23.4实际问题与一次函数（小模块.微专题.大压轴）（十七大题型） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《23.4实际问题与一次函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 行程问题 微专题4利润最大问题 模块2 工程问题 压轴1 几何问题1----规律探索 模块3 计时问题 压轴2 几何问题2----动点问题 模块4 调运问题 压轴3 几何问题3----将军饮马问题 模块5 分配问题 压轴4几何问题4----面积关系存在性问题 模块6体积问题 压轴5几何问题5----三角形全等存在性问题 微专题1梯度计价问题 压轴6 几何问题6----直角的存在性问题 微专题2最佳方案问题 压轴7几何问题7----等腰三角形存在性问题 微专题3费用最少问题 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果，在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式.在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径. 知识点2 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段，读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义. 模块通关·举一反三 【模块一】行程问题 【例1】在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.85 【来源】第四章 一次函数 4 一次函数的应用 第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式． ①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出甲爬山的速度；②当时，根据高度初始高度速度时间，即可得出关于的函数关系，令可求出相应的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解． 【详解】解：①甲的爬山高度是 米，用时 20 分钟，故速度是米／分，故①正确； ②当时，， 当时，，故，故②正确； ③乙提速后距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 甲爬山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 当时， 解得：；故③正确； ④令， ， 甲乙相遇后，甲再经过 1 分钟与乙相距 20 米，故④正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 【变式1-1】机器人送餐作为餐饮服务领域的技术革新，其影响已超越工具属性，成为现代生活方式的缩影．某餐厅的机器人乐乐和明明从取餐口出发，准备给相距的客人送餐，乐乐比明明先出发，且速度保持不变，明明出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若乐乐行进的时间为x（单位：s），乐乐和明明行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．乐乐比明明早出发 B． C．乐乐的速度为 D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】辽宁省朝阳市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数的图象获取信息，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键． 根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：结合图象可知，乐乐的图象从开始，明明的图象从开始， ∴乐乐比明明先出发， 故A选项说法正确，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴明明提速前的速度是， ∵明明出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴明明提速后速度为， 故提速后明明行走所用时间为：， ∴， 故B选项说法正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴乐乐的速度为， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∴； 故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回A地、拿到物品后以提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．乙的速度为 B．两人第一次相遇的时间是分钟 C．B点的坐标为 D．甲最终到达B地的时间是分钟 【答案】D 【难度】0.65 【来源】江苏省南京玄武外国语学校2025-2026学年上学期八年级数学第三次月考试卷 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象，行程中的相遇问题，解一元一次方程，读懂函数图象并从图象中获取信息，分析运动过程是解答本题的关键和难点． 由线段水平可得，甲乙相距的路程不变，得出甲返回的速度和乙的速度相等，即乙的速度为甲先前速度的倍，假设甲先前的速度为，则乙的速度为，根据路程列出方程求出速度，然后再根据图象逐步进行判断即可． 【详解】解：A.由线段水平可得，甲乙相距的路程不变， ∴甲返回的速度和乙的速度相等，即乙的速度为甲先前速度的倍， 假设甲先前的速度为，则乙的速度为， 根据题意得， 解得， ∴乙的速度为， ∴该选项正确，不符合题意； B.由A.得，甲先前的速度为，前6分钟甲走的路程为， 甲返回地需要的时间为， ∴甲重新从地出发与乙相遇所需时间为， 甲乙相遇总共所用时间为， ∴该选项正确，不符合题意； C.线段为甲单独先走3分钟所形成的图象， 此时，甲乙相距的路程为， ∴B点的坐标为， ∴该选项正确，不符合题意； D. 甲最终到达B地的时间是， ∴该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】根据以下素材，探索完成任务． 背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程． 素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线－－表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系． 素材3 如图②，线段表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系． 问题解决 任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是______ ，从终点返回的3号观光车的速度是________ ． 任务2 小宁出发多长时间后，与小波离终点的路程相同？ 任务3 小宁出发________ 后，两人相距30 ． 【答案】任务1：16；24，任务2：小宁出发后，与小波离终点的路程相同，任务3：或 【难度】0.4 【来源】2025-2026学年 沪科版八年级 数学上册期中检测卷 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题关键是理解题意，求出一次函数的解析式以及它们的交点，并分类讨论求解． （1）根据图象得出路程与时间后即可求解； （2）分别求出两个一次函数的解析式，联立后即可求解； （3）根据题意分情况讨论，再检验所得结果后即可确定小宁出发的时间． 【详解】解：任务1：从景点甲到终点的2号观光车的速度是； 从终点返回的3号观光车的速度是； 任务2：由图可知：，，，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由解得， ∴小宁出发后，与小波离终点的路程相同； 任务3：当时，由图可知，他们之间的距离不少于； 当，令， 解得，且符合题意； 当时，令， 解得，不符合题意，舍去； 当时，令， 解得，且符合题意； 当时，令， 解得，不符合题意，舍去； 综上可得：小宁出发或后，两人相距 ． 【模块二】工程问题 【例2】请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批秋季服装，有A，B，C三种款式． ◆A，B，C三种款式服装，每种款式至少加工1件． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工A服装3件，或B服装1件，或C服装1件． ◆C服装总件数和A服装总件数相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①A种服装：24元/件； ②B种服装：65元/件； ③C种服装：48元/件． 信息整理 现安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装，列表如下： 服装款式 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） A y 3 24 B x 1 65 C 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求y与x之间的数量关系； 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 【答案】任务1： ；任务2： 【难度】0.65 【来源】辽宁省沈阳市铁西区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】题目主要考查一次函数及应用，理解题意，根据函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装，得出加工C服装的有人，然后利用C服装总件数和A服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：求出A，B，C款服装各自利润，然后求和即可得到答案． 【详解】解：任务1：根据题意得：安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装， ∴加工C服装的有人， ∵C服装总件数和A服装相等， ∴， ∴． 任务2：根据题意得， A服装利润为：， B服装利润为：， C服装利润为：， ∴， ∴w关于x的函数表达式为：． 【变式2-1】如图是甲、乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量y关于时间x的函数图象，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图象，线段表示乙机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图象．根据图象信息回答下列填空题．    (1)甲机器人比乙机器人早开始工作 小时；甲机器人每小时的工作量是 吨． (2)直线的表达式为 ；当乙机器人工作6小时后，它完成的工作量是 吨． 【答案】(1)3；5 (2)；60 【分析】（1）观察图象理解两点的意义，根据图象中的数据求解即可； （2）先求得的表达式，再求得线段与线段交点及点的坐标，用待定系数法求解析式即可． 【详解】（1）解：点是乙种机器人开始工作的时间，所以甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时； 甲的工作总量为吨，工作时间为小时，所以，每小时的工作量为： 故答案为：3，5； （2）解：设直线的表达式为， 把代入，得：， ∴直线的表达式为， 令，得：， ∴线段与线段交于点， 设直线的表达式为， 则：， 解得， ∴直线的表达式为， 令，得：， ∴当乙机器人工作6小时后，它完成的工作量是60吨． 故答案为：；60． 【点睛】本题考查了一次函数图象的实际意义，待定系数法求解析式，求得线段与线段交点是解题的关键． 【变式2-2】甲、乙两个工程队修建一条公路，先由甲工程队施工一段时间，乙工程队再加入一起施工，公路修建的长度与施工的时间（天）之间的函数关系图象如图所示，则甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】安徽省六安市裕安区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，先理解题意，再设甲､乙两队合作后y与x之间的函数关系式为，然后将点代入，进行计算，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：设甲､乙两队合作后y与x之间的函数关系式为，将点代入， 得， 解得， ∴， 把代入， ∴， ∴甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是， 故选：A 【变式2-3】为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【答案】(1)180，90，360，900 (2) (3) (4)6（天） 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （4）根据前三问求出公路总长即可解答． 【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路（米）， ∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天， ∴甲工程队每天修路（米）， ∴，， 故答案为：180，90，360，900； （2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点代入得， ∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得：， ∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （4）解：公路总长为（米）， 甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路（米）， ∴需要（天）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． 【模块三】计时问题 【例3】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到下表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当箭尺读数为时是晚上 【难度】0.85 【来源】安徽省黄山市歙县部分学校联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键． （）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）当时，得，解得，然后计算即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数． 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， ∵上午经过小时后是晚上， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是晚上． 【变式3-1】如图，漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对数学思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位与时间满足某种确定的关系．下表是小明记录的部分数据，则当为时，对应的时间为 ． … … … …    【答案】 【分析】设水位与时间的关系式为，用分别将、；、代入求出解析式即可． 【详解】解：设水位与时间的关系式为， 代入表中数据得 解得： ∴水位与时间的的一次函数关系式为， 当时，， 解得：． 故填：． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的性质是解题的关键． 【变式3-2】某冰厂分两批运进数量均为30000件的冰块．第一批冰块上午8：00送达，采用智能线搬运入库．智能搬运分Ⅰ、Ⅱ档，两档的搬运速度均固定，其中Ⅰ档的搬运速度为3000件/小时，Ⅱ档的速度大于Ⅰ档的速度，但不超过Ⅰ档速度的2倍．由于Ⅱ档运输损耗比较大，工厂决定先采用Ⅰ档运输，11：00后采用Ⅱ档运输．第二批冰块9：00送达，采用人工线搬运，搬运工人总数为200人．为了解人工线搬运的情况，冰厂随机记录了20位工人在10：30﹣11：30的搬运量，并记录了5个时刻冰块剩余量分别如表一、表二所示： 表一 数量（单位：件） 23 24 25 26 27 人数（单位：人） 2 6 6 2 4 表二 时刻 9：30 10：30 11：30 13：30 14：00 剩余量（单位：件） 27499 22500 m 7500 5000 (1)智能线Ⅰ档运输时，求智能线冰块剩余量y（单位：件）关于搬运时间t（单位：h）的函数解析式； (2)求m的值； (3)经统计在8：00时至11：00前的某个时刻，当两条搬运线共搬运11000件冰块时，两条搬运线冰块剩余量的差值为2a（a＞0）件．再过1.5小时后，两条搬运线剩余量的差值为a件．请问智能线能否赶在人工线前完工？ 【答案】(1)y＝30000−3000t，0≤t≤3 (2)17500 (3)不能，理由如下 【分析】（1）根据题意可直接得出结论； （2）根据表一、表二可得出工人每小时搬运冰块数量，由此可得出m的值； （3）先设智能线Ⅰ档搬运t小时时，两条搬运线共搬运11000件，建立方程，求出t的值，进而求出a的值，再设Ⅱ档搬运线的搬运速度为n件/小时，根据题意建立方程，求出n的值，再分别计算智能线和人工线的时间，进而比较即可． 【详解】（1）根据题意可知，y＝30000−3000t， 搬运时间是从8:00到11:00， 即有0≤t≤3， 则有：函数关系为：y＝30000−3000t，0≤t≤3； （2）由题意可知，表一和表二均是反应人工线的情况， 由表一可知，这20位工人， 这一小时的工作量为23×2+24×6+25×6+26×2+27×4=500（件）， 则200人，一小时工作量为500×200÷20=5000件， ∴m＝22500−5000＝17500． 即m的值为：17500； （3）不能，理由如下： 设智能线Ⅰ档搬运t小时时，两条搬运线共搬运11000件， 根据题意可知，3000t＋5000（t−1）＝11000， 解得t＝2．则此时的时刻为10:00， ∴2a＝（30000−3000×2）−（30000−5000×1），解得a＝500． 设Ⅱ档搬运线的搬运速度为n件/小时， 即在接下来的1.5个小时内：智能Ⅰ档还要运行1小时至11:00换智能Ⅱ挡，即另外的0.5小时为智能Ⅱ档运行， 根据题意可知，|30000−3000×3−0.5n−（30000−2.5×5000）|＝500， 解得n＝6000或n＝8000（n=8000时，速度超过Ⅰ档的两倍，舍去）， ∴第一批所用时间为：3＋（30000−3000×3）÷6000＝7.5（小时）， 第二批所用时间为：30000÷5000＝6（小时）， ∵7.5＞6， ∴智能线不能赶在人工线前完工． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，一次函数的应用等相关内容，解题的关键是理解题意，列出方程． 【变式3-3】某市有A，B两个水库，由于近期持续降雨，6月5日，水库A，B的水位从8：00开始持续上涨，设水位上涨时间x（小时），下表记录了水库A最近7小时内8个时间点的水位高度． 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 水位高度f（米） 4.55 4.7 4.85 5 5.15 5.29 5.45 5.6 从8：00至11：00点，水库B的水位高度g（单位：米）与水位上涨时间x（小时）之间的关系如图所示． (1)求水库B的水位高度g关于水位上涨时间x（）的函数解析式； (2)请求出水库A的水位高度f关于水位上涨时间x的函数解析式（使尽可能多的数据满足这个函数解析式），若水位按照这个规律上涨，请估计当日18：00时，水库A的水位高度； (3)水库B的警戒水位是5.6米．若从当日11：00开始，水库B的水位高度g与水位上涨时间x满足一次函数关系，且从当日8：00到15：00这段时间，A，B两水库有两个时刻水位高度相等，当日15：00时，两水库的水位高度差值为a米，其中，那么按此上涨规律，当日18：00时，水库B的水位高度是否超过警戒水位？请说明理由 【答案】(1)（） (2)6.05米 (3)是，理由见解析 【分析】（1）设g＝kx+4.4，用待定系数法可得g＝0.3x+4.4（0≤x≤3）； （2）用待定系数法得f＝0.15x+4.55；x＝18﹣8＝10时，f＝6.05米； （3）根据从当日8：00到15：00这段时间，A，B两水库有两个时刻水位高度相等，当日15：00时，两水库的水位高度差值为a米，知当日15：00时，水库B水位是（5.6﹣a）米，设从当日11：00开始，水库B的水位高度g与水位上涨时间x满足的一次函数关系为g＝mx+n，用待定系数法得g＝（﹣ a+）x+a+，当日18：00，即x＝10时，g＝﹣a+，根据0≤a≤0.1，可得5.65≤﹣a+≤5.825，从而可得当日18：00时，水库B的水位高度超过警戒水位． 【详解】（1）解：设（）， 把，分别代入上式得，， 解得， 所以解析式为（）， （2）解法一： 根据题意得，当时，；当时，， 设函数的关系式为，代入得， 解得， 所以（）， 表格中除，不满足上述关系式外，其他几组数据所对应的x与f的值都满足该关系式． 当日18：00即，代入得，按此变化规律，估计当日18：00，水库A的水位高度为6．05米， 解法二： 水库A的水位高度f与水位上涨时间x大致满足一次函数， 函数关系式为（）， 表格中除，不满足上述关系式外，其他几组数据所对应的x与f的值都满足该关系式． 当日18：00即，代入得，按此变化规律，估计当日18：00，水库A的水位高度为6．05米． （3）当时，由得， 因为从当日8：00到15：00两水库有两个时刻水位高度相等， 所以当时，还有一个时刻两水库水位高度相等， 又时，， 所以当时，， 由题意知，从当日11：00开始，水库B的水位高度g与水位上涨时间x满足一次函数关系，设为，把代入得，， 所以（）， 当日15：00，即时，水库A的水位高度为米，水库B的水位高度， 为（米）， 又， 因为， 即， 所以， 当日18：00，即，此时， 因为，所以g随m的增大而增大， 所以， 所以， 因此按此上涨规律，当日18：00水库B的水位高度会超过警戒水位． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【模块四】调运问题 【例4】A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 【答案】(1)，， (2)（，且为整数） (3)A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校，最低费用为500元 【难度】0.65 【来源】山东省日照市2023—2024学年 下学期 数学八年级阶段素养测试 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据表格即可填空； （2）利用总费用等于A校运往学校的费用加上B校运往学校的费用即可求解函数关系式； （3）利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为台；B校运往C校的电脑为台，B校运往D校的电脑为台， 故答案为：；；； （2）解：由题意得， （，且为整数） （3）解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小， ∴最低运费是（元）， 总运费最低的调运方案为：A校运往4台电脑到C校，运往10台电脑到D校；B校运往8台电脑到C校，运往0台电脑到D校． 答：最低运费为元，总运费最低的调运方案为：A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校． 【变式4-1】某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)，，； (2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； (3)见详解 【难度】0.4 【来源】广东省揭阳市惠来县第一中学2023—-2024学年下学期八年级数学竞赛试题 【知识点】列代数式、判断一次函数的增减性、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度． （1）根据题意，用240减可得需要从处运往处的数量；用200减去可得从处运往处的数量；300减去即为从处运往处的数量； （2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （3）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时；当时；当时． 【详解】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨，           总计/      200           300 总计/ 240 260 500 故答案为：，，； （2）解：与之间的函数关系式为， 由题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，总运费最小， 此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； （3）解：由题意得， 当时，（2）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元； 当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小， 其调运方案如下：调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨． 【变式4-2】雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【答案】(1) (2)①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台 (3)a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同 【难度】0.4 【来源】黑龙江省七台河市勃利县两校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等的应用，方程和方案问题，熟练掌握一次函数的应用和一元一次不等式的应用是解题的关键， （1）设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，根据题意可列出W关于x的关系式，再结合实际问题可得到x的取值范围； （2）由于总运费多于元，可得，解得，再根据，可得到三种方案； （3）：设调整后曙光村A型运费为元/台，可得调整后的总费用与x的关系式，因为所有方案总运费相同，所以消去x的影响，得到，即可得到a的值，最后验证即可确定答案． 【详解】（1）解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得： ， 整理得到：， ∵调运数量非负且不超过库存， ∴x的取值范围为：，且为整数， ∴． （2）解：∵总运费多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， ∴有三种方案，分别是： ①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台． （3）解：设调整后曙光村A型运费为元/台， 总运费变为：， 整理得：， ∵所有方案总运费相同， ∴， 解得：， 经验证，符合题意， ∴时，所有方案总运费相同． 【变式4-3】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【难度】0.4 【来源】湖北省荆门市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 【模块五】分配问题 【例5】某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【难度】0.65 【来源】浙江省嘉兴市2025-2026学年八年级上学期数学学科期末试卷 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、不等式组的分配问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 【变式5-1】在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型卡每块15万元，乙型卡每块10万元 (2)采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元 【难度】0.65 【来源】云南省临沧市镇康县2024-2025学年 八年级下学期期末义务教育质量监测数学试题 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）设采购甲型卡a块，则乙型卡块，先得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，再设总费用为，得到关于的一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元， 根据题意，得， 解得， 答：每块甲型卡15万元，每块乙型卡10万元； （2）解：设采购甲型卡a块，则乙型卡块， 由题意得，， 解得， 设总费用为， 则， ∵， ∴C随a增大而增大， ∴当时，C最小， 此时， （万元）， ∴采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元． 【变式5-2】为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】(1)300 , 200 (2)，A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． (3)a的最小值为10 【难度】0.85 【来源】江苏省扬州市江都区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决几何问题、一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 【变式5-3】A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元 【难度】0.65 【来源】浙江省嘉兴市二十一世纪外国语学校2025--2026学年八年级上学期12月月考数学试题卷 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，一次函数的应用，正确理解题意和熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目所给信息列式求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设红十字会A运往甲地物资吨，则红十字会A运往乙地物资吨， ∴红十字会B运往甲地物资吨， ∴红十字会B运往乙地物资吨， 列表如下： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 乙地 （2）解：由题意得， （3）解：∵，， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时， 答：A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元． 【模块六】体积问题 【例6】如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．    (1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同： (3)若乙容器底面积为（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积． 【答案】(1)20，140 (2)注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同 (3) 【分析】（1）借助图像可知折线是乙容器睡得高度随时间的变化图象，分析图象可以得到答案； （2）分别求出线段、的解析式，然后联立解方程组即可解题； （3）先求出铁块的底面积，然后计算出铁块的体积即可解题． 【详解】（1）解：由图像可知，折线是乙容器睡得高度随时间的变化图象，即可以得到原有水的高度是，铁块的高度是； 故答案为：20，140． （2）设线段的解析式为：， 将点和代入得，解得， 设线段的解析式为：， 将点和代入得， ，解得， ， 令， 解得， 注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同． （3）解：由图象知：当水槽中没过铁块时4分钟水面上升了120mm，即1分钟上升30mm， 当水面没有没过铁块时，2分钟上升了50mm，即1分钟上升25mm． 设铁块的底面积为． 匀速注水， 1分钟非水量是相等的． 乙水槽中放入铁块时，1分钟注水的体积为： 不放铁块时，1分钟注水的体积为：， ，解得， 铁块的体积为：． 【点睛】本题考查一次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 【变式6-1】如图，深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，右图为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（　　） A．注水的速度为每分钟注入高水位的水 B．放人的长方体的高度为 C．该容器注满水所用的时间为分钟 D．此长方体的体积为此容器的体积的 【答案】C 【分析】运用待定系数法分别求出的解析式，再由一次函数的性质结合自变量与函数值之间的关系就可以求出结论． 【详解】解：设的解析式为，的解析式为，由题意得 ，， 解得：，， ∴， A、当时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水，当时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水； B、由图象知，放置在圆柱体容器内的长方体的高为cm； C、令则，，解得：， ∴该容器注满水的时间为21分钟； D、设每秒钟的注水量为m，则下底面中未被长方体覆盖部分的面积是：=()， 圆柱体的底面积为：=. 二者比为:， ∴长方体底面积：圆柱体底面积. ∵圆柱高：长方体高， ∴长方体体积：圆柱体体积， ∴圆柱体的体积为长方体容器体积的； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式6-2】如图1，这是甲、乙两个长方体容器的轴截面示意图，已知甲容器中有一个体积为的实心圆柱体固定在容器底部，现将甲容器中的水用导管匀速注入乙容器内，在这个过程中，甲、乙两个容器中水的高度h（）与注水时间t（）之间的函数关系如图2所示，则乙容器的底面积是 ．    【来源】辽宁省锦州市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【答案】60 【分析】设甲容器底面积为，乙容器底面积为，根据拐点可得实心铁柱的高为，可得实心铁柱的底面积，根据函数图象可求得甲容器的高度与时间的函数解析式和乙容器的高度与时间的函数解析式，再结合函数图象，甲容器减少的水的体积刚好等于乙容器增加的水的体积，列出方程求解即可． 【详解】解：设甲容器底面积为，乙容器底面积为， 根据图象可知，拐点 ∴实心铁柱的高为， ∴实心铁柱的底面积为， 甲容器的高度与时间的函数图象分为2段， ，函数图象过点， 可得函数解析式为， ，函数图象过点， 可得函数解析式为， 乙容器的高度与时间的图象经过点，， ∴， 当时，， ，， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式6-3】如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【来源】浙江省杭州市2025-2026学年八年级数学上学期期末自编模拟卷02（浙教版） 【知识点】 圆柱的体积、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）1分钟时水淹没铁块，铁块高度即此时乙容器水深，得； （2）分别设甲、乙水深的一次函数，代入点求解解析式，联立方程得水深相同时的时长为； （3）先算甲容器总水量、倒水速度，再求乙容器底面积，最后算剩余水注入后乙、丙的水面高度为． 【详解】（1）解：由图可得，0到1分钟是水逐渐淹没铁块过程， 故当1分钟时，铁块高度为， 故答案为：8． （2）由图象可得时，甲、乙两容器中水的深度相同， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 令，得，解得， 所以当甲、乙两容器中水的深度相同时，注水时长为． （3）解：由题图，得甲容器中初始水面高度为， 所以水的总体积为， 所以每分钟甲容器中的水倒出， 所以乙容器1～3分钟水的体积增加了， 因为乙容器 1～3 分钟水面升高了， 所以乙容器的底面积为． 因为丙容器的底面积为， 所以当水面为高时，丙容器中水的体积为， 此时甲容器中剩余的水的体积为， 所以将这部分水全注入乙、丙容器中水面高度． 故答案为：24． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】梯度计价问题 【例7】．以下是某市自来水价格调整表（部分）：（单位：元/）则调整水价后某户居民月用水量x（）与应交水费y（元）的函数大致图象是（　　） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户0～30 第二阶梯：月用水量每户超过30 部分 A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年 沪科版八年级 数学上册期中检测卷 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是理解题意，正确列出函数解析式．本题列出解析式后即可求解． 【详解】解：当用户用水量位于第一阶梯时，， 当用户用水量位于第二阶梯时，， ∴两段图象都是一次函数的图象，排除选项A与选项C， ∵， ∴第二段图象比第一段上升更快， 故选：B ． 