第3节 圆的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　圆的方程 课标要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 目录/ CONTENTS 考点一 圆的定义与方程 01 考点二 点与圆的位置关系 02 提能点 与圆有关的轨迹问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 圆的定义与方程 目 录 结论：以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1） （x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0. 高中总复习·数学 目 录 〔一题多解〕设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均 在☉M上，则☉M的方程为 ⁠. 解析：法一　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则 解得 ∴☉M的方程为（x－1）2＋（y ＋1）2＝5. 法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则 M ， （x－1）2＋（y＋1）2＝5 高中总复习·数学 目 录 ∴ 解得 ∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 法三　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝ ＝－ ， AB的中点坐标为 ，∴AB的垂直平分线方程为y－ ＝3 ， 即3x－y－4＝0.联立得 解得M（1，－1），∴r2＝｜ MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y ＋1）2＝5. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求圆的方程的两种方法 高中总复习·数学 目 录 练 （1）（2026·山东聊城模拟）已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0 都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为（　D　） D A. （x＋ ）2＋（y－ ）2＝ B. （x－ ）2＋（y＋ ）2＝2 C. （x－ ）2＋（y＋ ）2＝ D. （x＋ ）2＋（y－ ）2＝2 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a＜0，b ＞0），则 即 解得b＝－a＝r＝ ， 所以圆C的方程为（x＋ ）2＋（y－ ）2＝2，故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·河南郑州模拟）已知点A（－2，1），B（－1，0），C （2，3），D（a，3）四点共圆，则a＝ ⁠. 解析：设过A，B，C的圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2 －4F＞0），则 解得 所以过A， B，C的圆的方程为：x2＋y2－4y－1＝0，又因为点D在此圆上，所以a2 ＋32－4×3－1＝0，解得a2＝4，a＝±2. ±2 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 点与圆的位置关系 目 录 圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心C的坐标为 （a，b），半径为r，设M的坐标为（x0，y0）. 三种情况 （x0－a）2＋（y0－b）2 r2⇔ 点在圆上 （x0－a）2＋（y0－b）2 r2⇔ 点在圆外 （x0－a）2＋（y0－b）2 r2⇔ 点在圆内 ＝　 ＞　 ＜　 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 〔一题多解〕若点M（5a＋1，12a）在圆C：（x－1）2＋y2＝1的内 部，则实数a的取值范围是（　　） A. a＜1 B. ｜a｜＜1 C. a＜ D. ｜a｜＜ 解析：法一　由题意C（1，0），半径为1，则｜MC｜＝ ＝｜13a｜＜1，所以｜a｜＜ . 法二　由M（5a＋1，12a）在圆内，则（5a）2＋（12a）2＜1，所以a2＜ ，即｜a｜＜ ，故选D. √ 高中总复习·数学 目 录 2. 已知点P（0，－1）关于直线x－y＋1＝0对称的点Q在圆C：x2＋y2＋ mx＋4＝0上，则m＝ ⁠. 解析：设Q（a，b），则 解得a＝－2，b＝1.因为 Q在C上，所以4＋1－2m＋4＝0，解得m＝ ，经检验，符合题意. ​ 高中总复习·数学 目 录 规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并 作出判断. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 与圆有关的轨迹问题 目 录 教材母题：〔人A选一P89习题8题〕长为2a的线段AB的两个端点A和B分 别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 细研教材：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以 下方法： （1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法，根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法，利用圆的几何性质列方程； （4）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 高中总复习·数学 目 录 变式1 〔几何法〕若△PAB是圆C：（x－2）2＋（y－2）2＝4的内接三角 形，且PA＝PB，∠APB＝120°，则AB的中点D的轨迹方程为（　　） A. x2＋y2＝1 B. （x－2）2＋（y－2）2＝2 C. （x－2）2＋（y－2）2＝3 D. （x－2）2＋（y－2）2＝1 √ 解析：由题意，PA＝PB，∠APB＝120°，∴∠ACB＝120°，∵CB ＝2，∴CD＝1，∴线段AB的中点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， ∴线段AB的中点的轨迹方程是：（x－2）2＋（y－2）2＝1，故选D. 高中总复习·数学 目 录 变式2 〔定义法〕已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，点M是圆上的动 点，AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则点A的轨迹方程是（　　） A. y2＝4x B. x2＋y2－2x－2y－3＝0 C. x2＋y2－2y－3＝0 D. y2＝－4x √ 高中总复习·数学 目 录 解析：因为圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圆心C（1，1）， 半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以｜MC｜＝1，又AM与圆相切， 且｜AM｜＝2，则｜AC｜＝ ＝ ，设A（x， y），则（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A 的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0，故选B. 高中总复习·数学 目 录 变式3 〔相关点代入法〕（2024·新高考Ⅱ卷5题）已知曲线C：x2＋y2＝ 16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP' 的中点M的轨迹方程为（　　） A. ＋ ＝1（y＞0） B. ＋ ＝1（y＞0） C. ＋ ＝1（y＞0） D. ＋ ＝1（y＞0） √ 高中总复习·数学 目 录 解析：A　设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为 PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0） 上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即 ＋ ＝1（y＞0），即点M的轨迹 方程为 ＋ ＝1（y＞0）.故选A. 解析：　设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为 PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0） 上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即 ＋ ＝1（y＞0），即点M的轨迹 方程为 ＋ ＝1（y＞0）.故选A. 高中总复习·数学 目 录 变式4 〔直接法〕点M与两个定点O（0，0），P（2，0）的距离的比为 3∶1，则点M的轨迹为 ⁠. 以（ ，0）为圆心， 为半径的圆　 解析：设点M（x，y），由题知 ＝3，两边平方化简得2x2 ＋2y2－9x＋9＝0，即（x－ ）2＋y2＝ ，所以点M的轨迹方程为（x－ ）2＋y2＝ .所以点M的轨迹为以（ ，0）为圆心， 为半径的圆. 高中总复习·数学 目 录 利用三角函数关系巧设圆的方程 教材母题：〔人A选一P89习题10题〕在平面直角坐标系中，如果点P的 坐标（x，y）满足 其中θ为参数，r＞0，证明：点P的 轨迹是圆心为（a，b），半径为r的圆. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：由教材知，我们可以利用同角三角函数的平方关系 sin 2θ＋ cos 2θ＝1，把圆心为（x0，y0），半径为r 的圆上的点设为（x0＋r cos θ，y0 ＋r sin θ）（θ∈[0，2π）） ，简称设“点参”，特别地，若原点为圆心， 常用（r cos θ，r sin θ）来表示半径为r 的圆上的任一点.利用同角三角函数 的平方关系设圆的方程，一方面可减少参数的个数，另一方面可以借助三 角恒等变换来解决问题. 高中总复习·数学 目 录 （1）〔一题多解〕（2023·全国乙卷11题）已知实数x，y满足x2＋y2 －4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（　　） A. 1＋ B. 4 C. 1＋3 D. 7 解析：　法一　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9， 表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与 圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距 离d＝ ≤3，解得1－3 ≤t≤1＋3 .故选C. √ 高中总复习·数学 目 录 法二　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3 cos θ，y＝1＋3 sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3 cos θ－3 sin θ＝1＋3 · cos （θ＋ ）≤1＋3 ，当θ＝ ＋2kπ（k∈Z）时取等号.故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知点P在圆（x－1）2＋y2＝1上，点A的坐标为（1， ），O为 原点，试求 · 的取值范围. 解析：由题设 ＝（0－1，0－ ）＝（－1，－ ）， 设P（1＋ cos θ， sin θ），则 ＝（1＋ cos θ－1， sin θ－ ）＝（ cos θ， sin θ－ ）. · ＝（－1）· cos θ＋（－ ）·（ sin θ－ ）＝－ cos θ－ sin θ＋3＝－2（ cos θ＋ sin θ）＋3＝－2 sin （θ＋30°）＋3. 因为 sin （θ＋30°）∈[－1，1]，所以－2 sin （θ＋30°）∈[－2，2]. 所以 · 的取值范围是[1，5]. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·山西晋中模拟）已知圆C的一般方程为x2＋y2－6x＋4y＋12＝ 0，则圆C的圆心坐标为（　　） A. （3，2） B. （－3，2） C. （3，－2） D. （－3，－2） 解析：由x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，得（x－3）2＋（y＋2）2＝1，可知圆C的圆心坐标为（3，－2），故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 下列各点中，在圆（x－1）2＋（y＋2）2＝25的内部的是（　　） A. （0，2） B. （3，3） C. （－2，2） D. （4，2） 解析：　由（0－1）2＋（2＋2）2＜25知（0，2）在圆内；由（3－ 1）2＋（3＋2）2＞25知（3，3）在圆外；由（－2－1）2＋（2＋2）2 ＝25知（－2，2）在圆上；由（4－1）2＋（2＋2）2＝25知（4，2） 在圆上.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·吉林长春模拟）已知曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0表示 圆，则m的取值范围是（　　） A. （－∞，－1） B. （1，＋∞） C. （－1，1） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：圆的标准方程为：（x＋m）2＋（y－1）2＝m2－1，故m2＞1，即m＜－1或m＞1，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·辽宁大连模拟）过点（－1，1）和（1，3），且圆心在x轴上 的圆的方程为（　　） A. x2＋y2＝4 B. （x－2）2＋y2＝8 C. （x－1）2＋y2＝5 D. （x－2）2＋y2＝10 解析：　设该圆圆心为（a，0），半径为r，则该圆方程为（x－a）2 ＋y2＝r2，则有 解得 故该圆方程为 （x－2）2＋y2＝10，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦，且｜BC｜＝6，则BC的中点的轨迹方 程是（　　） A. x2＋y2＝1 B. x2＋y2＝9 C. x2＋y2＝16 D. x2＋y2＝4 解析：　设BC的中点P的坐标是（x，y），因为BC是圆x2＋y2＝25的 动弦，｜BC｜＝6，且圆心O（0，0），所以｜PO｜＝ ＝4，即 ＝4，化简得x2＋y2＝16，所以BC的中点的轨迹方程是x2＋y2＝ 16.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3， 4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（　　） A. 圆M的圆心坐标为（1，3） B. 圆M的半径为 C. 圆M关于直线x＋y＝0对称 D. 点（2，3）在圆M内 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则 解得 所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即（x－1）2 ＋（y－3）2＝5，故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为 ，故 A、B正确；因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不 关于直线x＋y＝0对称，故C错误；因为（2－1）2＋（3－3）2＝1＜5，故 点（2，3）在圆M内，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·贵州黔南模拟）已知抛物线C：y2＝8x的顶点和焦点分别为 O，F，则以线段OF为直径的圆的方程是 ⁠. 解析：由抛物线C：y2＝8x可得：顶点坐标为O（0，0），焦点坐标为F （2，0），所以线段OF的中点坐标为（1，0），｜OF｜＝2，则以线段 OF为直径的圆的圆心坐标为（1，0），半径为 ＝1，所以以线段 OF为直径的圆的方程为：（x－1）2＋y2＝1. （x－1）2＋y2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·江苏徐州期末）已知点A（－3，0），B（1，0），平面内的 动点P满足｜PB｜－3｜PA｜＝0，则点P的轨迹形成的图形周长 是 ⁠. 解析：设平面内的动点P（x，y），由｜PB｜－3｜PA｜＝0得｜PB｜ ＝3｜PA｜，所以 ＝3 ，化简得x2＋y2 ＋7x＋10＝0，整理得（x＋ ）2＋y2＝ ，所以点P的轨迹是以（－ ， 0）为圆心，半径为 的圆，所以周长是2π× ＝3π. 3π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2025·山东烟台一模）若圆（x－m）2＋（y－1）2＝1关于直线y＝ x对称的圆恰好过点（0，4），则实数m的值为 ⁠. 解析：依题意，点（0，4）关于直线y＝x的对称点（a，b）在圆（x－ m）2＋（y－1）2＝1上，则 解得a＝4，b＝0，因此点 （4，0）在圆（x－m）2＋（y－1）2＝1上，则（4－m）2＋（0－1）2＝ 1，解得m＝4，所以实数m的值为4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知圆C的圆心在x轴上，并且过A（1，3），B（3，3） 两点. （1）求圆C的方程； 解：由题意可知，AB的中点为（2，3），kAB＝0， 所以AB的中垂线方程为x＝2， 它与x轴的交点为圆心C（2，0），又半径r＝｜AC｜＝ ， 所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若P为圆C上任意一点，定点M（8，0），点Q满足 ＝3 ， 求点Q的轨迹方程. 解：设P（x0，y0），Q（x，y），由 ＝3 ，得（8－x0，－y0）＝3（8－x，－y）， 所以 又点P在圆C上，故（x0－2）2＋ ＝10， 所以（3x－18）2＋（3y）2＝10，化简得Q的轨迹方程为（x－6）2＋y2 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2025·河南新乡二模）曲线y＝ （x≤ ）的长度为（　　） A. 2π B. C. π D. √ 解析：　由y＝ （x≤ ），得x2＋y2＝4（x ≤ ，y≥0），所以曲线y＝ （x≤ ）是以 坐标原点O为圆心，2为半径的圆弧 ，其中点A的横 坐标为 ，则∠AOx＝ ，∠AOB＝π－ ＝ ，故曲线y＝ （x≤ ）的长度为 ×2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列 命题正确的是（　　） A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B. 所有圆Ck均不经过点（3，0） C. 经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D. 所有圆的面积均为4π √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：A选项，圆心为（k，k），一定在直线y＝x上，故A正确；B选项，将（3，0）代入得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4＜0，方程无解，即所有圆Ck均不经过点（3，0），故B正确；C选项，将（2，2）代入得k2－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8＞0，故经过点（2，2）的圆Ck有两个，故C错误；所有圆的半径均为2，面积均为4π，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔创新考法〕已知点A（2，0），曲线x2＋y2＝3（y≥0）上的动点 B，与第一象限内的点C构成等腰Rt△ABC，且∠A＝ ，则｜OC｜2的最 大值是 ⁠. 11＋4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：根据题意，设B（ cos θ， sin θ），θ∈ ，则 ＝（ cos θ－2， sin θ），设点A，B，C按顺时针方向排列.由 ＝ ， ⊥ ，可得 ＝（ sin θ，2－ cos θ）， ＝ ＋ ＝（2＋ sin θ，2－ cos θ），则 ＝4＋3 sin 2θ＋4 sin θ＋4＋3 cos 2θ－4 cos θ＝11＋4 （ sin θ－ cos θ）＝11＋4 sin （θ－ ）≤11 ＋4 （θ＝ 时取得等号）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·江西上饶质检）在平面直角坐标系xOy中，设二次 函数f（x）＝x2＋2x＋b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这 三个交点的圆记为圆C. （1）求实数b的取值范围； 解：令x＝0得抛物线与y轴交点是（0，b）； 令f（x）＝x2＋2x＋b＝0， 由题意b≠0，且Δ＝4－4b＞0，解得b＜1，且b≠0. 即实数b的取值范围为（－∞，0）∪（0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）， 由题意得函数f（x）＝x2＋2x＋b（x∈R）的图象与两坐标轴的三个交 点， 即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与坐标轴的交点， 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个 方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此 方程得出E＝－b－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－（b＋1）y＋b＝0（b＜1，且b≠0）， 即为x2＋y2＋2x－y－b（y－1）＝0，令 解得 或 故圆C过定点（0，1）和（－2，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $