期中培优：排列与组合的应用8种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦排列组合8种高频方法，以题型为载体构建从基础方法到综合应用的递进训练体系，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |捆绑法|4例+4变式|相邻元素处理|从简单排队到分组分配递进| |插空法|4例+4变式|不相邻元素排列|结合特殊位置限制拓展| |分组分配|4例+4变式|不均等/均等分组|渗透分类讨论思想| |隔板法|3例+3变式|相同元素分配|基于“至少1个”的模型构建| |特殊元素法|4例+4变式|有限制条件排列|优先处理特殊元素/位置| |间接法|4例+4变式|“至少”“不都”问题|正难则反的思维转化| |涂色问题|4例+4变式|区域相邻染色|体现分步计数与分类讨论| |数字排列|2例+1变式|含0/奇偶/大小限制|综合应用多种方法|

期中培优：排列与组合的应用8种高频考点专项训练 期中培优：排列与组合的应用8种高频考点专项训练 考点目录 捆绑法 插空法 分组分配问题 隔板法 特殊元素法 间接法 涂色问题 数字排列问题 考点一 捆绑法 例1．（25-26高二下·北京海淀·期中）有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 例2．（25-26高三下·云南楚雄·月考）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（    ）种不同的排法. A．528 B．312 C．264 D．216 例3．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的方法有________种． 例4．（25-26高二下·浙江·期中）将1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，要求偶数相邻，共有__________种排法．（用数字作答） 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 变式2．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 变式3．（25-26高二下·上海·月考）甲、乙等7人排队拍照，要求甲、乙两人相邻且其中任何一人不站在队伍两端，则共有________种不同的排队方法． 变式4．（25-26高二下·浙江杭州·期中）名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）． 考点二 插空法 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知有2名男生和3名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 例2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 例3．（25-26高二下·上海·期中）在某次数学兴趣小组交流活动中，四名男生与三名女生坐成一排，则三名女生两两不相邻的排列有________种． 例4．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 变式1．（25-26高二下·河南·期中）含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（   ） A．12 B．16 C．32 D．34 变式2．（2026·湖南·一模）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 变式3．（25-26高二下·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 变式4．（2026·河北邯郸·二模）某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 考点三 分组分配问题 例1．（25-26高二下·河北保定·期中）某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．15种 例2．（25-26高二下·湖北荆州·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A．600 B．264 C．207 D．114 例3．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 例4．（25-26高二下·河北保定·期中）爱国主义是我们民族精神的核心，是我们每个人心中永不磨灭的信念．某中学甲、乙、丙、丁四位同学通过参观爱国主义教育基地，革命纪念馆，历史博物馆三种场所了解英雄事迹，感受革命精神．若每人只去一种场所，每个场所都有人去，且甲不去历史博物馆，则不同的参观方案有________种． 变式1．（25-26高二下·湖北·期中）某学校安排名学生到个社区进行志愿服务，每名学生只去个社区，每个社区至少有名学生，则不同的安排方法共有（    ）种 A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·青海西宁·月考）将名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式3．（2026·福建厦门·二模）某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 变式4．（2026·青海西宁·二模）2024年春节期间，某省电视台组织记者开展“新春走基层”活动，并将含甲、乙、丙在内的6位记者派往3个城市进行新闻采访，要求每位记者只去1个城市，每个城市至少安排1位记者，且甲、乙、丙3人中恰有2人分配到同一城市，则不同的分配方法共有_________种.(用数字作答) 考点四 隔板法 例1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 例2．（25-26高二下·河南许昌·期中）现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（   ） A．35种 B．70种 C．126种 D．210种 例3．（25-26高二下·陕西西安·月考）《九章算术》是中国古代数学的经典著作，其中“方程章”主要研究线性方程组问题，其核心思想与现代线性代数中的矩阵初等变换有异曲同工之妙.现有问题：三人共募捐100文钱，已知每个人捐钱数量不少于1文且最小单位为1文，则三人捐钱数量的所有情况种数为__________. 变式1．（2026·重庆万州·模拟预测）现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（    ） A．84种 B．129种 C．156种 D．165种 变式2．（25-26高二下·广东汕头·月考）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 变式3．（25-26高二下·福建泉州·月考）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有_________种.（用数字作答） 考点五 特殊元素法 例1．（25-26高三下·河北·开学考试）已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程．若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（   ） A．69种 B．71种 C．73种 D．79种 例3．（25-26高二下·宁夏中卫·月考）将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有___________种 （用数字作答） 例4．（25-26高二下·江苏·期中）5名学生进行拍照，其中A不站在两边，B站在最中间，则不同的排法种数为______. 变式1．（25-26高二下·浙江·期中）从含甲和乙的六人中选四人参加学校接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选中乙，则乙不跑第四棒，则不同的参赛方案共有（    ）种 A．72 B．84 C．108 D．120 变式2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）参加校运动会跳远决赛的同学共有5名，他们要决出从第1名到第5的名次.代表本班级进入决赛的甲和乙同学比赛结束后回到班级，同学们纷纷询问甲和乙比赛结果，甲同学回答说：“太遗憾了，我和乙都没得到冠军.”乙同学回答说：“让我感到安慰的是我不是倒数第一！”根据甲乙同学的回答分析，参赛的5位同学的名次排列情况有（   ）种 A．48 B．54 C．78 D．90 变式3．（25-26高二下·天津·月考）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的方案有_________种（用数字作答） 变式4．（25-26高二下·浙江宁波·月考）有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的课代表，已知男生甲必须包括在内，但不担任语文课代表，则不同选法有________种.（用数字回答）. 考点六 间接法 例1．（2026·广东茂名·二模）某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 例2．（25-26高二下·北京·月考）某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 例3．（2026·广东江门·二模）甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 例4．（25-26高二下·四川乐山·期中）某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么不同的选派方案有______种. 变式1．（25-26高二下·重庆·月考）从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（   ）种． A．30 B．36 C．56 D．66 变式2．（25-26高二下·云南曲靖·期中）若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（   ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 变式3．（25-26高二下·上海·月考）从5名男生，3名女生中任选3人（男女都有）参加3个不同的比赛，有______种不同的分配方法．（结果用数值表示） 变式4．（25-26高二上·江西宜春·期末）将甲、乙等6人排成一排，则甲不在最左边，乙不在最右边的不同排法共有______种.（用数字作答） 考点七 涂色问题 例1．（25-26高二下·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·月考）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种. A．12 B．18 C．24 D．84 例3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 例4．（25-26高二下·重庆綦江·月考）用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种. 变式1．（25-26高二下·福建厦门·月考）如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（    ） A．20 B．24 C．48 D．72 变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 变式3．（25-26高二下·江苏泰州·月考）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 变式4．（25-26高二下·山东枣庄·月考）现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________. 金 榜 考点八 数字排列问题 例1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ (3)可以组成多少个有重复数字三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 例2．（25-26高二下·山东泰安·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数． (1)可以组成多少个六位数奇数； (2)可以组成多少个被5整除的五位数； (3)可以组成多少个比3201大的四位数． 变式1．（25-26高二下·江苏徐州·月考）由数字组成无重复数字的位数.(最终结果用数字作答) (1)一共可以组成多少个位偶数？ (2)大于的五位数有几个？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：排列与组合的应用8种高频考点专项训练 期中培优：排列与组合的应用8种高频考点专项训练 考点目录 捆绑法 插空法 分组分配问题 隔板法 特殊元素法 间接法 涂色问题 数字排列问题 考点一 捆绑法 例1．（25-26高二下·北京海淀·期中）有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】A 【详解】将和视为一个整体（内部有种排列），则总共有个元素：捆绑体、、、， 全排列数为 种， 再排除在第位的情况：此时固定在第位，剩余个元素（捆绑体、、）的全排列为 种， 因此符合条件的排法为 种. 例2．（25-26高三下·云南楚雄·月考）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（    ）种不同的排法. A．528 B．312 C．264 D．216 【答案】A 【分析】先固定老师位置，再分甲乙在老师左侧、右侧两种情况，分别计算位置选择数、甲乙排列数与其余人排列数，最后相加得总排法数. 【详解】按照的序号进行编号，老师的左边编号，右边编号， 若甲乙站在老师的左边，则安排情况为，共3种选择， 甲乙可互换位置，丙排在右侧有3种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师左边时共有种排法； 若甲乙站在老师的右边，则安排情况为，共2种情况， 甲乙可互换位置，丙只有一种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师的右边时共有种排法， 所以不同的排法共有种情况. 例3．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的方法有________种． 【答案】18 【详解】 甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法， 例4．（25-26高二下·浙江·期中）将1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，要求偶数相邻，共有__________种排法．（用数字作答） 【答案】12 【详解】将两个偶数看成一个整体有种情况， 再将两个偶数与两个奇数全排列有种情况， 所以将1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，要求偶数相邻，共有种排法. 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 变式2．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】应用捆绑法计算求解. 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 变式3．（25-26高二下·上海·月考）甲、乙等7人排队拍照，要求甲、乙两人相邻且其中任何一人不站在队伍两端，则共有________种不同的排队方法． 【答案】960 【详解】捆绑甲乙，有种，然后站到六个位置中的中间四个，有种，最后全排共有种， 由分步乘法可得共有种. 变式4．（25-26高二下·浙江杭州·期中）名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）． 【答案】 【分析】本题主要考查排列组合中的插空、捆绑问题，先根据已知进行分类，然后对每一类进行求解，最后将各类结果相加，即可解决问题. 【详解】解：根据题意，分种情况： 情况1：当名女生相邻时 先排名男生，共有种； 先选名女生捆绑，共有种，名女生之间的排列有种； 然后将捆绑的名女生组和单独的名女生，插入个不同的空位中，共有种， 所以，名女生相邻的所有情况为种. 情况2：当名女生相邻时 将名女生当成一个整体，共有种； 名男生的排列，共有种，然后将女生的整体插入个不同的空位中，有种， 所以名女生相邻的所有情况为种. 因此，至少有名女生相邻的站法种数为种. 考点二 插空法 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知有2名男生和3名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【分析】先不考虑女生甲是否站两端，2名男生不相邻的所有情况，再减去女生甲站两端，且2名男生不相邻的情况，即可解决问题. 【详解】解：先排3名女生，共有种； 3名女生排好后，有4个空，2名男生不相邻，可以从4个空中任选2个进行排列， 共有种，所以2名男生不相邻的情况，共有种. 女生甲站在最左端，且2名男生不相邻的情况：先排2名女生，有种； 排好后，有3个空，2名男生不相邻的站法有种， 所以女生甲站在最左端，且2名男生不相邻，共有种， 同理，女生甲站在最右端，且2名男生不相邻，也共有， 因此，女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法为种. 例2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 例3．（25-26高二下·上海·期中）在某次数学兴趣小组交流活动中，四名男生与三名女生坐成一排，则三名女生两两不相邻的排列有________种． 【答案】1440 【分析】使用插空法求解. 【详解】三名女生两两不相邻的排列有：种. 例4．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【答案】36 【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可. 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 变式1．（25-26高二下·河南·期中）含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（   ） A．12 B．16 C．32 D．34 【答案】C 【分析】根据排列组合，对乙丙进行捆绑，与丁、戊全排，再把甲插入（不在最左端），再减去丙在右端的情况即可． 【详解】解：设5人为甲乙丙丁戊， 对乙丙进行捆绑（先不考虑丙的位置问题），与丁、戊全排，再把甲插入（不在最左端） 则有种， 其中丙在右端时，甲、丁、戊的排法，先排丁、戊，再把甲插入（不在最左端）有种， 故满足要求的不同站法种数为种． 变式2．（2026·湖南·一模）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 【答案】C 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 变式3．（25-26高二下·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将看成一个整体，与除外的两人进行排列，形成了四个空， 再将插入这四个空中， 所以所有不同排法有种. 故答案为：. 变式4．（2026·河北邯郸·二模）某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 【答案】240 【详解】先将除外的四本书排序，因为要求A在B之前读完，所以共有种不同的排法； 再将排到四本书共产生的5个空位中，共有种不同的排法. 因此，由分步乘法计数原理得，不同的读书顺序有种. 考点三 分组分配问题 例1．（25-26高二下·河北保定·期中）某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．15种 【答案】B 【详解】两个数学名额为1个组，一个数学名额一个物理名额为1个组，两个物理名额为1个组， 再将这三个组分配到甲、乙、丙三个班有种分法； 高二年级的甲、乙、丙三个班各1个数学名额和各1个物理名额有1种分法； 综上所述：不同的分配方案共有种. 例2．（25-26高二下·湖北荆州·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A．600 B．264 C．207 D．114 【答案】D 【分析】先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列. 【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式， 所以共有种方法. 例3．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【答案】10 【分析】先计算甲负责第一关时的情况，再减去乙、丙在同一关卡的情况即可. 【详解】已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为 6 × 2 = 12， 不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种， 因此符合条件的方案数为 12 − 2 = 10 . 例4．（25-26高二下·河北保定·期中）爱国主义是我们民族精神的核心，是我们每个人心中永不磨灭的信念．某中学甲、乙、丙、丁四位同学通过参观爱国主义教育基地，革命纪念馆，历史博物馆三种场所了解英雄事迹，感受革命精神．若每人只去一种场所，每个场所都有人去，且甲不去历史博物馆，则不同的参观方案有________种． 【答案】24 【详解】把甲、乙、丙、丁四位同学分为三个组，再安排到3个场所， 1.甲同学单独1个组，另外三位同学分为一个2人组和一个1人组，有种分组方法， 再把这3个组的同学安排到3个场所种安排方法，由分步乘法计数原理有种安排方法； 2.甲同学与另一位同学为1个组，有种分组方法，再把这3个组的同学安排到3个场所种安排方法，由分步乘法计数原理有种安排方法； 综上所述：甲不去历史博物馆，则不同的参观方案有种. 变式1．（25-26高二下·湖北·期中）某学校安排名学生到个社区进行志愿服务，每名学生只去个社区，每个社区至少有名学生，则不同的安排方法共有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把5名学生分成3组，再分配到3个社区即可求得结果. 【详解】5名学生分成3组，每组至少1人，有和两种情况. ①分组共有种分法；再分配到3个社区：种； ②分组共有种分法；再分配到3个社区：种； 综上所述：共有种安排方式. 变式2．（25-26高三下·青海西宁·月考）将名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先将名同学分成组和组，然后再分配去三个公司，再由分类加法计数原理可得. 【详解】以去公司实习的人数分两类完成： 第一类：安排名同学去公司实习，将名同学先分成组，有种不同的结果， 再分配，1人组去公司实习，另两组（2人组和3人组）分配到公司实习，有种不同的结果 所以有种不同的安排方法. 第二类：安排名同学去公司实习，将名同学先平均分成组，有种结果， 再将这三组分配三个公司实习，有种不同的结果，所以有种不同结果. 根据分类加法计数原理，一共有种不同安排方法． 变式3．（2026·福建厦门·二模）某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 【答案】18 【分析】结合排列组合知识，按照分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【详解】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法. 所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有种. 变式4．（2026·青海西宁·二模）2024年春节期间，某省电视台组织记者开展“新春走基层”活动，并将含甲、乙、丙在内的6位记者派往3个城市进行新闻采访，要求每位记者只去1个城市，每个城市至少安排1位记者，且甲、乙、丙3人中恰有2人分配到同一城市，则不同的分配方法共有_________种.(用数字作答) 【答案】342 【分析】首先分配甲乙丙中的两人，再根据城市进行分配人员即可. 【详解】从甲、乙、丙3人中选2人作为同城市的一组，选法共 种. 因为要求恰有2人同城市，所以单独的1人不能和这2人同城市： 给2人组选1个城市，共3种选择； 给单独的1人选剩余2个城市中的1个，共2种选择，因此安排方法共 种. 因此第三个城市至少安排1名剩余记者： 剩余3名记者每人都可任意选3个城市，总安排数为 种； 减去所有记者都不去空城市的情况 种，符合要求的安排共 种. 总分配方法为：种. 考点四 隔板法 例1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同元素分组问题，利用隔板法求解即可. 【详解】现有11个优秀团员的名额要分配给8个班级，要求每班至少一个名额， 利用隔板法，把11个元素排成一列形成10个空，再在10个位置放置7个隔板， 则共有种方案， 例2．（25-26高二下·河南许昌·期中）现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（   ） A．35种 B．70种 C．126种 D．210种 【答案】B 【详解】根据题意，先将18个名额分配给一班、二班每班3个，三、四、五班每班1个， 还剩下9个名额，将剩下的9个名额进行分组，每组至少一个名额， 利用“隔板法”求解，9个元素间有8个间隔，要分成5组，8个间隔选4个插入隔板即可， 则有分配方法种. 例3．（25-26高二下·陕西西安·月考）《九章算术》是中国古代数学的经典著作，其中“方程章”主要研究线性方程组问题，其核心思想与现代线性代数中的矩阵初等变换有异曲同工之妙.现有问题：三人共募捐100文钱，已知每个人捐钱数量不少于1文且最小单位为1文，则三人捐钱数量的所有情况种数为__________. 【答案】4851 【详解】问题相当于将100个相同的元素分给3个人，每人至少1个， 只需用隔板法，用2块板将100个元素隔成3份即可，所以共有种情况. 变式1．（2026·重庆万州·模拟预测）现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（    ） A．84种 B．129种 C．156种 D．165种 【答案】D 【详解】3本都给1个人：共种； 3本分为1本和2本，分给2个人：选2个不同竞拍者并分配数量，共种； 3本分给3个人，每人1本：选3个不同竞拍者，共种； 总结果数：种. 变式2．（25-26高二下·广东汕头·月考）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【答案】B 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 变式3．（25-26高二下·福建泉州·月考）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有_________种.（用数字作答） 【答案】36 【分析】根据题意将10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，所以利用隔板法求解即可. 【详解】根据题意，只须把10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，分别对应3个班， 选用隔板法，即将10个名额排成一列，共9个间隔即空位，从其9个空位中，选取2个，插入隔板就符合题意， 即种分配方案. 故答案为：36. 考点五 特殊元素法 例1．（25-26高三下·河北·开学考试）已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过讨论丙的位置，确定甲，乙两人站在丙的同侧的情况，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】4人随机站成一排，总排列数为 ， 按丙的位置分类计数： 丙在最左（第1位）或最右（第4位）：剩余3人全排列，共 ，此时甲乙必然都在丙的同侧，全部符合； 丙在第2位：仅能让甲乙都在丙的右侧（2个位置）排列，丁在左侧，共种； 丙在第3位：仅能让甲乙都在丙的左侧（2个位置）排列，丁在右侧，共 种； 符合条件的事件总数为 ， 故甲，乙两人站在丙的同侧的概率为​. 例2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程．若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（   ） A．69种 B．71种 C．73种 D．79种 【答案】A 【分析】确定5名同学的人数分配类型，即2,2,1和3,1,1两种，根据A、B有选课限制分情况讨论：先考虑B的选课情况，再针对B选甲或乙的情况，分别结合A的限制条件，计算对应人数分配类型下的选法种数，再结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解. 【详解】第一类：人数分配为(1,1,3)型 按甲课程的人数分为两种情况： 1. 甲有3人：能选甲的只有共4人（不能选甲），从4人中选3人： 若B在甲：还需从选2人，共种，剩余2人（含）分乙丙各1人， 全排列共种，合计种； 若B不在甲：甲只能是全选，共种，剩余和分乙丙，不能选丙， 只能去乙、去丙，共1种；合计：种. 2. 甲有1人：从 4人选1人去甲： 若B选甲：共1种选法，剩余4人分乙丙为(1,3)，共种， 无限制，合计种； 若B不选甲：从选1人去甲，共种，剩余4人（和剩下2人）分乙丙为(1,3)： 乙1丙3：B不能去丙，只能B去乙，仅1种； 乙3丙1：丙不能选B，从剩余3人选1个去丙，共种； 每个甲选法对应种，故有种； 合计：种， (1,1,3)型总选法：种. 第二类：人数分配为(1,2,2)型 按甲课程的人数分为两种情况： 1. 甲有1人：从 4人选1人去甲： 若B选甲：共1种，剩余4人分乙丙各2人，共种，无限制，合计种； 若B不选甲：从选1人去甲，共种，剩余4人（A,B和剩下2人）分乙丙各2人， B只能去乙，还需从剩余3人选1个去乙，共种，合计种； 合计：种. 2. 甲有2人：从4人选2人去甲： 若B在甲：B已确定，还需从选1个，共种，剩余3人分乙丙为(1,2)， 共种，无限制，合计种； 若B不在甲：从选2个去甲，共种，剩余3人（A,B和剩下1个）分乙丙为(1,2)： 乙1丙2：B不能去丙，只能B去乙，仅1种； 乙2丙1：丙不能选B，从剩余2人选1个去丙，共种； 每个甲选法对应种，合计种； 合计：种. (1,2,2)型总选法：种. 综上所述，这5名同学不同的选择方法种数共有种. 例3．（25-26高二下·宁夏中卫·月考）将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有___________种 （用数字作答） 【答案】18 【分析】先分析小明的分配方法，再将另外3名志愿者全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案． 【详解】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方法， 将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种． 例4．（25-26高二下·江苏·期中）5名学生进行拍照，其中A不站在两边，B站在最中间，则不同的排法种数为______. 【答案】12 【分析】先安排，，再安排其他3个人，得到答案 【详解】A有两个位置可以选择，有一个位置可以选择，除了A和B，其他3个人有种选择， 故不同的排法种数为. 变式1．（25-26高二下·浙江·期中）从含甲和乙的六人中选四人参加学校接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选中乙，则乙不跑第四棒，则不同的参赛方案共有（    ）种 A．72 B．84 C．108 D．120 【答案】C 【详解】若乙未被选中，则甲有2个位置选择，剩余的3个位置从余下的4人选3人排列，方案数为：种； 若乙被选中，且甲跑第一棒，则乙有2个位置可以选择，剩余2个位置从余下的4人选2人排列， 方案数为：种； 若乙被选中，且甲跑第四棒，则乙有3个位置可以选择，剩余2个位置从余下的4人选2人排列， 方案数为：种； 因此所有不同的参赛方案共有种. 变式2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）参加校运动会跳远决赛的同学共有5名，他们要决出从第1名到第5的名次.代表本班级进入决赛的甲和乙同学比赛结束后回到班级，同学们纷纷询问甲和乙比赛结果，甲同学回答说：“太遗憾了，我和乙都没得到冠军.”乙同学回答说：“让我感到安慰的是我不是倒数第一！”根据甲乙同学的回答分析，参赛的5位同学的名次排列情况有（   ）种 A．48 B．54 C．78 D．90 【答案】B 【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论： （1）甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况； （2）甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况； 故5人的名次排列可能有种不同的情况． 变式3．（25-26高二下·天津·月考）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的方案有_________种（用数字作答） 【答案】130 【分析】分甲乙去了上犹和崇义各一人；甲乙去了上犹和大余各一人；甲乙去了崇义和大余各一人三种情况，结合分步分类计数原理求解即可. 【详解】因为每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹，有三种情况： ①甲乙去了上犹和崇义各一人：有种情况； 再对除去甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择共有种， 则大余没有人去的情况有种， 所以一共有种； ②甲乙去了上犹和大余各一人：与①相同，共有种； ③甲乙去了崇义和大余各一人：有种情况； 由于每个景点都至少有1人， 所以除甲乙丙外的3人可以随意安排到景点，有种， 由分步乘法原理可得共有种， 所以满足条件的情况共有种. 变式4．（25-26高二下·浙江宁波·月考）有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的课代表，已知男生甲必须包括在内，但不担任语文课代表，则不同选法有________种.（用数字回答）. 【答案】3360 【分析】按照分步乘法原理，根据限制条件，先安排男生甲，进而再从剩下7人中选4人排列即可. 【详解】第一步，先为男生甲安排一个除语文外的职位，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. 考点六 间接法 例1．（2026·广东茂名·二模）某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】直接用间接法计算可得结果. 【详解】因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种． 因此，满足条件的方案为种． 例2．（25-26高二下·北京·月考）某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】直接用间接法计算可得. 【详解】因为从人中选人一共有种不同的选法， 若选中的人均为专家人员的有种不同的选法， 所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法. 例3．（2026·广东江门·二模）甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 【答案】125 【分析】先求出甲、乙各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数，再求出各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数，相减可得结论. 【详解】甲、乙两名游客各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数为， 甲、乙两名游客各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数为， 所以甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为． 例4．（25-26高二下·四川乐山·期中）某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么不同的选派方案有______种. 【答案】9 【详解】依题意，不同选派方案为（种）. 变式1．（25-26高二下·重庆·月考）从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（   ）种． A．30 B．36 C．56 D．66 【答案】B 【详解】从名学生中选出3名，共有种； 从6名男生中选出3名，共有种； 则至少有1名女生的选法共有. 变式2．（25-26高二下·云南曲靖·期中）若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（   ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【详解】“”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 变式3．（25-26高二下·上海·月考）从5名男生，3名女生中任选3人（男女都有）参加3个不同的比赛，有______种不同的分配方法．（结果用数值表示） 【答案】270 【分析】先选出既包括男又包括女的3人，选完之后进行分配. 【详解】从这8人中选出3人，一共有种情况， 其中全是男生的情况有种，全是女生的情况有种， 则符合题目要求的情况一共有种； 将选出的3人分配参加3个不同的比赛，共有种情况. 变式4．（25-26高二上·江西宜春·期末）将甲、乙等6人排成一排，则甲不在最左边，乙不在最右边的不同排法共有______种.（用数字作答） 【答案】504 【分析】将6人全排列，利用间接法去除不合题意的排法即可. 【详解】人的全排列的方法数为, 甲在最左边，剩下人的全排列的方法数为, 乙在最右边，剩下人的全排列的方法数为, 甲在最左边且乙在最右边，剩下人的全排列的方法数为, 则符合题意的排列数为. 故答案为： 考点七 涂色问题 例1．（25-26高二下·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式可求得结果. 【详解】用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完， 则不同的涂色方法种数为种. 例2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·月考）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种. A．12 B．18 C．24 D．84 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理，先采用分类讨论法，再按 “不相邻区域 是否同色” 分为两类，分别计算着色方案数，最后用加法原理汇总结果即可.. 【详解】按是否同色分为两类： （1）A与D同色： 给A着色：有种方法； 给B着色：与A不同色，有种方法； 给C着色：与A不同色，有种方法； 给D着色：与A同色，仅种方法； 则此类方法数：种； （2）A与D不同色 给A着色：有种方法； 给B着色：与A不同色，有种方法； 给D着色：与均不同色，有种方法； 给C着色：与均不同色，有种方法； 则此类方法数：种； 所以方法总数为：种. 例3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 【答案】 【分析】分别确定“英语角”、“语文学苑”、“理综世界”、“数学天地”这四个区域所用粉笔的颜色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法： 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 例4．（25-26高二下·重庆綦江·月考）用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种. 【答案】 【分析】根据题意，可分四种颜色、三种颜色和两种颜色，分类讨论，结合组合数公式和计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，若用四种颜色时，有种涂法； 若用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一个时同色， 先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有， 根据分步计数原理，有种涂法； 若用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色， 先选两种颜色种选法，有种涂法， 由分类计数原理，共有种不同的涂法. 变式1．（25-26高二下·福建厦门·月考）如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（    ） A．20 B．24 C．48 D．72 【答案】D 【详解】 如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色， 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类： 第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ， 第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ， 由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确. 变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】C 【分析】根据分类相加计数原理，先分四种颜色都用和只有三种颜色两种情况，再根据分步乘法计数原理，将涂色过程分成若干步，每一步确定一个区域的颜色，再根据相邻区域不同色的条件，确定每一步的涂色方案数，最后将各步方法数相乘得到总的涂色方案数. 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4， （1）四种颜色都用： 先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1， 再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2， 再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3， 若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3， 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法. （2）四种颜色只用其中的三种颜色： 即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法. 综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法. 故选：C 变式3．（25-26高二下·江苏泰州·月考）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 【答案】 1024； 48 【分析】利用分步乘法计数原理可得空一；分同色和不同色计算可得空二. 【详解】空一：每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择， 则有种不同涂法； 空二：若同色：先涂有4种，然后涂有种， 此时共有种； 若不同色：先涂有种，然后涂有种，最后涂有1种， 此时共有种. 综上，共有种. 变式4．（25-26高二下·山东枣庄·月考）现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________. 金 榜 题 名 【答案】84 【分析】根据题意，分3步进行分析：①先给最上面“金”着色，有4种结果，②再给“榜”着色，有3种结果，③给“题”和“名”着色，分情况讨论其着色方法数目，最后根据分步计数原理计算． 【详解】根据题意，分3步进行分析： ①先给最上面“金”着色，有4种结果， ②再给“榜”着色，有3种结果， ③给“题”着色，若其与“榜”同色，则给“名”着色，有3种结果； 若其与“榜”不同色，则给“题”着色有2种结果，然后给“名”着色，有2种结果， 根据分步计数原理知共有种结果. 考点八 数字排列问题 例1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ (3)可以组成多少个有重复数字三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）百位不能为0，有种选择（）； 十位从剩余个数字选，有种选择； 个位从剩余个数字选，有种选择； 总数：. （2）偶数个位为0,2,4，分两类： ①个位为：百位种，十位种，共； ②个位为2或4：个位种，百位种，十位种，共； 总数：. （3）总三位数（可重复）：百位种，十位种，个位种，共； 无重复三位数为； 有重复数：. （4）千位为：百位需，有种（），剩余两位，共； 千位为：千位种，剩余三位，共； 总数：. 例2．（25-26高二下·山东泰安·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数． (1)可以组成多少个六位数奇数； (2)可以组成多少个被5整除的五位数； (3)可以组成多少个比3201大的四位数． 【答案】(1)种 (2)个 (3)个 【分析】（1）先排个位，再排首位，根据分步计数原理即可求解； （2）分个位为0和个位为5两类，然后根据分步计数原理和分类计数原理即可求解； （3）法一：分首位比3大和首位为3两类，然后分步计数原理和分类计数原理即可求解； 法二：根据对立事件法即可求解. 【详解】（1）第一步：先排个位，从1，3，5中选一个放个位，有3种情况； 第二步：排首位，从剩下的（去掉0和已排的个位数）4个数中选一个共有4种情况，其他位置的数字任意排，故有种. （2）个位是0的有个；个位是5的有个，所以共个. （3）法一：首位比3大的有个，首位是3，百位是4或5时有个，当首位为3，百位为2，十位可以是1或4或5时，有个， 当首位为3，百位为2，十位为0时，个位可以是4或5，共2种，所以共有个. 法二：用数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位数有个，不比3201大的包含首位是1或2的有个， 首位是3，百位是0或1的有个，首位是3、百位是2且不大于3201的数有1个，所以，比3201大的四位数共有个. 变式1．（25-26高二下·江苏徐州·月考）由数字组成无重复数字的位数.(最终结果用数字作答) (1)一共可以组成多少个位偶数？ (2)大于的五位数有几个？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先考虑个位数，再考虑其他四个数位，分步计数原理进行求解； （2）分别考虑万位数是四种情况进行求解，最后相加即可. 【详解】（1）要组成位偶数，则个位数可为，因此： 当个位数是时，剩余个数全排列，有个； 当个位数是或时，万位数不能为，剩余个数全排列， 有个； 综上所述，符合条件的共有个，即一共可以组成个位偶数. （2）组成的五位数要大于，因此： 当万位数是时，不符合条件； 当万位数是时，千位数是时，符合条件的有个， 千位数是时，不符合条件； 当万位数是或时，剩余个数全排列，符合条件的有个； 综上所述，符合条件的共有个，即大于的五位数有个. 2 学科网（北京）股份有限公司 $