【变式7-1】某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山西省晋中市太谷区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 【变式7-2】市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【难度】0.85 【来源】2025年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级中考一模数学试题 【知识点】梯度计价问题 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 【变式7-3】某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【难度】0.65 【来源】2025年江苏省无锡市厚桥中学九年级中考二模数学试题 【知识点】梯度计价问题、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 【微专题二】最佳方案问题 【例8】某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)见详解 【难度】0.85 【来源】山东省济宁市邹城十一中2024-2025学年下学期八年级第二次月考数学试题 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分类讨论：当，，时，分别算出对应的健身的次数，再进行作答即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：由（2）得当时，解得， 即去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； 当时， 解得， 即去体育馆健身超过10次时，选择套餐二； 当时， 即去体育馆健身小于10次时，选择套餐一． 【变式8-1】某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 【答案】(1)活动一：；活动二： (2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠 【难度】0.85 【来源】四川省广安市武胜县青岩学校2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两种活动情况计算即可； （2）比较两个函数值的大小即可． 【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为， 活动二：y与x之间的函数关系数式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠． 【变式8-2】新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【答案】(1) (2)若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算 【难度】0.85 【来源】山西省忻州市静乐县部分学校2024-2025学年下学期5月月考八年级数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的应用——方案问题，结合临界点分析，明确了不同充电量下的最优选择．关键在于正确理解方案的费用结构，并通过方程求解临界值． （1）根据方案一为直接折扣，方案二含固定费用加折扣直接写出答案即可； （2）分情况讨论：通过建立一次函数关系式，并求解临界点，确定不同充电量时的最优方案即可． 【详解】（1）解： 方案一白天时段每度电享受九折优惠， . 方案二先花元，然后白天时段每度电享受七五折优惠， . （2）分情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算． 【变式8-3】周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3)甲方案更划算，理由见解析 【难度】0.85 【来源】第4章2课时3分段函数-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024） 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 【微专题三】 费用最少问题 【例9】某健身房暑期面向全体市民推出会员制优惠活动，方案如下： 方案一：在微信朋友圈转发一次宣传广告，成为普通会员，每次健身费用享受折优惠； 方案二：缴纳元会费，成为VIP会员，每次健身费用享受5折优惠． 已知优惠前每次健身费用为a元，设某市民暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且；按照方案二所需费用为元，且，其对应函数图象如图所示． (1)求的函数表达式； (2)求a和的值； (3)若市民小李计划暑期前往该健身房健身次，选择哪种方案所需费用较少？并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)选择方案二所需费用较少，理由见解析 【难度】0.85 【来源】安徽省宿州市砀山县2025-2026学年度八年级上学期期中考试数学 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键； （1）把和代入，即可求解； （2）令，得．求出一次健身享受5折优惠后的费用为元，即可求解； （3）由（1）（2）知，．计算当时的函数值，即可比较； 【详解】（1）解：把和代入， 得，① ，② 将②代入①，得， 所以的函数表达式为． （2）解：由（1）知的函数表达式为． 令，得． 由题意，得（元），即一次健身享受5折优惠后的费用为元， 所以． 由方案一知． （3）解：选择方案二所需费用较少． 理由：由（1）（2）知，． 当时，，． 因为，所以选择方案二所需费用较少． 【变式9-1】人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年 第一学期九年级数学期末考试卷 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）购买A型机器人个，则购买B型机器人个，根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据一次函数的性质，求得函数值的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：购买A型机器人个，则购买B型机器人个， 根据题意，得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得，解得， 在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最小， 此时． 答：购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元． 【变式9-2】共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． 【答案】(1)当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为元； (2)选择品牌共享电动车更省钱，理由见解析． 【难度】0.65 【来源】陕西省咸阳市秦都区2025-2026学年上学期八年级数学12月份月考模拟卷 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，能利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键． （1）根据函数图象可得交点的坐标，结合，所表示的实际意义即可解答； （2）依据题意，先利用待定系数法，求出的解析式，然后根据“时间路程速度”求出王老师从家骑行到学校所需时间，再分别求出选择，品牌共享电动车所需费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得，点， ∵横坐标表示骑行的时间，纵坐标表示所收的费用， ∴交点表示的实际意义是：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为元． （2）解：由题意，设当时，， 由函数图可知经过点，，并将这两点代入得： ， 由②①得： ， ， ， 将代入①中，，即， ∴当时，， ∴． ∵， 又∵由题意，王老师从家骑行到学校所需时间为， ∴品牌所需费用为（元）， ∵， ∴品牌所需费用为（元）． ∵， ∴ ∴选择品牌共享电动车更省钱． 【变式9-3】某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案： 方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售； 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售． 设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)________；_______． (2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． (3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由． 【答案】(1)21，3000 (2)，的实际意义是每棵树苗按九折出售的价格 (3)方案一购买所需费用更少．理由见解析 【难度】0.65 【来源】福建省漳州市诏安县某校2025-2026学年八年级上学期第二次考试数学试题 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、方案选择(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到和的值； （2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价； 根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式,并说明的实际意义； （3）将代入和，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：由图象可得，函数, 过点， 则， 解得： 故答案为：21，3000； （2）解：由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元， 每棵树苗的原价是（元）， 即每棵树苗的原价30元： 方案二中的树苗打九折优惠， 按照方案二购买的每棵树苗的价格为（元）， 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠，当时，， ， 的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格； （3）解：该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少， 理由：由（1）（2）可知，， 当时， ， ， 该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少． 【微专题四】 利润最大问题 【例10】为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【答案】(1)甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； (2)共3种进货方案； (3)见解析 【难度】0.4 【来源】四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试题（2） 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求得第一批和第二批利润，再设第三次进货甲为a袋，乙为袋，根据题意列不等式组求解即可； （3）调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋，求得总利润函数为，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组：， 解得， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； （2）解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； （3）解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 【变式10-1】某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)A图书标价27元，B图书标价25元 (2) (3)购进A图书40本，B图书160本，利润最大，为元 【难度】0.85 【来源】湖南省衡阳市船山实验中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键． （1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进图书m本，图书本，利润为W元．根据题意得出W关于的关系式； （3）根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设图书标价x元/本，图书标价y元/本． 由题意得：， 解得， 答：图书标价27元/本，图书标价25元/本； （2）解：依题意，设购进图书本，图书本，利润为元． 则 ， ∵A图书不少于40本．不多于60本， ∴； （3）解：依题意，； 随的增大而减小， ， 当时，W有最大值为（元），（本）， 答：购进图书40本，图书160本，利润最大，为元． 【变式10-2】某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； (2)购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【难度】0.85 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，根据用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同，进行列式计算，即可作答． （2）先理解款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得出，解得，因为款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，进行列式化简得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 【变式10-3】中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 【答案】(1) (2)上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元 (3)元/千克 【难度】0.4 【来源】2025年四川省广元市初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学模拟试卷（四） 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数与分段函数，自变量取值范围，要根据题目给的范围，找准等量关系是解题关键． （1）分，，三种情况讨论，分别设出函数关系式，利用待定系数法求解即可； （2）设每千克猕猴桃的纯收益为元，根据纯收益市场售价种植成本，结合一次函数的增减性讨论求解即可； （3）将代入，计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 综上，市场售价与上市时间之间的函数关系式为； （2）解：设每千克猕猴桃的纯收益为元， 当时，， 随的增大而减小， 当时，最大，最大值为． 当时，， 随的增大而减小， ， ． 当时，， 随的增大而增大， 当时，最大，最大值为． 综上可得，上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元． （3）解：当时，， 当纯收益最大时，猕猴桃的售价是元/千克． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 几何问题1----规律探索 【例11】如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…，记面积为，面积为，面积为，…，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【来源】山东省东营市2024—2025学年上学期七年级数学期末题 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及图形变化的规律，能通过计算得出（n为正整数）是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将代入得，， 所以点得坐标为． 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为轴，且点在直线上， 所以点得坐标为， 所以， 所以， 依次类推，， ， …， 所以（n为正整数）． 当时，． 故答案为： 【变式11-1】正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，已知，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求得…的坐标，根据横纵坐标可以得到一定的规律，据此即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2）， ∴的坐标为（3，4） ∴点的坐标为（7，4）， … ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴的坐标是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标的变化规律，弄懂题意，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 【变式11-2】正方形，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 【答案】（n为正整数） 【难度】0.65 【来源】四川省广安第二中学校2025-2026学年上学期九年级第二次素质评价测试试卷数学 【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，通过求出第一个正方形，第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解题的关键，根据直线解析式先求出，再求出第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长，从而求得点的坐标． 【详解】解：∵直线， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【难度】0.65 【来源】2024-2025学年苏科版数学八年级上册期末测试卷 （2） 【知识点】一次函数的规律探究问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的边长，得出规律，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，， ∴， 即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为， 故选：A． 【压轴二】 几何问题2----动点问题 【例12】如图，在矩形中，，动点P沿折线从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意知，当在上运动，即时，；当在上运动，即时，，整理得；然后判断图象即可； 【详解】由题意知，当在上运动，即时，， 当在上运动，即时，，整理得； y与x之间的函数关系的图象大致是    故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数图象等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式12-1】如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【来源】安徽省鞍山市第八初级中学2025-2026学年第一学期期末素质测试 八年级数学试题卷 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、动点问题，求得的面积y随t变化的函数解析式是解题的关键． 根据动点的变化，当点M在边上运动时，，求得；当点M在边上运动时，，，令求解即可． 【详解】解：根据图象可知，即， 当点M在边上运动时，， ∴，解得：， 当点M在边上运动时，， ∴， 令，解得：． 故选：C． 【变式12-2】如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据四边形是矩形得到，，结合平行线间距离处处相等分点在、、上运动直接求解即可得到答案， 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ①    当点在上运动时，， ， 当点到时，； ②    点在上运动时，， 当点到时，， ③    点在上运动时，， ， 当点到时，， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数在图形中的应用，解题的关键表示出动点在三边运动时的解析式找到端点． 【变式12-3】综合与实践 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点D运动，连接，设点P的运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，的长为______，的长为______． (2)当点P不与点A，D重合时，设的面积为y，求出y与t之间的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)6， (2) (3)t的值为3.5或9.5 【难度】0.65 【来源】江苏省南京一中明发滨江分校2025-2026学年上学期八年级 12月月考数学试卷 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，，当时，，根据勾股定理得到； （2）分3种情况：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，根据三角形的面积公式得到结论． （3）根据题意得到结论． 【详解】（1）解：在长方形中，， ∴，，， 当时，， ∵， ∴点P在线段上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6，； （2）解：分3种情况： ①当点P在上时，，； ②当点P在上时，； ③当点P在上时，，； 综上所述：； （3）解：∵， ∴分两种情况： ①当点P在上时，即， ∴； ②， ∴． 综上所述：t的值为3.5或9.5． 【压轴三】 几何问题3----将军饮马问题 【例13】如图，在中，，点C在边上，且，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.94 【来源】陕西省西安市经开区第一中学2024—-2025学年上学期12月考八年级数学试题 【知识点】一次函数与几何综合、用SAS证明三角形全等（SAS）、坐标与图形变化——轴对称、线段问题(轴对称综合题) 【分析】先在y轴上截取，证明，得出当点E、P、C共线时四边形周长最小，进而利用一次函数的解析式以及求交点的方法求解即可． 【详解】解：如图，在y轴上截取， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形周长 （当点E、P、C共线时“”成立） ∵，点D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：， 将点，代入解析式可得： ∴， ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 将点代入解析式得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立和，得， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了将军饮马-最短路径问题，涉及到求一次函数解析式，两直线的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是找到符合题意的点位置，再求坐标． 【变式13-1】如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，当的值最小时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，最小值为，如图． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令，则，解得：， 点的坐标为． 故选：C．    【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 【变式13-2】如图，一次函数的图象经过点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)直线交轴于点，在轴上是否存在点，使得的和最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在， 【难度】0.65 【来源】四川省成都市龙泉驿区向阳桥学校2025-2026学年 八年级上学期第三学月测数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数： （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，利用求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为的和最小时的位置，求出的解析式，令y为0求出P即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 将代入， 得， ， ； （2）解：连接， 当时，， 当时，， ∴， ， ； （3）解：当时，， 作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点， 则点即为的和最小时的位置， 设，将代入，得， ， ． 当时，， ， ． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是 ； （2）当取得最小值时，点M的坐标是 ． 【答案】 (1)1 (2) 【难度】0.65 【来源】天津市西青区205-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、两点之间线段最短、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 【压轴四】 几何问题4----面积关系存在性问题 【例14】已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【难度】0.4 【来源】江苏省连云港市灌云县城西实验中学2025-2026学年上学期八年级数学第三次学情调查问卷 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 【变式14-1】在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【答案】（1）；（2），，或 【难度】0.94 【来源】专题16 一次函数和图象的性质-2021-2022学年八年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版） 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（1）由平移和待定系数法求出直线l的解析式； （2）先求出三角形AOB的面积，进而得出三角形ABP的面积，三角形ABP的面积用三角形PAF和BAF的面积之和建立方程求出m的值． 【详解】解：（1）∵将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l， ∴设直线l解析式为y＝kx+2， ∵直线l经过点A（﹣4，0） ∴﹣4k+2＝0， ∴k＝， ∴直线l的解析式为y＝x+2， （2）当x=0时，y=2， ∴ 当点P在轴上时， 或；   当点P在y轴上时， 或； 综上所述，点P的坐标为，，或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的平移，三角形的面积，解本题的关键是分类讨论，求出的长． 【变式14-2】如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市西光中学教育集团2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数与几何图形，一次函数与一元一次方程， （1）将点代入直线，可得答案； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点可得，进而求出，再求出，结合题意可得，然后设，根据面积相等得出答案． 【详解】（1）解：点在直线上， ∴，解得， 即； （2）解：直线与轴交于点， 将代入得， 解得， ，即； 又， ∴， ， ． 又， ， 设 ． ， 解得或， 或． 【变式14-3】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.85 【来源】山东省青岛市北区2025-2026学年上学期八年级上期中数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）分别令、代入一次函数中计算求解即可； （2）根据题意得出，进而得到，根据列方程计算求解即可； （3）过点作于点，结合图象表示出，根据直角三角形面积公式，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 令得，，解得，则点的坐标为， 令得，，则点的坐标为， 答：点、点的坐标为，； （2）解：根据题意得，点的横坐标为，则 当时， 则、 因此 由得： 解得， 答：的值为； （3）解：过点作于点，如图： 则 由于 则 即 解得： 故答案为：． 【压轴五】 几何问题5----三角形全等存在性问题 【例15】如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市2025-2026学年上学期八年级数学期末练习卷 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 求出、点，分平行x轴、不平行x轴两种情况，作出图形，结合图形分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，，    ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 【变式15-1】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【难度】0.85 【来源】甘肃省兰州市安宁区西北师大二附中2023-2024学年上学期八年级期末数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上，； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 【变式15-2】如图，直线与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)若点M是直线上的点，且在y轴左侧，过点M作直线于点N，点Q在直线上，要使，求所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与过点的直线交于点，确定，设直线的解析式为，待定系数法计算即可． （2）根据点，点，确定，根据得到，结合，确定继而，故，计算即可． 【详解】（1）∵直线与过点的直线交于点， ∴， 设直线的解析式为， ∵， 解得， 直线的解析式为． （2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点D． ∴点，点， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得计或， 故或． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数的解析式，三角形全等的性质，线段与坐标的关系，熟练掌握待定系数法，线段与坐标的关系是解题的关键 【变式15-3】如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点是直线上的点，过点作轴于点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数和全等三角形的性质与判定； （1）先根据点在直线上求出的值，再根据点和点求出直线的解析式； （2）先分别计算出、的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在直线上， ， 点的坐标为， 设直线的的解析式为 点和点在直线上， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）解：直线上，当时，；当时， ，， 当点在轴下方时，设点的坐标为如下图所示， 当时， 点在直线上， ， ， ， ， 点满足条件， 当时， 得， ， 点不满足题意，舍去； 当点在轴上方时，设点的坐标为如下图所示， 当时， 点在直线上， ， ， ， ， 点不满足题意，舍去； 当时， 点在直线上， ， ， ， ， 点满足条件， 满足条件的点的坐标为，． 【压轴六】 几何问题6----直角的存在性问题 【例16】在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点，点E是直线上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线交x轴于点H，当为直角时，则线段 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】陕西省西安市曲江第二学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的相关知识．设点的坐标为，根据点是点，的“和谐点”，表示出点的坐标，进而根据为直角可得点和点的横坐标相同得到的值，即可求得点和点的坐标；求得直线的解析式，进而求得点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为， 点，点是点，的“和谐点”， 点的坐标为， ∵， 点的横坐标和点的横坐标相同． ∴． 解得：． 点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为． ∴． 解得：． 直线的解析式为． 当时，． 点的坐标为． ∴． 故答案为：． 【变式16-1】(1)在如下图所示的平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． (2)请你用量角器度量一下（1）中这两条直线的夹角，你发现这两条直线的位置关系是________． (3)在同一平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是________． (4)若直线（m为常数）与直线互相垂直，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）互相垂直 （3）互相垂直 （4） 【难度】0.85 【来源】第1课时 正比例函数的图象与性质 八年级数学上册（北师大2024）【江西铭文�支点】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】正比例函数的图象、一次函数与几何综合、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查正比例函数的图像，涉及到正比例函数的性质、垂直的判定等知识. （1）在平面直角坐标系中分别取两点，画出两图像； （2）用量角器度量出两直线的夹角即可； （3）根据（2）作出猜想； （4）利用（2）得出的结论，求出的值即可. 【详解】（1）解：图像如图所示： （2）经过测量，两直线的夹角为， 猜想：当两个正比例函数的比例系数之积为：时，两直线的夹角为，这两条直线的位置关系是互相垂直； 故答案为：互相垂直. （3）由（2）的猜想可知： ∵， ∴直线与直线的位置关系是：互相垂直； 故答案为：互相垂直. （4）∵直线（m为常数）与直线互相垂直， ∴， 解得：. 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）．设点的运动时间为秒． (1)求的面积； (2)在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请求的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，点坐标为或． 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市雁塔区西安高新第一中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值；进而求出、坐标，再利用三角形面积公式计算即可； （2）先证明，得出为等腰三角形，再分当和两种情况利用勾股定理分别求出长，进而列方程求出对应的的值，再根据点E的运动速度和方向求出点E表示的数即可． 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 【详解】（1）解：当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 把点代入函数，得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ ； （2）存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）． ∴当时，点表示的数为，； 当时，点表示的数为， 综上，当或时，为直角三角形；或． 【变式16-3】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 【答案】(1) (2)时，或时， 【难度】0.85 【来源】 宁夏银川市唐徕学校北校区2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试卷 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）当时，是以为斜边的直角三角形，在中，分别令，，求出相应的与，从而可得，再根据点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，求出时间； （2）分、，分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，是以为斜边的直角三角形， 在中，分别令，， 得，． ， 点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动， ； （2）第一种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， 在直角三角形中，， ， ， ． ． 第二种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， ， ， ，． 【压轴七】 几何问题7----等腰三角形存在性问题 【例17】如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为 ． 【答案】或或 【难度】0.4 【来源】陕西省西安市工业大学附属中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论求出点的坐标． 【详解】解：点是直线上的动点， 设点的坐标为， 则，， 如下图所示， 当，时， ， 可得：或， 由，可得：， 即点的坐标为， 由，可得：， ， 即点的坐标为； 如下图所示， 当，时， 过点作， 则，， ， 整理可得：或(无解，舍去)， 由，可得， ， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． (1)点A的坐标 ，点B的坐标 ； (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N． ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、 (2)①或；②点Q的坐标为或或． 【难度】0.65 【来源】江西省抚州市南城县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． （1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标； （2）①根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可；②分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， 故答案为：，； （2）解：①设点、的坐标分别为、， 根据题意可得：， 解得：或， ∴点N的坐标为或； ②设、、的坐标分别为、、， 当时，如图： ，， ，，， ， ，， 即：， 解得：， ∴Q点坐标为： 当时，如图： 则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图： 则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为：； 综上，点的坐标为或或． 【变式17-2】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (3)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【难度】0.65 【来源】宁夏银川市第十中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何图形的综合运用，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标； （3）设，求出，分，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：令，则，故； 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的横坐标为， ∵的面积是面积的， ∴，解得：， 当点在上时，， 此时点的坐标为； 当点在上时，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：设， ， ， 当时，则， ， 解得：， ； 当时， 则， 或； 当时，点与点关于过点且垂直轴的直线对称， 则， ， 综上，当的坐标为或或或时，是等腰三角形． 【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为 ． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，点为射线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点使得是一个等腰三角形？若存在，直接写出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为、、 【难度】0.65 【来源】四川省成都市盐道街中学2025-2026学年八年级上学期 数学12月月考卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，代入点坐标得到方程组即可得到结论； （2）求出的面积，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，得到的面积，求得此时点的坐标即可； （3）存在，设，根据勾股定理得到，，，分别求出当，，时的点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上， ∴将代入，得， 解得，即． ∵一次函数过点和， ∴代入得方程组：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数与轴交于，令，得， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设， 当点在线段上时， ， 即， 解得， 对应的坐标为； 当点在线段的延长线上时， ， 即， 解得， 对应的坐标为． 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在； 设， ∵，， ∴，，． ①当时，，解得，即； ②当时，，解得， 即或； ③当时，，解得， 即． 综上，的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《23.4实际问题与一次函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 行程问题 微专题4利润最大问题 模块2 工程问题 压轴1 几何问题1----规律探索 模块3 计时问题 压轴2 几何问题2----动点问题 模块4 调运问题 压轴3 几何问题3----将军饮马问题 模块5 分配问题 压轴4几何问题4----面积关系存在性问题 模块6体积问题 压轴5几何问题5----三角形全等存在性问题 微专题1梯度计价问题 压轴6 几何问题6----直角的存在性问题 微专题2最佳方案问题 压轴7几何问题7----等腰三角形存在性问题 微专题3费用最少问题 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果，在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式.在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径. 知识点2 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段，读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义. 模块通关·举一反三 【模块一】行程问题 【例1】在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式1-1】机器人送餐作为餐饮服务领域的技术革新，其影响已超越工具属性，成为现代生活方式的缩影．某餐厅的机器人乐乐和明明从取餐口出发，准备给相距的客人送餐，乐乐比明明先出发，且速度保持不变，明明出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若乐乐行进的时间为x（单位：s），乐乐和明明行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．乐乐比明明早出发 B． C．乐乐的速度为 D． 【变式1-2】甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回A地、拿到物品后以提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．乙的速度为 B．两人第一次相遇的时间是分钟 C．B点的坐标为 D．甲最终到达B地的时间是分钟 【变式1-3】根据以下素材，探索完成任务． 背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程． 素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线－－表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系． 素材3 如图②，线段表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系． 问题解决 任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是______ ，从终点返回的3号观光车的速度是________ ． 任务2 小宁出发多长时间后，与小波离终点的路程相同？ 任务3 小宁出发________ 后，两人相距30 ． 【模块二】工程问题 【例2】请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批秋季服装，有A，B，C三种款式． ◆A，B，C三种款式服装，每种款式至少加工1件． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工A服装3件，或B服装1件，或C服装1件． ◆C服装总件数和A服装总件数相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①A种服装：24元/件； ②B种服装：65元/件； ③C种服装：48元/件． 信息整理 现安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装，列表如下： 服装款式 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） A y 3 24 B x 1 65 C 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求y与x之间的数量关系； 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 【变式2-1】如图是甲、乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量y关于时间x的函数图象，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图象，线段表示乙机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图象．根据图象信息回答下列填空题．    (1)甲机器人比乙机器人早开始工作 小时；甲机器人每小时的工作量是 吨． (2)直线的表达式为 ；当乙机器人工作6小时后，它完成的工作量是 吨． 【变式2-2】甲、乙两个工程队修建一条公路，先由甲工程队施工一段时间，乙工程队再加入一起施工，公路修建的长度与施工的时间（天）之间的函数关系图象如图所示，则甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【模块三】计时问题 【例3】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到下表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【变式3-1】如图，漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对数学思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位与时间满足某种确定的关系．下表是小明记录的部分数据，则当为时，对应的时间为 ． … … … …    【变式3-2】某冰厂分两批运进数量均为30000件的冰块．第一批冰块上午8：00送达，采用智能线搬运入库．智能搬运分Ⅰ、Ⅱ档，两档的搬运速度均固定，其中Ⅰ档的搬运速度为3000件/小时，Ⅱ档的速度大于Ⅰ档的速度，但不超过Ⅰ档速度的2倍．由于Ⅱ档运输损耗比较大，工厂决定先采用Ⅰ档运输，11：00后采用Ⅱ档运输．第二批冰块9：00送达，采用人工线搬运，搬运工人总数为200人．为了解人工线搬运的情况，冰厂随机记录了20位工人在10：30﹣11：30的搬运量，并记录了5个时刻冰块剩余量分别如表一、表二所示： 表一 数量（单位：件） 23 24 25 26 27 人数（单位：人） 2 6 6 2 4 表二 时刻 9：30 10：30 11：30 13：30 14：00 剩余量（单位：件） 27499 22500 m 7500 5000 (1)智能线Ⅰ档运输时，求智能线冰块剩余量y（单位：件）关于搬运时间t（单位：h）的函数解析式； (2)求m的值； (3)经统计在8：00时至11：00前的某个时刻，当两条搬运线共搬运11000件冰块时，两条搬运线冰块剩余量的差值为2a（a＞0）件．再过1.5小时后，两条搬运线剩余量的差值为a件．请问智能线能否赶在人工线前完工？ 【变式3-3】某市有A，B两个水库，由于近期持续降雨，6月5日，水库A，B的水位从8：00开始持续上涨，设水位上涨时间x（小时），下表记录了水库A最近7小时内8个时间点的水位高度． 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 水位高度f（米） 4.55 4.7 4.85 5 5.15 5.29 5.45 5.6 从8：00至11：00点，水库B的水位高度g（单位：米）与水位上涨时间x（小时）之间的关系如图所示． (1)求水库B的水位高度g关于水位上涨时间x（）的函数解析式； (2)请求出水库A的水位高度f关于水位上涨时间x的函数解析式（使尽可能多的数据满足这个函数解析式），若水位按照这个规律上涨，请估计当日18：00时，水库A的水位高度； (3)水库B的警戒水位是5.6米．若从当日11：00开始，水库B的水位高度g与水位上涨时间x满足一次函数关系，且从当日8：00到15：00这段时间，A，B两水库有两个时刻水位高度相等，当日15：00时，两水库的水位高度差值为a米，其中，那么按此上涨规律，当日18：00时，水库B的水位高度是否超过警戒水位？请说明理由 【模块四】调运问题 【例4】A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 【变式4-1】某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【变式4-2】雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【变式4-3】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【模块五】分配问题 【例5】某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【变式5-1】在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【变式5-2】为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【变式5-3】A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 【模块六】体积问题 【例6】如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．    (1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同： (3)若乙容器底面积为（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积． 【变式6-1】如图，深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，右图为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（　　） A．注水的速度为每分钟注入高水位的水 B．放人的长方体的高度为 C．该容器注满水所用的时间为分钟 D．此长方体的体积为此容器的体积的 【变式6-2】如图1，这是甲、乙两个长方体容器的轴截面示意图，已知甲容器中有一个体积为的实心圆柱体固定在容器底部，现将甲容器中的水用导管匀速注入乙容器内，在这个过程中，甲、乙两个容器中水的高度h（）与注水时间t（）之间的函数关系如图2所示，则乙容器的底面积是 ．    【变式6-3】如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】梯度计价问题 【例7】．以下是某市自来水价格调整表（部分）：（单位：元/）则调整水价后某户居民月用水量x（）与应交水费y（元）的函数大致图象是（　　） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户0～30 第二阶梯：月用水量每户超过30 部分 A．B． C． D． 【变式7-1】某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【变式7-3】某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【微专题二】最佳方案问题 【例8】某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 【变式8-1】某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 【变式8-2】新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【变式8-3】周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【微专题三】 费用最少问题 【例9】某健身房暑期面向全体市民推出会员制优惠活动，方案如下： 方案一：在微信朋友圈转发一次宣传广告，成为普通会员，每次健身费用享受折优惠； 方案二：缴纳元会费，成为VIP会员，每次健身费用享受5折优惠． 已知优惠前每次健身费用为a元，设某市民暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且；按照方案二所需费用为元，且，其对应函数图象如图所示． (1)求的函数表达式； (2)求a和的值； (3)若市民小李计划暑期前往该健身房健身次，选择哪种方案所需费用较少？并说明理由． 【变式9-1】人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？ 【变式9-2】共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． 【变式9-3】某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案： 方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售； 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售． 设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)________；_______． (2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． (3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由． 【微专题四】 利润最大问题 【例10】为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【变式10-1】某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【变式10-2】某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【变式10-3】中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 压轴突破·素养提升 【压轴一】 几何问题1----规律探索 【例11】如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…，记面积为，面积为，面积为，…，则的值为 ． 【变式11-1】正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，已知，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】正方形，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【压轴二】 几何问题2----动点问题 【例12】如图，在矩形中，，动点P沿折线从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式12-1】如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式12-2】如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式12-3】综合与实践 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点D运动，连接，设点P的运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，的长为______，的长为______． (2)当点P不与点A，D重合时，设的面积为y，求出y与t之间的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． (3)当时，直接写出t的值． 【压轴三】 几何问题3----将军饮马问题 【例13】如图，在中，，点C在边上，且，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P的坐标为 ． 【变式13-1】如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，当的值最小时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式13-2】如图，一次函数的图象经过点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)直线交轴于点，在轴上是否存在点，使得的和最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是 ； （2）当取得最小值时，点M的坐标是 ． 【压轴四】 几何问题4----面积关系存在性问题 【例14】已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【变式14-1】在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【变式14-2】如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【变式14-3】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 【压轴五】 几何问题5----三角形全等存在性问题 【例15】如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【变式15-1】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【变式15-2】如图，直线与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)若点M是直线上的点，且在y轴左侧，过点M作直线于点N，点Q在直线上，要使，求所有满足条件的点Q的坐标． 【变式15-3】如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点是直线上的点，过点作轴于点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点的坐标． 【压轴六】 几何问题6----直角的存在性问题 【例16】在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点，点E是直线上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线交x轴于点H，当为直角时，则线段 ． 【变式16-1】(1)在如下图所示的平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． (2)请你用量角器度量一下（1）中这两条直线的夹角，你发现这两条直线的位置关系是________． (3)在同一平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是________． (4)若直线（m为常数）与直线互相垂直，求m的值． 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）．设点的运动时间为秒． (1)求的面积； (2)在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请求的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 【压轴七】 几何问题7----等腰三角形存在性问题 【例17】如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为 ． 【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． (1)点A的坐标 ，点B的坐标 ； (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N． ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-2】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (3)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为 ． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，点为射线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点使得是一个等腰三角形？若存在，直接写出点坐标，若不存在，说明理由． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $