第1节 直线的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　直线的方程 课标要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）. 目录/ CONTENTS 考点一 直线的倾斜角与斜率 01 考点二 直线的方程 02 提能点 直线方程的综合应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 直线的倾斜角与斜率 目 录 1. 直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l ⁠ 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； （2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 ⁠； （3）范围：直线的倾斜角α的取值范围为 ⁠. 提醒：倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度. 每条直线都有唯一确定的倾斜角. 向 上　 0°　 0°≤α＜180°　 高中总复习·数学 目 录 2. 直线的斜率 （1）定义式：直线l的倾斜角为α（α≠90°），则斜率k＝tan α； （2）坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且 x1≠x2，则l的斜率k＝ ⁠. 结论：直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ的大小 0°≤θ＜90° 90° 90°＜θ＜180° k的范围 k≥0 不存在 k＜0 k的增减性 随θ的增大而增大 随θ的增大而增大 　 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·浙江杭州期中）直线x sin α－y－1＝0的倾斜角的取值 范围是（　A　） A. ∪ B. ∪ C. ∪ D. 解析：∵直线x sin α－y－1＝0的斜率k＝ sin α∈[－1，1]，设直线x sin α －y－1＝0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan θ∈[－1，1]，解得θ∈ ∪ ，故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）直线l过点A（1，2）且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范 围为 ⁠. 解析：∵直线l 过点A（1，2） ，且不过第四象限，∴直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，结合结论可得直线斜率的最小值kmin＝0； 当直线过A（1，2），O（0，0） 时，直线斜率取最大值kmax＝2.∴直线l的斜率的取值范围是[0，2]. [0，2] 高中总复习·数学 目 录 规律方法 解决直线的倾斜角与斜率问题的方法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图 形，结合正切函数的单调性求解； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之 亦可. 提醒　根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0， ）与（ ，π）两种情况 讨论. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）已知两点A（2，－3），B（－3，2），直线l过点P（1，1）且 与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　B　） A. －4≤k≤－ B. k≤－4或k≥－ C. －4≤k≤ D. － ≤k≤4 解析：如图所示，当直线l过点A时，k＝ ＝－4，当 直线l过点B时，k＝ ＝－ ，由图可知，k≤－4或 k≥－ .故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·湖北宜昌期中）已知直线l： x＋y－2＝0，则 下列选项中正确的有（　AD　） A. 直线l的斜率为－ B. 直线l的倾斜角为 C. 直线l不经过第四象限 D. 直线l的一个方向向量为v＝（－ ，3） AD 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A、B项，由l： x＋y－2＝0，得y＝－ x＋2，故其斜率 为k＝－ ，倾斜角为 ，故A正确，B错误；对于C，由直线y＝－ x ＋2知其斜率k＜0，纵截距b＞0，所以直线l不经过第三象限，经过第四 象限，故C错误；对于D，取直线上两点A（0，2），B（ ，－1），可 得： ＝（－ ，3），即直线l的一个方向向量为v＝（－ ，3）， 故D项正确.故选A、D. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 直线的方程 目 录 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ⁠ ⁠ 不含垂直于x轴的直线 斜截式 ⁠ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ （x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线 截距式 ＋ ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0（A， B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用 y－y0＝k（x－x0） y＝kx＋b 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个方向向量为a＝ （－B，A）； （2）若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为（1，k）. 高中总复习·数学 目 录 〔一题多解〕根据所给条件求直线的方程. （1） 直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为 ； 解：设倾斜角为α，则 sin α＝ （0≤α＜π）， 从而 cos α＝± ，则k＝tan α＝± . 故所求直线方程为y＝± （x＋4）， 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. 高中总复习·数学 目 录 （2）直线过点A（0，－1）和B（－1，5）； 解：法一（两点式）　由A（0，－1）和B（－1，5）得两点式方程为 ＝ ， 整理得6x＋y＋1＝0. 法二（点斜式）　由A（0，－1）和B（－1，5）得kAB＝ ＝－6， 直线方程为y＋1＝－6（x－0），整理得6x＋y＋1＝0. 高中总复习·数学 目 录 （3）直线过点A（2，1），且横截距为纵截距的两倍. 解：当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx， 又直线过点（2，1），∴1＝2k，解得k＝ ， ∴直线方程为y＝ x，即x－2y＝0； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为 ＋ ＝1，由题意可得 解得 ∴直线方程为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0. 综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线 方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参 数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所 设直线方程. 提醒　（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否 存在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是 否为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B 是否为0. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）过点（1，－2）且方向向量为a＝（2，－3）的直线l的方程为 （　A　） A. 3x＋2y＋1＝0 B. 3x－2y－7＝0 C. 3x＋2y－1＝0 D. 3x－2y－4＝0 解析：因为直线l的方向向量为a＝（2，－3），所以直线l的斜率为k＝ － ，所以直线l的方程为y－（－2）＝－ （x－1），即3x＋2y＋1＝0. 故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）过点A（3，5）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程 为 ⁠. 解析：当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，又因为直 线过点A（3，5），所以直线的斜率为 ＝ ，所以直线方程为3y＝ 5x，即5x－3y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为 ＋ ＝1，因为 点A（3，5）在直线上，所以 ＋ ＝1，解得a＝－2，所以直线方程为x －y＋2＝0，故所求直线方程为5x－3y＝0或x－y＋2＝0. 5x－3y＝0或x－y＋2＝0 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 直线方程的综合应用 目 录 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）. （1）证明直线l过定点并求此点的坐标； 解：证明：由已知得k（x＋2）＋（1－y）＝0， ∴无论k取何值，直线过定点（－2，1）. 高中总复习·数学 目 录 （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点， 设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 解：令y＝0得A点坐标为（－2－ ，0），令x＝0得B点坐标为（0，2k＋1），由 得k＞0，∴S△AOB＝ ｜2k＋1｜＝ （2＋ ）（2k＋1）＝ （4k＋ ＋4）≥ （4＋4）＝4，当且仅当4k＝ ，即k＝ 时取等号，即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为 x－y＋1＋1＝0，即x－2y＋4＝0. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 直线方程综合问题的两大类型及解法 （1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题 转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决； （2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知 识来解决. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a ＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时， 实数a＝（　B　） B A. B. 解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1在y轴上的截距为2 －a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝ ×2×（2－ a）＋ ×2×（a2＋2）＝a2－a＋4＝（a－ ）2＋ .又0＜a＜2，所以 当a＝ 时，四边形的面积最小. C. 1 D. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段 PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋2，则 的取值范围是（　D　） A. ［－ ，0） B. （－ ，0） C. （－ ，＋∞） D. （－∞，－ ）∪（0，＋∞） D 高中总复习·数学 目 录 解析：在平面直角坐标系中画出直线x＋3y－2＝0与x＋3y＋6＝0，结合 图象可以看出 的几何意义是动点M是射线CM：x＋3y＋2＝0（x＞－ 2）上点与坐标原点的连线的斜率，因此其范围是（－∞，－ ）∪（0， ＋∞），故应选D. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：72分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是（　　） A. B. C. π D. 0 解析：　∵直线l的方程为x＝－3，∴直线l与x轴垂直，∴直线l的倾斜 角是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 若经过A（1，－2），B（－m，6）两点的直线的方向向量为（1， 2），则实数m＝（　　） A. －5 B. 5 C. 3 D. －17 解析：　依题意，直线AB的斜率kAB＝ ＝ ，解得m＝－5.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 对方程 ＝2表示的图形，下列叙述正确的是（　　） A. 斜率为2的一条直线 B. 斜率为－ 的一条直线 C. 斜率为2的一条直线，且除去点（－3，6） D. 斜率为－ 的一条直线，且除去点（－3，6） 解析：　方程 ＝2成立的条件为x≠－3，且当x≠－3时，方程可变形 为y－6＝2（x＋3），由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线， 但要除去点（－3，6），故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－ 2y＝3的倾斜角的2倍，则（　　） A. m＝－4，n＝－3 B. m＝4，n＝3 C. m＝4，n＝－3 D. m＝－4，n＝3 解析：　令x＝0，则y＝－ ＝－1，所以n＝3，设直线x－2y－3＝0的 倾斜角为θ，则直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为2θ，因为直线x－2y＝3的 斜率为 ，所以tan θ＝ ，故tan 2θ＝ ＝ ＝ ，则直线mx＋ny＋ 3＝0的斜率tan 2θ＝－ ＝－ ＝ ，所以m＝－4，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·江苏南通调研）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交 点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（　　） A. x＋y－3＝0 B. x－3y－2＝0 C. 3x－y＋6＝0 D. 3x＋y－6＝0 解析：　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k1＝2，直线l绕点M按逆时针 方向旋转45°，所得直线的斜率k2＝tan（α＋45°）＝ ＝－3，又点 M（2，0），所以直线方程为y＝－3（x－2），即3x＋y－6＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A. 若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则（k，b）在第二象限 B. 已知直线l经过点（3，－2），且在两坐标轴上的截距相等，直线l的 方程是x＋y－1＝0 C. 过点（2，－1），且斜率为－ 的直线的点斜式方程为y＋1＝－ （x－2） D. 斜率为－2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，得出则k＜0，b＞0，则（k，b）在第二象限，故A正确；对于B，直线l经过点（3，－2），且在两坐标轴上的截距相等，直线l有两条，一条直线的斜率为－1，方程是x＋y－1＝0；一条直线过原点，方程是y＝－ x，故B错误；对于C项，由点斜式方程的定义可知方程为y＋1＝－ （x－2），故C正确；对于D项，由斜截式方程的定义可知斜率为－2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的 是（　　） A. 直线的倾斜角是π－α B. 无论α如何变化，直线不过原点 C. 直线的斜率一定存在 D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π），而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝ 时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝ · ＝ ≥1，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 若直线x－ay－1＝0的倾斜角大于 ，则正实数a的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：由题意可知，直线的斜率为k＝ .因为直线的倾斜角大于 ，所以 ＞1，解得0＜a＜1，所以正实数a的取值范围是（0，1）. （0， 1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6）， 则AC边上的中线BM所在直线的方程为 ⁠. 解析：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程 为： ＝ ，整理得3x＋2y－14＝0. 3x＋2y－14＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. 若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度 后，回到原来的位置，则直线l的斜率为 ⁠. 解析：由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长 度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k（x－2）＋b＋ 1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合，则kx＋b＝kx －2k＋b＋1，解得k＝ ，即直线l的斜率为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 已知点A（1，3），B（－2，－1）.若直线l：y＝k（x－2）＋1与 线段AB相交，则k的取值范围是（　　） A. B. （－∞，－2]∪ C. （－∞，－2] D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　∵直线l：y＝k（x－2）＋1过点P（2，1），连接点P与线段 AB上的点A（1，3）时，直线l的斜率最小，为kPA＝ ＝－2，连接点P 与线段AB上的点B（－2，－1）时，直线l的斜率最大，为kPB＝ ＝ ，∴k的取值范围是 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 若直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，4），则该直线在x 轴，y轴上的截距之和的最小值为（　　） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 解析：　由题易得直线在x轴，y轴上的截距分别为b，a，∵直线ax＋ by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，4），∴a＋4b＝ab，即 ＋ ＝1， ∴a＋b＝（a＋b）（ ＋ ）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 a＝2b时等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为9.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则 的最大值是 　－ 　. 解析： 的几何意义是点P（x，y）与点Q（3，0） 连线的斜率，又点P（x，y）在线段AB上，由图知， 当点P与点B重合时， 有最大值，又kBQ＝ ＝ － ，因此 的最大值为－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. 已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P （a，b）在线段AB上，则ab的最大值为 ⁠. 解析：由题得A（2，0），B（0，1），由动点P（a，b）在线段AB上. 可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝－ 2b2＋2b＝－2 ＋ .由于0≤b≤1，故当b＝ 时，ab取得最大值 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $