精品解析：江西部分学校2026届高三下学期二轮复习阶段性训练数学试题

2026届高三二轮复习阶段性训练 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在等差数列中，为其前项和．若，则（ ） A. 420 B. 210 C. 198 D. 105 4. 已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 7. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 8. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于该函数性质的说法正确的是（ ） A. 的值域是 B. 的一个周期是 C. 在区间上单调递减 D. 的图像关于点对称 10. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过，，，四点的球的半径最小值为 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为__________． 13. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 14. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，1315151717共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 16. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，. （1）证明：平面. （2）若二面角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值. 18. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. （1）求双曲线的方程； （2）试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （3）求的取值范围. 19. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习阶段性训练 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过一元二次不等式确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】由 ，解得 ，即 ， 又， 因此 . 2. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 3. 在等差数列中，为其前项和．若，则（ ） A. 420 B. 210 C. 198 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，求出首项和公差，按照等差数列前项和的公式，求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 整理得，解得. 所以. 4. 已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，进而求出，的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答. 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：B． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以，则，即， 所以. 6. 已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 7. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可. 【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 8. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，即函数必为单调函数，结合，故只能，即，求出临界值，即可求出答案. 【详解】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点， 所以直线与曲线最多有一个交点， 所以函数必为单调函数，否则必存在直线与其有多个交点. 求导得到， 又因为，所以只能，即， 设曲线与直线相切时切点的横坐标为， 则，解得， 所以， 则的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于该函数性质的说法正确的是（ ） A. 的值域是 B. 的一个周期是 C. 在区间上单调递减 D. 的图像关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由，结合正弦型函数的单调性即可判断；对于B，求出的解析式与比较即可判断；对于C，由复合函数的单调性判断即可；对于D，求出的值即可判断. 【详解】对于A，因为，， 所以，故A不正确 对于B，因为， 所以是函数的周期，故B正确； 对于C，因为，所以函数是单调递减函数， 此时，而， 所以在区间上单调递减，故C正确. 对于D，因为， 所以的图象不关于点对称，故D不正确. 10. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB利用正弦定理边角互化即可；C利用正弦定理将周长用来表示，求关于的函数的取值范围；D利用正弦定理将面积差用来表示，求关于的函数的取值范围. 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则，故A正确； 因为，所以， 则， 因为，所以，故B正确； 由，即，得， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则， 因为，所以， 则，故， 故周长取值范围为，故C错误； 设的外接圆半径为，，则，则， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为__________． 【答案】29 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 13. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题设可取， 又，， ， 故. 14. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可知圆心横坐标，设出圆的方程并与抛物线联立，再由交点个数并构造函数求出函数单调性得出极值和最值，求出切点的坐标满足的条件可得结果. 【详解】由题意知,准线方程为, 因为圆与轴相切于点,所以可设圆心,半径为. 可得圆的方程式为，展开得, 因抛物线与圆有且只有一个公共点， 将代入圆的方程得，即, 因此该方程只有一解，当时，即有且仅有一个实数根， 令函数， 则， 令，可得， 因此当，；当，；当，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 又易知函数满足，即函数为奇函数， 因此当时，在处取得极小值，其函数图象如下图所示： 即可得当时，满足题意，此时，即，； 所以切点的坐标满足， 因此. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，1315151717共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 【答案】（1） 由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 则， 所以 即. 16. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 【答案】（1） （2）①；②当时，； 当时，. 所以该小组所得经验回归方程是理想的. 【解析】 【分析】（1）利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可； （2）①利用最小二乘法直接求解即可； ②分别将和代入回归直线方程，由此可得预估值，与检验数据之差的绝对值均不超过2可确定结论. 【小问1详解】 记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”， 则 【小问2详解】 ①由题意，，. 1 3 2 4 8 5 则， 即， 所以关于的经验回归方程为. ②略 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，. （1）证明：平面. （2）若二面角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）因为三棱柱是直三棱柱，则， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 如图建立空间直角坐标系，，分别是棱的中点， 则，所以，， 因为，所以， 又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用直三棱柱的性质及线面垂直的判定，可得平面，由线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，求出，进而可得，再由线面垂直的判定，即可求解； （2），求出平面和平面的法向量，结合条件，利用面面角的向量法，求出，再求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，由（1）知， 又，， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以， 则，又二面角的正弦值为， 所以，整理得到，解得， 所以，，又 设异面直线与所成的角为，则. 18. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. （1）求双曲线的方程； （2）试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （3）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）是，； （3） 【解析】 【分析】‘（1）根据题目条件列出方程，求出，得到双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出与的比值； （3）求出与的范围，结合函数单调性求取值范围. 【小问1详解】 由题意可设双曲线：， 则， 解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，直线的方程为， 由得， 则，，且， 所以 ； (或由韦达定理得，即， 所以 ) 即与的比值为定值. 【小问3详解】 设直线：， 由得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得，解得. 因为点在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论得， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在和上严格减， 故， 故的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减． （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，解出和的解集即可求解. （2）由已知可得存在，使得成立，因为时，，故存在，用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解； （3）令，利用导数分析在上的单调性，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结合的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 ． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由题可知存在，使得成立， ∵时，，故存在，使得． 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故． 【小问3详解】 ． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 故，即, 取，则, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $