)由题意可得∠BAC=45°，解直角三角形得出AC=√2AB,证明△BAD∽△CAE,由相似三角形的性质得出 CE=√2BD,∠ADE=LABC=90°，由勾股定理计算出BD的长，即可得出结果 (3)连接BD、CE,由题意可得LBAC=45°，解直角三角形得出AC=√2AB,由等腰直角三角形的性质可得 D1E三45，AE=24AD:证明△BAD∽aCAE得出BD号CE,作CG上BP于点G,由垂线段最短可得，Y E运动到点G时，此时CE的长最短，由直角三角形的性质求出CE的长的最小值为CG=3,即可得出结果， 【详解】(1)解：CE=√2BD,证明如下： 在ABC中，∠B=90°，AB=BC=6, ∠BAC=45°， cos ZBAC=AB AC 2 ·AC=√2AB, AB,AC的中点分别为D,E, ÷AD=AB=3,DE为ABC的中位线， 2 ÷DE=BC=3,∠ADE=∠ABC=90°， .AD=DE 六AE=VAD2+DE2=V2AD, ÷4C、AB AB AD 由旋转的性质可得：∠DAE=∠CAB=45°， ∠DAE-∠DAC=∠CAB-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE, △BADm△CAE, :CE=4C=, BD AB ∴CE=V2BD; (2)解：在ABC中，LB=90°，AB=BC=6, ∠BAC=45°， COs ZBAC=AB ·AC=√2AB, 由(1)可得： AC-4g=V2,AD=号AB=3,∠BAC=LDAE, AB AD 35 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 ·∠DAE+∠DAC=LCAB+LDAC, .LBAD=∠CAE, ABAD△CAE, :CE=4C=2,∠ADE=LABC=90°， BD AB ∴CE=V2BD, ~DE所在直线首次经过点B, ∠ADB=180°-∠ADE=90°， ÷BD=VAB2-AD2=3V5, ∴CE=V2BD=3√6： (3)解：如图，连接BD、CE, A 在ABC中，∠B=90°，AB=BC=6, ∠BAC=45°， cos∠BAC=AB=V2 ·AC=√2AB, ~ADE为等腰直角三角形， ∴LDAE=45°，AE=2AD, AC_AE AB AD ∠DAE-∠BAE=∠CAB-∠BAE, ∠BAD=∠CAE, ABAD△CAE :CE=4C-5, BD AB BD-CE 2 作CG⊥BF于点G, 36 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 由垂线段最短可得，当点E运动到点G时，此时CE的长最短， ~∠FBC=30°， CE的长的最小值为CG=BC·sin30°=6x,=3 ~BD的长的最小值为5CE-35 2 2 37旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 旋转与全等的性质综合问题、旋转与相似的性质综合问题专项训练 考点目录 旋转与全等的性质综合问题 旋转与相似的性质综合问题 考点一 旋转与全等的性质综合问题 例1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，．点是线段上一个动点，连接．设线段的长为． (1)的长为______； (2)当将分成的两个三角形中有一个是轴对称图形时，求的值． (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①连结，则长的最小值为______； ②当点到的某两条边所在直线的距离相等时，直接写出的值． 例2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下： (1)当时，如图①，点D在延长线上时，求证：； (2)在第（1）问的条件下，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请直接写出结论，不需要证明． (3)在第（1）问的条件下，如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请直接写出结论，不需要证明． 例3．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． (1)当时，的长是__________； (2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，是边上两点，，，求的长． 变式1．（2026·湖北·一模）如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． (1)在图1中，连接，，求证：； (2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点． ①求证：平分； ②直接写出的值． 变式2．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）几何探究：在中，，点D，E在直线上，连接． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转至，连接，则 （选填“＞”“＜”或“=”）； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，求的长； (4)如图3，若点H为平面内一点且满足=，是的中点，则的值为 变式3．（2026·山东东营·一模）在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 【观察发现】： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深度探究】： (2)如图2，当点在线段（D点不在中点）上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】： (3)当点在线段或线段的延长线上时，连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长 考点二 旋转与相似的性质综合问题 例1．（2026·山东济南·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 (1)如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为 ，直线与形成的锐角度数为 ． 【拓展探究】 (2)如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图进行证明． 【解决问题】 (3)如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 例2．（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 例3．（25-26九年级下·重庆潼南·阶段检测）在中，． (1)如图1，为上一点，，，，求的面积； (2)如图2，为上一点，，为延长线上一点，连接并延长至，使得，连接，过作交延长线于，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 变式1．（2026·河南周口·一模）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： (1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 变式2．（2026·内蒙古乌海·二模）如图，在中，，是边上的高，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点落在边上时，求点到的距离； (3)如图3，当点恰好为的中点时，求线段的长． 变式3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，． (1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长； (3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $