第12章 定义命题证明 期末复习专题练习2025-2026学年苏科版七年级数学下册

期末复习-定义命题证明专题练习2025-2026学年苏科版七年级数学下册一．选择题（共7小题） 1．下列命题是真命题的是（　　） A．若a＞b，则a2＞b2 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．如果直线a⊥b，b∥c，那么a∥c 2．能说明命题“对于任何数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝1.414213562… 3．如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．20° 4．一个多边形的内角和与它的外角和的比为3：1，则这个多边形的边数为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 7．某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二．填空题（共5小题） 8．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝38°，则∠B＝　 　 °． 9．能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． 10．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 　 　 ，这个多边形的对角线条数为 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E先出发1s后，点F也从点B出发，沿射线BC以3.5cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动的时间为ts，其中t＞0，当t＝　 　 时，S△ACE＝S△AFC． 12．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题： ①6666是“回文数”； ②所有两位数中，有9个“回文数”； ③所有三位数中，有90个“回文数”； ④任意六位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有　 　 （填序号）． 三．解答题（共4小题） 13．如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 14．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，∠ACD，∠CAE是△ABC的两个外角． ①∠ACD，∠CAE与∠B之间的数量关系是 　 　 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作∠ACD，∠CAE的平分线CN，AM相交于点O，试探究∠AOC与∠B之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，∠DAE，∠DCF是四边形ABCD的两个外角． ①∠DAE，∠DCF与∠B，∠D之间的数量关系是 　 　 ； ②如图3，∠DAE，∠DCF的平分线AM，CN相交于点O，若∠B＝60°，∠D＝134°，则∠AOC的度数是 　 　 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，AM平分∠DAE，CN平分∠DCF，当∠B与∠D满足怎样的数量关系时，直线AM∥CN，请说明理由． 15．已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）求证：b2﹣12ac为非负数； （2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 16．如图1，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠B：∠C＝3：5，在边BC上有一点D从B向C运动，运动到点C处停止． （1）当∠ADB＝90°时，求∠CAD的度数； （2）如图2，把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M，若点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）． ①直接写出∠CAD的取值范围； ②探索∠BDM与∠BAM之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在点D从B向C运动过程中，设∠BAD＝α°，同时将BC绕点B按顺时针方向旋转β°，即∠CBC′＝β°，且满足α：β＝2：3，若运动过程中AD、BC所在直线相交于点P，当∠BPD＜120°时，求α的取值范围． 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A A A B C C 1．【答案】B 【解答】解：A．当a＝﹣1，b＝﹣2时，（﹣1）2＜（﹣2）2，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B．等角的补角相等，原命题为真命题，故本选项符合题意； C．两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，故本选项不符合题意； D．如果直线a⊥b，b∥c，那么a⊥c，原命题为假命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．【答案】A 【解答】解：命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题，反例要满足a≤0，如a＝﹣2． 故选：A． 3．【答案】A 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°， ∴∠A＝∠1＝30°， ∵∠2＝∠A+∠3，∠2＝70°， ∴∠3＝∠2﹣∠A＝70°﹣30°＝40°． 故选：A． 4．【答案】A 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得[（n﹣2）×180°]：360°＝3：1， 解得n＝8， 即这个多边形的边数为8． 故选：A． 5．【答案】B 【解答】解：正六边形每个内角为：， 而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°， ∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°， ∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°， ∴α+β＝360°﹣240°＝120°， 故选：B． 6．【答案】C 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD， ∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确； ∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，即∠BCG＝90°， ∴∠GCD+∠BCD＝90°， 又∵∠BCD＝∠ACD， ∴∠ADC＝∠GCD，故结论③正确； ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴，， ∴， ∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°， ∴，故结论④正确； ∵∠BFC＝135°， ∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确； 若CA平分∠BCG，而∠BCG＝90°＝∠EGC， ∴∠ECG＝∠ACB＝45°，与题干条件不相符，故结论②错误． 故选C． 7．【答案】C 【解答】解：因为地理老师的话与其他三位老师的话都有矛盾，且只有两位老师说对了， 所以地理老师的话一定是错误的， 因为冠军只有一个，故历史老师和语文老师的话不能都对， 故政治老师的话一定是正确的，跟政治老师的话没有矛盾的是历史老师， 故只有历史老师和政治老师的话是正确的， 故冠军一定是丙， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 8．【答案】38． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CE， ∴∠B＝∠3， ∵∠3＝38°， ∴∠B＝38°． 故答案为：38． 9．【答案】﹣3，1（答案不唯一）． 【解答】解：当a＝﹣3，b＝1时，a2＞4b2，但是a＜2b， 故答案为：﹣3，1（答案不唯一）． 10．【答案】11；44． 【解答】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：180°×（n﹣2）×＝360°， 解得：n＝11； 这个多边形对角线有：＝44（条）， 故答案为：11；44． 11．【答案】或． 【解答】解：∵AG∥BC，S△ACE＝S△AFC， ∴AE＝CF， 当点F在点C的左侧时，2t＝6﹣3.5（t﹣1）， 解得t＝， 当点F在点C的右侧时，2t＝3.5（t﹣1）﹣6， 解得t＝， 综上所述，满足条件的t的值为或． 故答案为：或． 12．【答案】①②③④． 【解答】解：①根据定义6666正读倒读都一样，故6666是“回文数”；①是真命题； ②两位数的“回文数”为：11，22，33，44，55，66，77，88，99，合计9个；②是真命题； ③三位数的“回文数”中，百位和个位是1的为：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191，合计10个，同理百位和个位是2的有10个，依次类推，则三位数的“回文数”合计10×9＝90个；③是真命题； ④设任意六位数m的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为a，b，c，d，e，f，则p＝100000a+10000b+1000c+100d+10e+f， 根据定义，a＝f，b＝e，c＝d， ∴p＝100001a+10010b+110c＝11×9091a+11×910b+11×10c＝11×（9091a+910b+10c）， ∴p是11的倍数；④是真命题； 故答案为：①②③④． 三．解答题（共4小题） 13．【答案】（1）①，③（或③，①）； （2）见解析． 【解答】解：（1）选择的条件是①，结论是③； 或：选择的条件是③，结论是①． 故答案为：①，③（或③，①） （2）选择的条件是①，结论是③，则证明如下： 证明：∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）． ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（等量代换）． ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 选择的条件是③，结论是①，则证明如下： 证明：∵BE∥DF（已知）， ∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等） ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠2＝∠3（等角的余角性质）． 14．【答案】（1）①∠ACD+∠CAE＝∠B+180°； ②，见解析； （2）①∠DAE+∠DCF＝∠ABC+∠ADC； ②37； （3）当∠B＝∠D时，AM∥CN，见解析． 【解答】解：（1）①∵∠ACD，∠CAE是△ABC的两个外角． ∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAC+∠B+∠ACB＝∠B+180°， ∴∠ACD+∠CAE＝∠B+180°， 故答案为：∠ACD+∠CAE＝∠B+180°； ②， 证明如下：∵CN，AM分别平分∠ACD，∠CAE， ∴，∠CAO＝∠CAE， ∴∠CAO+∠ACO＝（∠ACD+∠CAE）， ∵∠ACD+∠CAE＝∠B+180°， ∴∠CAO+∠ACO＝（∠B+180°）， ∵在△AOC中，∠AOC+∠CAO+∠ACO＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠B+180°）＝90°﹣∠B； （2）①如图，连接BD， ∵∠DAE，∠DCF是△ABD，△BCD的外角， ∴∠DAE＝∠ABD+∠ADB，∠DCF＝∠CBD+∠CDB， ∴∠DAE+∠DCF＝∠ABD+∠ADB+∠CBD+∠CDB＝∠ABC+∠ADC， 故答案为：∠DAE+∠DCF＝∠ABC+∠ADC； ②∵∠DAE+∠DCF＝∠ABC+∠ADC，∠B＝60°，∠D＝134°， ∴∠DAE+∠DCF＝60°+134°＝194°， ∵∠DAE，∠DCF 的平分线AM，CN相交于点O， ∴， 由①可得∠EAO+∠FCO＝∠B+∠AOC， ∴∠AOC＝97°﹣60°＝37°， 故答案为：37； （3）当∠B＝∠D时，AM∥CN，理由如下： 延长CD交AM于点G， ∵CN，AM分别平分∠DCF，∠DAE， ∴，∠DAM＝∠DAE， ∴∠DCN+∠DAM＝（∠DCF+∠DAE）， ∵∠DCF+∠DAE＝∠B+∠ADC， ∴∠DCN+∠DAM＝（∠B+∠ADC）， ∵∠B＝∠ADC， ∴∠DCN+∠DAM＝∠ADC， ∵∠AGC+∠DAM＝∠ADC， ∴∠DCN＝∠AGC， ∴AM∥CN． 15．【答案】（1）证明见解析； （2）m，n不可能都为整数，理由见解析． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴b＝a（3m+n），c＝amn， 则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn ＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn ＝a2（9m2﹣6mn+n2） ＝a2（3m﹣n）2， ∵a，m，n是实数， ∴a2（3m﹣n）2≥0， ∴b2﹣12ac 为非负数． （2）m，n不可能都为整数． 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数， 又∵， ∴b＝a（3m+n）， ∵a为奇数， ∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又∵， ∴c＝amn， ∵a为奇数， ∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数． 16．【答案】（1）40°； （2）①∠CAD的取值范围为40°＜∠CAD＜50°； ②∠BAM+∠BDM＝20°，证明见解答； （3）12＜α≤100且α≠60． 【解答】解：（1）设∠B＝3x，∠C＝5x， 在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+∠C＝80°，即8x＝80°， ∴x＝10°， ∴∠B＝30°，∠C＝50°， ∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°； （2）①由（1）可得当点M落在BC上，即AD⊥BC 时，∠CAD＝40°， 如图，当点M落在AB上时， 则， ∵点M在△ABC的内部（不包含△ABC 的边）， ∴∠CAD的取值范围为40°＜∠CAD＜50°； ②∠BAM+∠BDM＝20°，证明如下：延长AM交BC 于点N， 由翻折可知：∠AMD＝∠C＝50°， ∵∠AMD是△MND的外角， ∴∠AMD＝∠AND+∠BDM， ∵∠AND是△ABN的外角， ∴∠AND＝∠BAM+∠B， ∴∠AMD＝∠BAM+∠B+∠BDM， ∴∠BAM+∠BDM＝∠AMD﹣∠B＝20°； （3）∵α：β＝2：3，可设α＝2x，β＝3x，如图，当射线AD与射线BC′交于点P时， ∠BPD＝180°﹣∠BAD﹣∠ABP． ＝180°﹣2x°﹣（3x°+30°） ＝150°﹣5x° 且∠BPD＜120°， ∴150°﹣5x°＜120°， ∴x＞6， ∴α＞12；如图，当射线DA与射线CB交于点P时， ∠ABP＝180°﹣∠ABC﹣∠CBC＝150°﹣3x°， ∵∠BPD＝∠BAD﹣∠ABP ＝2x°﹣（150°﹣3x°） ＝5x°﹣150° 且∠BPD＜120°， ∴5x°﹣150°＜120°， ∴x＜54， ∴α＜108，当直线AD与直线BC'平行时，则∠BAD+∠ABC＝180° 2x°+3x°+30°＝180°， ∴x＝30， ∴α＝60， ∵AD、BC所在直线相交于点P， ∴α≠60， 又∵点D从B运动到点C停止， ∴0≤α≤100， ∴12＜α≤100且α≠60． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $