第四章 全等相似综合题- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

1．如图，在四边形ABCD中，E是BC上的一点，且∠AED＝∠B＝∠C． （1）如图1，若∠AED＝∠B＝∠C＝90°，求证：△ABE∽△ECD． （2）如图2，若∠AED＝∠B＝∠C＝45°． ①求证：AB•CD＝BE•CE． ②若，BE＝7，CE＝2，求AD的长． 2．在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上的点，连接BE，CE，且∠BED＝∠BAC＝45°，F为AD上另一点，且∠BFD＝∠DCE． （1）如图1，求证：BF＝CE； （2）如图1，连接CF，求证：△ABE∽△CAF； （3）如图2，M为AC的中点，连接DM交EC于点N，且MN＝DN．若EF＝1，求AF的长． 3．在△ABC中，，D为AB上一点，E为CD上一点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，交BE于点G，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠CBE． （1）如图1，求证：AC⊥BC． （2）如图2，D为AB的中点． （i）求证：CE＝2DF； （ii）若AB＝12，DF＝1，求的值． 4．点O在凸四边形ABCD内，OA＝OD，OA⊥OD，OB＝OC，OB⊥OC． （1）如图1，若AC，BD交于点E． （i）求证：AC＝BD； （ii）求证：AC⊥BD； （2）如图2，M为AB的中点，连接MO并延长交CD于点N，求的值． 5．如图①，在菱形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BD、AD上，∠EFG＝∠ABD． （1）求证：EF•FD＝GF•BE； （2）如图②，若F为BD中点，连接EF，FG． ①求证：FE平分∠BEG； ②若AE∥FG，EF∥AD，求的值． 6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，AB＝BC，连接DE，DF⊥AC于点F，GF∥BC，交AB于点G，AG＝1． （1）求AD的长． （2）连接DC，EF相交于点O，作DM⊥BC于点M． （i）求证：DE2＝4ME． （ii）若∠FEC＝∠FCD，求的值． 7．如图1，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点E，F分别为边BC，AB中点，连接AE，DF交于点G，连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠FAD； （2）如图2，H是AC边上一点，连接EH，且∠GEH＝∠DEC． （i）求证：CH＝DG； （ii）若，求CH的长． 8．已知：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，在边AC外存在一点E使AE＝CE，连接DE，CD，BE，BE与AC交于点F，与CD交于点G，且BE平分∠ABC． （1）求∠AEB的度数． （2）若AC＝BC， ①如图2，当DE＝5时，求的值； ②如图3，连接AG，并延长AG交BC于点H，求证：AH＝2EC． 参考答案 1．如图，在四边形ABCD中，E是BC上的一点，且∠AED＝∠B＝∠C． （1）如图1，若∠AED＝∠B＝∠C＝90°，求证：△ABE∽△ECD． （2）如图2，若∠AED＝∠B＝∠C＝45°． ①求证：AB•CD＝BE•CE． ②若，BE＝7，CE＝2，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECD； （2）①证明：∵∠AED＝∠B＝45°， ∴∠BAE+∠BEA＝135°，∠BEA+∠CED＝135°， ∴∠BAE＝∠CED． ∵∠B＝∠C＝45°， ∴△ABE∽△ECD， ∴， ∴AB•CD＝BE•CE； ②解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作 DN⊥AE于点N， ∵∠B＝45°，AB＝3， ∴BM＝AM＝AB•sin45°＝3． ∵BE＝7， ∴EM＝BE﹣BM＝4， ∴在Rt△AME中，AE5， 由①知△ABE∽△ECD， ∴， ∵CE＝2， ∴， ∴DE， ∵∠AED＝45°， ∴DN＝NE＝DE•sin45°， ∴AN＝AE﹣NE， 在Rt△ADN中，AD． 2．在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上的点，连接BE，CE，且∠BED＝∠BAC＝45°，F为AD上另一点，且∠BFD＝∠DCE． （1）如图1，求证：BF＝CE； （2）如图1，连接CF，求证：△ABE∽△CAF； （3）如图2，M为AC的中点，连接DM交EC于点N，且MN＝DN．若EF＝1，求AF的长． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝45°，AD⊥BC， ∴△BDE是等腰直角三角形，∠BDF＝∠CDE＝90°， ∴BD＝DE，BEADE， 又∵∠BFD＝∠DCE， ∴△BDF≌△EDC（AAS）， ∴BF＝CE； （2）证明：∵△BDF≌△EDC， ∴DC＝DF， ∴∠DFC＝45°＝∠BED＝∠BAC＝45°，CFDF， ∴∠BAD+∠CAD＝45°＝∠BAD+∠ABE＝∠CAD+∠ACF， ∴∠BAD＝∠ACF，∠ABE＝∠FAC， ∴△ABE∽△CAF； （3）解：过点M作MH∥AD，交EC于H， ∵M为AC的中点， ∴AM＝MC， ∵MH∥AD， ∴△MHC∽△AEC， ∴， ∴AE＝2MH， ∵MH∥AD， ∴， ∵MN＝DN， ∴MH＝DE， 设DE＝x＝MH，则DF＝x+1，AE＝2x，AF＝2x﹣1， ∴BEDEx，CFDF（x+1）， ∵△ABE∽△CAF， ∴， ∴， ∴x＝2， ∴AF＝2×2﹣1＝3． 3．在△ABC中，，D为AB上一点，E为CD上一点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，交BE于点G，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠CBE． （1）如图1，求证：AC⊥BC． （2）如图2，D为AB的中点． （i）求证：CE＝2DF； （ii）若AB＝12，DF＝1，求的值． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠BED＝∠CBE+∠BCD，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠CBE， ∴∠CAF＝∠BCD． ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACF＝90°， ∴∠BCD+∠ACF＝90°，即∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC； （2）（i）证明：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H． ∵D是AB的中点，AC⊥BC， ∴CD＝AD＝BD， ∴∠BAC＝∠ACD，∠ABC＝∠BCD． 在△ADF与△BDH中， ， ∴△ADF≌△BDH（AAS）， ∴DF＝DH，AF＝BH，∠DBH＝∠BAF＝∠CBE， ∴FH＝2DF＝2DH，∠EBH＝∠ABC＝∠BCD＝∠CAF， 在△CAF与△EBH中， ， ∴△CAF≌△EBH（ASA）， ∴CF＝EH， ∴CF﹣EF＝EH﹣EF， ∴CE＝FH＝2DF； （ii）解：由（i）知． ∵DF＝1，CE＝2DF＝2， ∴EF＝CD﹣CE﹣DF＝3， ∴CF＝CE+EF＝5． 由（1）知∠CAF＝∠EBH， ∴∠ACD＝∠BED， ∵∠AFC＝∠EFG＝90°， ∴△AFC∽△GFE， ∴． 4．点O在凸四边形ABCD内，OA＝OD，OA⊥OD，OB＝OC，OB⊥OC． （1）如图1，若AC，BD交于点E． （i）求证：AC＝BD； （ii）求证：AC⊥BD； （2）如图2，M为AB的中点，连接MO并延长交CD于点N，求的值． 【解答】（1）（i）证明：∵OA⊥OD，OB⊥OC ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴∠BOC+∠AOB＝∠AOD+∠AOB， ∴∠AOC＝∠DOB， 在△AOC和△DOB中， ， ∴△AOC≌△DOB（SAS）， ∴AC＝DB， （ii）证明：如图，设BD交AO于点H， ∵△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OAC＝∠ODB， ∵∠DHO＝∠AHE， ∴∠AED＝∠AOD＝90°， 即AC⊥BD； （2）解：在OM的延长线上取MG＝OM，如图： ∵M为AB的中点， ∴AM＝BM， ∴四边形OAGB为平行四边形， ∴AG＝OB，AG∥OB， ∴∠GAO+∠BOA＝180°， ∵OB＝OC， ∴AG＝OC， ∵∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴∠DOC+∠BOA＝360°﹣∠AOD﹣∠BOC＝180°， ∴∠GAO＝∠DOC， 在△GAO和△COD中， ， ∴△GAO≌△COD（SAS）， ∴OG＝CD， ∵OM＝MG， ∴． 5．如图①，在菱形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BD、AD上，∠EFG＝∠ABD． （1）求证：EF•FD＝GF•BE； （2）如图②，若F为BD中点，连接EF，FG． ①求证：FE平分∠BEG； ②若AE∥FG，EF∥AD，求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠EFG＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠ABD+∠BEF＝∠GFD+∠EFG， ∴∠FEB＝∠GFD， ∴△BFE∽△DGF， ∴， 即EF•FD＝GF•BE； （2）①证明：由（1）同理得：△BFE∽△DGF， ∴， ∵F为BD中点， ∴BF＝FD， ∴， 即， ∵∠ABD＝∠EFG， ∴△BFE∽△FGE， ∴∠BEF＝∠FEG， ∴FE平分∠BEG； ②解：AE∥FG，EF∥AD，F为BD中点，如图②，连接AF， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴， ∴， 同理， ∵AB＝AD， ∴AE＝AG， ∴四边形AEFG是菱形， ∴∠AEG＝∠FEG， 由（2）①知：∠BEF＝∠FEG， ∵∠AEG+∠GEF+∠BEF＝180°， ∴∠AEG＝60°， ∴∠BAD＝60°， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∵F为BD中点， ∴AF⊥BD， ∴sin60°， 又∵， ∴． 6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，AB＝BC，连接DE，DF⊥AC于点F，GF∥BC，交AB于点G，AG＝1． （1）求AD的长． （2）连接DC，EF相交于点O，作DM⊥BC于点M． （i）求证：DE2＝4ME． （ii）若∠FEC＝∠FCD，求的值． 【解答】（1）解：∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB， ∵FG∥BC， ∴∠AFG＝∠ACB， ∴∠A＝∠AFG， ∴AG＝FG＝1， ∵DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°， ∴∠AFG+∠DFG＝∠A+∠FDG＝90°， ∴∠DFG＝∠FDG， ∴DG＝FG＝1， ∵AD＝AG+DG， ∴AD＝1+1＝2； （2）（i）证明：如图1，过点E作EH⊥AC于点H，则∠EHF＝90°， ∵DM⊥BC， ∴∠DMC＝90°， ∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC，DE∥AC， ∴∠DEM＝∠ACB， ∵DE∥AC，DF⊥AC， ∴DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°＝∠DFH＝∠EHF， ∴四边形DEHF是矩形， ∴FH＝DEAC，DF＝EH，∠EHF＝90°， ∴AF+CH＝FHAC， ∵AB＝BC，D，E分别是AB，BC的中点， ∴AD＝CE， ∴Rt△ADF≌Rt△CEH（HL）， ∴AF＝CHDE， ∵∠DEH＝90°， ∴∠DEM+∠CEH＝90°， ∵∠CEH+∠ECH＝90°， ∴∠DEM＝∠ECH， ∵∠DME＝∠EHC＝90°， ∴△DME∽△EHC， ∴， ∴DE•CH＝EM•EC， ∴DE•DE＝2EM， ∴DE2＝4EM； （ii）解：∵DE∥AC，CF＝FH+CH＝DEDEDEAC，AFAC， ∴△DOE∽△COF，∠CDE＝∠FCD， ∴， ∴设DO＝2x，OC＝3x， ∴，即COCD， ∵∠FEC＝∠FCD， ∴∠CDE＝∠CEO， 而∠DCE＝∠ECO， ∴△CDE∽△CEO， ∴， ∴CO•CD＝CE2， ∴CD•CD＝CE2＝4， ∴CD2， Rt△ADF中，DF2＝AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2， ∴22﹣（AC）2（AC）2， ∴AC（负值舍）， ∴． 7．如图1，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点E，F分别为边BC，AB中点，连接AE，DF交于点G，连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠FAD； （2）如图2，H是AC边上一点，连接EH，且∠GEH＝∠DEC． （i）求证：CH＝DG； （ii）若，求CH的长． 【解答】（1）证明：在△DBC 中，∵BD⊥AC， ∴∠CDB＝∠ADB＝90°， ∵E是BC的中点， ∴， ∴∠C＝∠CDE， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠CDE＝∠ABC，∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE，∠FAD＝180°﹣∠C﹣∠ABC， ∴∠DEC＝∠FAD； （2）（i）证明：∵∠CDB＝∠ADB＝90°，F是AB边的中点， ∴， ∴∠FDA＝∠FAD，∠DEC＝∠FAD， ∴∠DEC＝∠FDA， ∴∠GEH＝∠DEC＝∠FDA， ∵∠EHC＝∠GEH+∠EAD，∠EGD＝∠FDA+∠EAD， ∴∠EHC＝∠EGD， ∵∠GEH＝∠DEC， ∴∠GEH﹣∠DEH＝∠DEC﹣∠DEH， 即∠GED＝∠HEC， ∵DE＝CE， ∴△EGD≌△EHC（AAS）， ∴CH＝DG． （ii）解：连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点，，BC＝8， ∴，EF∥AC， 又∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠FAD， ∴△CED∽△CAB， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵EF∥AD， ∴△GAD∽△GEF， ∴， ∴， 即GD•EF＝AD（DF﹣GD）， ∴， ∴， ∴． 8．已知：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，在边AC外存在一点E使AE＝CE，连接DE，CD，BE，BE与AC交于点F，与CD交于点G，且BE平分∠ABC． （1）求∠AEB的度数． （2）若AC＝BC， ①如图2，当DE＝5时，求的值； ②如图3，连接AG，并延长AG交BC于点H，求证：AH＝2EC． 【解答】（1）解：∵D为Rt△ABC斜边AB的中点， ∴∠ACB＝90°，AD＝CD＝BD， 又∵AE＝CE， ∴DE是AC的垂直平分线， ∴DE⊥AC， ∴BC∥DE， ∴∠BED＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE， ∴ED＝BD， ∴AD＝BD＝ED， ∴∠AED＝∠DAE． ∵∠AED+∠DAE+∠BED+∠DBE＝180°， ∴2∠AED+2∠BED＝180°， ∴∠AED+∠BED＝90°， ∴∠AEB＝90°； （2）①解：由（1）及题意可知，AD＝BD＝ED＝CD＝5，BC∥DE， ∴△EGD∽△BGC， ∴， ∵AC＝BC，AD＝BD， ∴∠BDC＝90°， ∴BC2＝BD2+CD2＝50， ∴， 设GD＝x，则CG＝CD﹣GD＝5﹣x， ∴， 解得， ∴，， ∵∠ACB＝∠BDC＝90°， ∴∠CBF+∠CFB＝90°，∠DBG+∠BGD＝90°， 又∠CBF＝∠DBG， ∴∠BFC＝∠BGD， 又∵∠CGF＝∠BGD， ∴∠CFB＝∠CGF， ∴， ∴； ②证明：如图，延长AE，BC，交于点 P． ∵AE＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠AEB＝∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠AFE＝90°，∠CBE+∠BFC＝90°， 又∵∠AFE＝∠BFC， ∴∠EAC＝∠CBE， ∴∠ACE＝∠CBE， ∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD垂直平分AB， ∴AG＝BG， 又AC＝BC，CG＝CG， ∴△ACG≌△BCG（SSS）， ∴∠CAG＝∠CBE， ∴∠CAG＝∠ECA， ∴EC∥AG， ∴， ∵∠CAG＝∠EAC，AC＝AC，∠ACH＝∠ACP＝90°， ∴△ACP≌△ACH（SAS）， ∴PC＝CH， ∴，即PE＝AE， ∴， ∴AH＝2EC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/15 10:07:16；用户：帐号65；邮箱：hxnts65@xyh.com；学号：37372741 学科网（北京）股份有限公司 $