精品解析：山西太原师范学院附属中学2025-2026学年高二下学期期中学业诊断数学试题

山西太原师范学院附属中学2025-2026学年高二下学期期中学业诊断数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 2. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 4. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和分别为，若,则（ ） A. B. C. D. 6. 现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（ ） A. 35种 B. 70种 C. 126种 D. 210种 7. 已知是定义在上的奇函数，，当 时，有成立，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（ ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B. A与C同学不相邻，共有72种站法 C. A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 11. 已知等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 最大. B. C. D. 数列中绝对值最小的项为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图象在点处的切线方程为______． 13. 如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 14. 设实数，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 四、解答题（共77分） 15. 设，求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若，求数列的前n项和． 17. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意 都有 恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列的前项和满足． （1）证明数列为等差数列． （2）求数列的前项和． （3）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当 时，恒成立，求a的取值范围． （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西太原师范学院附属中学2025-2026学年高二下学期期中学业诊断数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】由于6是t和2的等差中项，故，故 ， 故选：C 2. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导得到，函数定义域为，令解得答案. 【详解】的定义域为，， 令，解得. 所以函数的单调减区间是. 故选：C 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】在等比数列中，因为，所以，即， 所以，又因为与同号，所以. 4. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又函数在上单调递增，得， 所以 ，即实数的取值范围是 . 故选：B 5. 设等差数列的前项和分别为，若,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和与通项之间的关系,将数列的项之比化为前n项和之比,代入等式计算即可得出答案. 【详解】根据等差数列的性质, ,选项A正确. 故选:A. 6. 现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（ ） A. 35种 B. 70种 C. 126种 D. 210种 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，先将18个名额分配给一班、二班每班3个，三、四、五班每班1个， 还剩下9个名额，将剩下的9个名额进行分组，每组至少一个名额， 利用“隔板法”求解，9个元素间有8个间隔，要分成5组，8个间隔选4个插入隔板即可， 则有分配方法 种. 7. 已知是定义在上的奇函数，，当 时，有成立，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式. 【详解】构造函数，则， 因为当 时，有， 故当 时， ，单调递增； 又因为是定义在上的奇函数，， 故是偶函数， 则当 时，是单调递减函数. 又因为，则， 不等式 等价于， 所以当 时，，即 ； 当 时，，即 ， 所以不等式 的解集是. 故选：A. 8. 定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“拐点”是三次函数的对称中心求出函数解析式，然后利用导数的几何意义求出切点为的切线方程，将“过点作切线”问题转化为“方程根的个数”问题，最后利用导数研究三次函数的极值，确定m的取值范围. 【详解】可得，则，且，解得，，设切点为， 由，得， 则切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 因为切线经过点，所以， 化简得， 令，则 ， 由 ，得或， 当 或 时，，在和上递减， 当 时， ，在上递增， 所以的极小值为，极大值为， 由图象可知当时，直线 与的图象有3个交点， 所以当时，关于的方程有3个不等的根， 即当，过可以作三条直线与图象相切. 【点睛】不要混淆“切点”和“过点”：切线过点，但不一定是切点，必须设切点为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10. 身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（ ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B. A与C同学不相邻，共有72种站法 C. A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用定序法解；B利用插空法求解；C分A在排尾、A不在排尾两种情况求解；D利用捆绑法求解. 【详解】A选项，所有同学排列有种，其中A、C、D三位同学的相对顺序固定， 故站法共有种，故A正确； B选项，B、D、E同学有种站法，再将A与C同学排在个空位置中， 故站法共有种，故B正确； C选项，若A在排尾，则共有 种站法； 若A不在排尾，则A有种站法，B有种站法，共有种站法， 故共有种站法，故C正确； D选项，由题意知，A、C、D三位同学有种站法，再将其当作整体与其余两位同学排列， 共有种站法，故D错误. 11. 已知等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 最大. B. C. D. 数列中绝对值最小的项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质推导出，，此数列中绝对值最小的项为，由此能求出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴，， 可得，，，故A，B都正确，C错误， 由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数，求导得，则， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即. 13. 如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 【答案】180 【解析】 【详解】试题分析：第一步涂B、C，共种方法；第二步涂A、D，共种方法，由分步计数原理，共种方法； 考点：1.涂色问题；2.排列；3.分步计数原理； 14. 设实数，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】由，不等式， 又 ，令，求导得，在 上单调递增， 不等式， 依题意，，恒成立，令，求导得， 当时，；当 时，，在是递增，在上递减， 因此当 ，函数取得最大值，则，即， 所以实数m的最小值为． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 设，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）1 （2）243 （3） 【解析】 【分析】（1）设，求出 即可； （2）先利用二项式定理确定系数的正负，从而得出； （3），最后计算即可. 【小问1详解】 设， 则. 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴. 【小问3详解】 . 16. 已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项及等比中项应用列方程求解即可得出通项公式； （2）应用，结合对数运算律化简，最后应用裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题意得， 即，即， 解得 或， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 当时，， 当时，， 又因为符合上式，所以． 令，即， 故 ． 17. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意 都有 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当，函数 在单调递增； 当时，函数 在 单调递减,在 单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得 ，设 ，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. 【小问2详解】 因为对任意都有 ，所以 ，即 ， 令 ，，则 ， 当时， ，单调递增；当时，，单调递减， 所以 ， 故 . 18. 已知数列的前项和满足． （1）证明数列为等差数列． （2）求数列的前项和． （3）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，代入可得，当时，根据，整理化简，结合等差数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得的通项公式，根据错位相减求和法，即可得答案. （3）由条件得，令，分析的单调性，即可得答案. 【小问1详解】 由题意知：当时，，得， 当时，，又， 两式相减得，即， ，又， ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知：，即， 则， ， . 【小问3详解】 不等式等价于， 记，则，所以， 时，， ∴当时，，即， 当时，，即得， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当 时，恒成立，求a的取值范围． （3）证明：． 【答案】（1）证明：当时，函数定义域为 ，则， 令，则在 上恒成立，则在 上单调递增， 则，即在 上恒成立，在 上单调递增， 而，， 所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点． （2）； （3）证明：由（2）可知，当 时，有，则， 因此， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用导数探讨函数的单调性，再利用零点存在性定理推理即得. （2）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值即得. （3）利用（2）的结论得，再赋值并借助不等式性质，等比数列前n项和公式推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当 时，等价于， 令，求导得，令， 则，当时， ，单调递增，当时， ，单调递减， 则，于是当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此， 所以a的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $