几何法求线面角、二面角及距离 课件-2027届高三数学一轮复习

几何法求线面角、二面角及距离 题型一　求距离 例1　(1)(2025·河南许昌期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点D到AC1的距离为(　　) A. B. C. D. C 题型一 题型二 题型三 解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AC1,DC1,由AD⊥平面ADC1,DC1⊂平面ADC1,得AD⊥DC1,因此点D到AC1的距离为Rt△ADC1斜边AC1上的高h, 而DC1=,AC1=, 所以h=故选C. 题型一 题型二 题型三 (2)(2025·浙江开学考试)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°, AB=AC=AA1=4,P是棱B1C1的中点,则C到平面ABP的距离为(　　) A.2 B.2 C. D. D 题型一 题型二 题型三 解析 由条件可得△A1B1C1是等腰直角三角形,且A1B1⊥A1C1,故|PA1|=|PB1|=|B1C1|=|A1B1|=|AB|=2,所以|PA|==2,|PB|==2, 设P到直线AB的距离为h, 则由|PA|=|PB|=2,可知h==2, 设所求距离为d,由=3VP-ABC=3VC-ABP, 得|AB|·|AC|·|AA1|=3d|AB|·h,解得d=故选D. 题型一 题型二 题型三 规律方法　1.求点线距一般要作出点到直线的垂线段,然后利用直角三角形求解,或利用等面积法求解. 2.求点面距时,若能够确定过点与平面垂直的直线,即作出这个距离,可根据条件求解,若不易作出点面距,可借助于等体积法求解. 题型一 题型二 题型三 题型二　求线面角 例2　(2024·新高考Ⅱ,7)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6, A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B.1 C.2 D.3 B 题型一 题型二 题型三 解析 (方法一)设棱台的高为h,三条侧棱延长后相交于一点S. 正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1. 连接AO,SO,易知点O1在SO上. 由AB=3A1B1,可知三棱锥S-A1B1C1的高为SO1=h, 三棱锥S-ABC的高为SO=h,正三棱台ABC-A1B1C1中, △ABC和△A1B1C1均为正三角形,AB=6,A1B1=2, 得S△ABC=9,所以9h-h=,解得h=, 由等边三角形性质易知OA=2,SO=h=2,所以所求正切值为=1. 故选B. 题型一 题型二 题型三 (方法二)设棱台的高为h,正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1,连接OO1,A1O1,AO,作A1H⊥AO,H为垂足. S上=22=,S下=62=9,V=(S上+S下+)h,可得h=,设A1A与平面ABC所成角为θ,则tan θ==1.故选B. 题型一 题型二 题型三 解题思维链 题型一 题型二 题型三 规律方法　求线面角的步骤 一作(找)角,二证明,三计算,其中作(找)角是关键,先找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,然后把线面角转化到三角形中求解. 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](2025·浙江杭州期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=BB1=1,则直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. D 题型一 题型二 题型三 解析 如图,设点E为线段B1C的中点,连接BE,A1E. 因为在长方体中,DC⊥CB,DC⊥CC1,CB∩CC1=C,CB,CC1⊂平面BCC1B1, 所以DC⊥平面BCC1B1,BE⊂平面BCC1B1,得DC⊥BE. 又BC=BB1=1,且E为线段B1C的中点,所以BE⊥B1C,且B1C∩DC=C,B1C,DC⊂平面A1B1CD,所以BE⊥平面A1B1CD,故∠BA1E就是直线A1B与平面A1B1CD所成的角.在直角三角形BA1E中,A1B=,BE=, 所以sin∠BA1E= 故直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值为故选D. 题型一 题型二 题型三 题型三　求二面角 例3　(2025·北京西城期末)正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,则侧面与底面所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. D 题型一 题型二 题型三 解析 连接AC,BD相交于点O,取BC的中点E,连接PE,OE,OP,则OP⊥平面ABCD, 因为BC⊂平面ABCD,所以OP⊥BC, 又OE∥AB,AB⊥BC,所以OE⊥BC, 又OE∩OP=O,OE,OP⊂平面OPE, 所以BC⊥平面OPE, 又EP⊂平面OPE,所以BC⊥PE, 故∠PEO即为侧面与底面所成角, 因为正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,故BE=CE=1,由勾股定理得PE=,由OE=AB=1,故cos∠PEO=故选D. 题型一 题型二 题型三 规律方法　作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法,也可以用垂面法,即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角. 题型一 题型二 题型三 [对点训练2](2025·广东梅州模拟)如图,在平面四边形ABCD中, AD=CD,AB=BC=2,∠ABC=90°,∠ADC=60°,沿对角线AC折叠之后,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为(　　) A. B. C. D. B 题型一 题型二 题型三 解析 过点B作BE⊥AC,垂足为E,过E作EF⊥CD,垂足为F,连接BF, 因为平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,BE⊂平面BAC, 则BE⊥平面ACD,又CD⊂平面ACD,则BE⊥CD, 又EF⊥CD,EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF,则CD⊥平面BEF, 又BF⊂平面BEF,则CD⊥BF, 则∠BFE为二面角B-CD-A的平面角, 因为AB=BC=2,∠ABC=90°,则E为AC的中点,AC=2,BE=, 因为AD=CD,∠ADC=60°,则△ACD为等边三角形, 则F为CD边上靠近点C的四等分点,AD=CD=AC=2, 则EF=sin 60°=,则tan∠BFE=,则cos∠BFE=, 故二面角B-CD-A的余弦值为故选B. 题型一 题型二 题型三 $