二项分布3种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二项分布3种高频考点专项训练 二项分布3种高频考点专项训练 考点目录 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 建立二项分布模型解决实际问题 服从二项分布的随机变量概率最值问题 考点一 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 例1．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 例2．（25-26高二下·北京西城·期中）重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，前4次都未成功后6次都成功的概率为. 例3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 例4．（25-26高二下·浙江·期中）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由二项分布的概率公式可得，再由二项分布的方差公式可得. 【详解】因为随机变量，根据二项分布的性质：， ，且，解得. 又因为，由二项分布的方差公式：. 例5．（25-26高二下·上海·期中）已知随机变量服从二项分布，则的期望________． 【答案】3 【详解】已知随机变量服从二项分布， ， ． 例6．（25-26高二下·上海·期中）一项活动共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为0.25，记为代表中被抽到发言的人数，则_________． 【答案】1 【详解】由题意服从二项分布， 则． 变式1．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】 故选：D. 变式2．（24-25高二下·北京·月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 变式3．（25-26高二下·北京丰台·期中）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布方差计算公式和方差运算性质即可求解. 【详解】由题意可得， 则. 变式4．（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 变式5．（25-26高二下·北京·期中）若离散型随机变量，则______，______. 【答案】 2 4 【详解】二项分布，期望，方差. 这里，. ，. 由方差性质， . 变式6．（25-26高二下·云南·期中）如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 【答案】 【详解】每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立， 设事件：某单元正常工作，：某单元中有损坏元件， 则，， 由条件概率公式得， 所以，. 考点二 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（24-25高二下·山东·期中）某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（   ） A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128 【答案】C 【分析】利用二项分布的概率公式即可得到答案． 【详解】篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次， 概率为. 故选：C. 例2．（2026·广东惠州·模拟预测）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率即可得解． 【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次， 故概率. 故选：D. 例3．（25-26高二下·重庆·月考）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 【答案】 【分析】根据实际的问题情景，结合二项分布计算出所求的概率. 【详解】质点从原点0出发，经过最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左， 分为两类：第一类，当质点第2次移动到达的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的6次移动中，只要向左移动1次即可， 则所求的概率为； 第二类，当前3次移动未到达，且第4次移动到达时，质点前4次的移动顺序为，，后续的4次移动中全部向右移动即可， 则所求的概率为. 故所求的概率为. 故答案为： 例4．（25-26高二下·河南郑州·月考）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是__________． ①；②； ③；④． 【答案】②③④ 【分析】先记，根据已知条件可得；再根据对称性和二项分布的概率公式可得出X的所有可能取值的概率；最后利用随机变量的均值公式即可求解. 【详解】由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6；小球在下落过程中共碰撞五次；小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1. 用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数. 则，， 由对称性可知：； ； ； 则. 故答案为：②③④ 例5．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）第一轮命中概率相同且独立，用二项分布（两人命中加三人命中）即可； （2）先由条件概率算出每人两次全中的概率，三名同学投篮互不影响，按独立事件乘法求各概率即可； （3）条件概率，分子为“只有两次全中”的概率，分母为“恰有一人两次全中”的总概率，两者相除即可. 【详解】（1）设三名同学第一次投篮命中分别为事件,,,设至少两人命中为事件. 则,未命中的概率为，利用二项分布计算， （2）两次都投进的概率为，两次都投进的概率为，两次都投进的概率为. 可取0，1，2，3，因为三名同学投篮互不影响，所以， ， ， ， . 所以X的分布列为 （3）由第2问可知恰有一人两次都命中的概率为，其中恰有两次都命中的概率为，所以三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，该同学是的概率为. 变式1．（25-26高三下·北京·开学考试）电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（    ） A．0.384 B． C．0.128 D．0.104 【答案】A 【分析】分析知这是二项分布，3重伯努利试验. 【详解】电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为 . 故选：A 变式2．（25-26高二下·山东青岛·期中）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向左移动次数为，分析出其服从二项分布，再计算即可. 【详解】此实验满足6重伯努利实验，设向左移动次数为，则， 根据从0移动到2，且移动6次，则需向右移动4次，向左移动2次， 则， 故选：C. 变式3．（25-26高三下·重庆·月考）已知某果园中猕猴桃单果的质量（单位：）服从正态分布，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于的概率为_________. 【答案】 【分析】服从正态分布可得，由二项分布公式可求恰有2个单果的质量均不低于的概率. 【详解】由题可知，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃， 则恰有2个单果的质量均不低于的概率为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发.每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的位置的概率为________，质点位置与点3的距离不大于1的概率为________. 【答案】 【分析】表示向右移动的次数，则，再根据二项分布即可得到质点回到原点的概率，设表示质点位置与点3的距离，得到，再计算概率即可. 【详解】设表示向右移动的次数，则. 若质点运动6次回到原点，则向左，右各移动3次， 所以质点回到原点的概率. 设表示质点位置与点3的距离，则表示质点向左移动的次数， 则，即， 所以. 故答案为：；. 变式5．（2026·江西吉安·一模）某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先确定甲得3分的事件为答对2题，答错1题，根据二项分布概率公式求解； （2）首先分别求甲和乙得分的分布列，再求甲获胜的概率，最后代入条件概率公式，求解概率. 【详解】（1）设“比赛结束后甲得3分”为事件， 则； （2）记“比赛结束后甲获胜”为事件，记“比赛结束时乙恰好得3分”为事件， 设甲的得分为，则， ，， 设乙的得分为，的可能取值为，，，，则 ，， ，，                                         又， 所以， 解得 考点三 服从二项分布的随机变量概率最值问题 例1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果． 【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 例2．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 例3．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 【答案】(1)； (2) 0 1 2 ，； (3). 【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，利用二项分布求出分布列，进而求出期望、方差. （3）利用二项分布概率最大问题列出不等式组求解. 【详解】（1）设事件 “两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 所以所求概率. （2）粒子个数的可能值为：，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； 方差. （3）的可能取值为，， 个粒子返回室的概率为， 则， 即， 整理得，解得，而，因此， 所以，当时，取最大值. 变式1．（25-26高二下·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 【答案】20 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果． 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为． 变式2．（2026·广东揭阳·二模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 . (2) (3)中奖2次的人数为时的概率最大. 【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望； （2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率； （3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大. 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. （2）设为“第二次中奖”， 则. （3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 变式3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $二项分布3种高频考点专项训练 二项分布3种高频考点专项训练 考点目录 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 建立二项分布模型解决实际问题 服从二项分布的随机变量概率最值问题 考点一 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 例1．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·北京西城·期中）重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二下·浙江·期中）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二下·上海·期中）已知随机变量服从二项分布，则的期望________． 例6．（25-26高二下·上海·期中）一项活动共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为0.25，记为代表中被抽到发言的人数，则_________． 变式1．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·北京·月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·北京丰台·期中）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高二下·北京·期中）若离散型随机变量，则______，______. 变式6．（25-26高二下·云南·期中）如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 考点二 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（24-25高二下·山东·期中）某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（   ） A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128 例2．（2026·广东惠州·模拟预测）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·重庆·月考）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 例4．（25-26高二下·河南郑州·月考）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是__________． ①；②； ③；④． 例5．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 变式1．（25-26高三下·北京·开学考试）电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（    ） A．0.384 B． C．0.128 D．0.104 变式2．（25-26高二下·山东青岛·期中）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·重庆·月考）已知某果园中猕猴桃单果的质量（单位：）服从正态分布，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于的概率为_________. 变式4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发.每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的位置的概率为________，质点位置与点3的距离不大于1的概率为________. 变式5．（2026·江西吉安·一模）某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 考点三 服从二项分布的随机变量概率最值问题 例1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 例3．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 变式1．（25-26高二下·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 变式2．（2026·广东揭阳·二模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 变式3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $