7.7　利用空间向量求空间距离——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“利用空间向量求空间距离”专题，覆盖点到直线、点到平面、线面及面面距离等核心考点，对接高考评价体系中直观想象、数学运算素养要求，通过真题改编题（如人教A版选修一P35T2）和模拟题分析，明确解答题占比60%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“知识清单+分层训练+技巧提炼”模式，如例2通过建立坐标系求法向量解决点面距离问题，培养数学思维与逻辑推理能力，设易错点分析（如法向量计算错误）和学霸笔记（距离公式转化策略），帮助学生掌握公式应用技巧，教师可依托系统训练题实现精准复习，提升备考效率。

第七节　利用空间向量求空间距离 1 知识清单 1.点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理得PQ＝ ＝__________. 返回导航 2 2．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量＝＝＝________． 返回导航 3 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　　) (2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度．(　　) (3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(　　) (4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　) × × √ × 返回导航 4 2．(人教A版选修一P35T2改编)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．则 (1)点A1到直线B1E的距离为________； (2)直线FC1到直线AE的距离为________； (3)点A1到平面AB1E的距离为________； (4)直线FC1到平面AB1E的距离为________． 返回导航 5 返回导航 6 返回导航 7 返回导航 8 命题点一　利用空间向量求点到直线的距离 例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为(　　) A．　　B．　　 C．　　D． 答案：A 返回导航 9 返回导航 10 学霸笔记：先求出直线的方向向量，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为. 返回导航 11 跟踪训练　已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)，则AB边上的高为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：A 返回导航 12 返回导航 13 命题点二　利用向量求点到平面的距离 例2 (2026·南昌模拟)已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，PA＝PD＝AD＝2BC＝2CD＝2，E，F分别是AD，PC的中点． (1)证明：PA∥平面BEF； (2)求AB的中点M到平面BEF的距离． 返回导航 14 答案：(1)证明：连接AC交BE于点O，并连接EC，FO， ∵BC∥AD，AD＝2BC，E为AD的中点， ∴AE∥BC，且AE＝BC. ∴四边形ABCE为平行四边形， 则O为AC的中点， 又F为PC的中点，∴OF∥PA. ∵OF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF. ∴PA∥平面BEF. 返回导航 15 返回导航 16 返回导航 17 学霸笔记：向量法：点A到平面α的距离d＝(其中B是平面α内一点，是平面α的一个法向量)． 返回导航 18 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P44T13)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，求点D1到平面AEC1的距离． 返回导航 19 返回导航 20 命题点三　利用空间向量求线面、面面等距离 例3 如图，边长为4的两个正△ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H. (1)证明：BD∥GH； (2)求直线BD与平面EFG的距离． 返回导航 21 答案：(1)证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD， 又BD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则BD∥平面EFG， 又BD⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFG＝GH， 所以BD∥GH. 返回导航 22 返回导航 23 返回导航 24 学霸笔记：(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (2)如果两个平面α，β平行，在其中一个平面内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到另一个平面的距离求解． 返回导航 25 跟踪训练　在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1DC1之间的距离为(　　) A． B．1 C． D． 答案：A 返回导航 26 返回导航 27 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．(2026·镇江模拟)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A． B． C．5 D．10 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 28 解析：因为A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，所以＝(－1，－2，4)，又平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，所以点P到平面α的距离 d＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 29 2．已知空间中向量＝(0，1，0)，向量的单位向量为 ，则点B到直线AC的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 30 解析：设向量的单位向量为e，则e＝ ，点B到直线AC的距离为 .故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 31 3．已知平面α，β均以n＝(－2，1，2)为法向量，平面α经过坐标原点O，平面β经过点P(3，2，－1)，则平面α与β的距离为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 解析：平面α，β均以n＝(－2，1，2)为法向量，则α∥β，平面β经过点P(3，2，－1)，则平面α与β的距离等于点P(3，2，－1)到平面α的距离，平面α经过坐标原点O，＝(3，2，－1)，点P到平面α的距离 d＝＝2，所以平面α与β的距离为2.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 4．(2026·邢台模拟)在四棱锥P-ABCD中，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，1)，则这个四棱锥的高为(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 解析：设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 所以令x＝1，可得y＝1，z＝1，即n＝(1，1，1)， |n|＝·n＝1，故点P到平面ABCD的距离为.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 5．(2026·泰安模拟)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，E为线段A1B1的中点，则点B到直线DE的距离为(　　) A. B． C． D． 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝1，AA1＝2，得D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，2)，B1(1，1，2)，线段A1B1的中点E， 则＝＝(1，1，0)， 所以点B到直线DE的距离 h＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线AE到平面C1DF的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，F，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E，∴＝， ＝＝(0，1，1)，＝(1，0，0)，∴∥，即AE∥FC1.∵AE⊄平面C1DF，FC1⊂平面C1DF，∴AE∥平面C1DF.∴直线AE到平面C1DF的距离为点A到平面C1DF的距离． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 设平面C1DF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则z＝2，y＝－2，∴n＝(1，－2，2)， ∴点A到平面C1DF的距离为.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 7．在正三棱锥P-ABC中，AB＝4，D，E分别是棱AB，PC的中点，则点P到平面BDE的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：如图，取棱AC的中点F，连接BF，则点P在平面ABC的投影H在线段BF上，且BH＝2HF，连接PH，作HG∥AC，交线段BC于点G，易证HB，HG，HP两两垂直，则以H为坐标原点，HB，HG，HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 因为△ABC是边长为4的等边三角形，所以BF＝6，所以BH＝2HF＝4.因为PB＝2，所以PH＝＝2，所以B(4，0，0)，D，E，P(0，0，2)，所以＝ ＝＝(－4，0，2)． 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝，故点P到平面BDE的距离是.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 8．如图所示，体积为8π的半圆柱的轴截面为平面ABB1A1，AB是圆柱底面的直径，O为底面的圆心，BB1为一条母线，点D为棱BB1的中点，且|AB|＝4，和的弧长为，则三棱锥O-CDE的体积为(　　) A．8 B．4 C．2 D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：设A1B1的中点为O1，的中点为P，以O为原点，PO，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 由题知×π×22×AA1＝8π，所以AA1＝4，又和弧长为，O1E＝OC＝OB＝2，所以∠BOC＝∠EO1A1＝，所以O(0，0，0)，D(0，2，2)，C，E，所以＝＝(0，2，2)，＝.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，即令x＝，则y＝3，z＝－3，取n＝，则E到平面OCD的距离为＝＝，又OD＝DC＝2，OC＝2，所以S△OCD＝，所以三棱锥O-CDE的体积为.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 9．已知点A(－3，2，－1)在平面α内，点B(2，－1，1)在平面α外，且平面α的一个法向量为n＝(1，1，2)，下列选项正确的是(　　) A．＝ B．＝38 C．点B到平面α的距离为 D．点B到平面α的距离为 答案：AC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：由题意得＝(5，－3，2)，所以＝，故A正确，B错误；点B到平面α的距离为，故C正确，D错误．故选AC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(　　) A．D1O∥平面BA1C1 B．＝ C．A1C⊥平面OBB1 D．点B到直线A1C的距离为 答案：ACD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：由题意有，底面ABCD是正方形，且AB＝AA1＝2，所以AC＝BD＝2，所以OA＝OB＝OC＝OD＝，所以A，B，C，D，OA1＝，所以A1.对于A，因为＝＝＝，所以＝＋＝＝＝，设平面BA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，所以令x＝1，得n＝(1，0，1)，所以n·×1＝0，所以n⊥，又OD1⊄平面BA1C1，所以D1O∥平面BA1C1，故A正确； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 对于B，因为＝，所以B1，所以＝，故B错误；对于C，＝＝，因为＋＝0，所以A1C⊥BB1，因为＋＝0，所以A1C⊥OB1，因为BB1∩OB1＝B1且BB1，OB1⊂平面OBB1，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；对于D，因为＝＝＝1，所以点B到直线A1C的距离为，故D正确．故选ACD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 三、填空题(每小题5分，共10分) 11．已知点A(1，0，2)与点B(1，1，1)，在z轴上求一点M，使点M到直线AB的距离为1，则点M的坐标为________． 答案：(0，0，2) 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 解析：设M(0，0，z)，则＝(－1，0，z－2)，＝(0，1，－1)，则方向上的单位向量为e＝，由点M到直线AB的距离为1＝d＝＝ ， 解得z＝2，故M(0，0，2)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2，则点B到平面A1B1C的距离为________. 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 解析：因为BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 则C(0，0，2)，B(0，0，0)，B1(0，2，0)，A1(2，2，0)，＝(0，2，0)，＝(0，2，－2)，＝(－2，0，0)．设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，则x＝0，y＝1，n＝(0，1，1)．则顶点B到平面A1B1C的距离 d＝，即点B到平面A1B1C的距离为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 四、解答题(共28分) 13．(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：BC1∥平面A1DC； (2)求直线BC1与平面A1DC的距离． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4， ∴上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形． 连接AC1与A1C交于点E，则E为A1C， AC1的中点，连接DE， ∴在△C1AB中， D，E分别为边AB，AC1的中点， ∴DE∥BC1，又∵DE⊂平面A1DC， BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 (2)取AC的中点O，A1C1的中点O1，连接BO，OO1，则BO⊥AC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，D， C(－2，0，0)，A1(2，0，4)，C1(－2，0，4)， ∴＝ ＝＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 设平面A1DC的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒令y＝，则x＝－1，z＝1， ∴n＝， ∵C1为BC1上的点，BC1∥平面A1DC， ∴C1到平面A1DC的距离d即为直线BC1与平面A1DC的距离， d＝， ∴直线BC1与平面A1DC的距离为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 14．(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB＝，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点． (1)求证：CM∥平面PAB； (2)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 答案：(1)取AP的中点E，连接ME，BE，因为M是PD的中点，所以ME∥AD且ME＝AD，又因为BC∥AD且BC＝AD，所以ME∥BC且ME＝BC，所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE， 又因为CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，所以CM∥平面PAB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 (2)由题意PA⊥平面ABCD且AB⊥AD，则AP，AB，AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，又因为PA＝1，AB＝，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点，所以P(0，0，1)，B，D(0，2，0)，C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 设＝λ且0≤λ≤1，＝＝， 则＝＝(0，0，1)． 设平面PAQ的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则 令y0＝1，所以n＝，又点D到平面PAQ的距离为，又＝(0，2，－1)，所以＝，所以＋3＝7，则λ2＝(1－λ)2，解得λ＝，所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为，此时. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 优生选做题 15．(5分)如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为，则顶点D到平面α的距离是(　　) A． B．2 C． D．2 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 解析：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，C(3，0，0)，B(0，3，0)，A(3，3，0)，D(3，3，3)，所以＝(3，0，0)，＝(0，3，0)，＝(0，0，3)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 66 设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则点B到平面α的距离为 d1＝　①，点C到平面α的距离为 d2＝＝＝②，由 ①②可得 ＝|x|，|z|＝ 所以D到平面 α的距离为 ＝＝＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 67 16.(5分)如图，四边形ABCD，ABEF都是正方形，AB＝4，∠DAF＝120°.P，Q分别是线段AE，BD上的动点，且，则PQ的最小值是________． 答案：2 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 68 解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴，过A作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 69 因为AB＝4，∠DAF＝120°，所以A(0，0，0)，B(0，4，0)，D(4，0，0)，E，则＝＝(－4，4，0)． 设(0≤k≤1)，则＝，所以P.因为，所以＝(－4k，4k，0)，所以Q(4－4k，4k，0)，则＝，故＝.因为k2－k＋1＝2＋，当k＝时取到，所以4，即PQ的最小值是2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 70 答案：(1)　(2)　(3)　(4) 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，F(1，1，)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E(0，0，)，A1(1，0，1). (1)A1B1＝(0，1，0)，EB1＝(1，1，)， ∴d＝ ＝. (2)FC1∥AE，F点到AE的距离就是FC1到AE的距离，＝(0，1，)，＝(－1，0，)，∴d＝ ＝. (3)设平面AB1E的法向量n＝(x，y，z)，∴n·EB1＝n·＝0，即令x＝－1， 则即n＝(－1，2，－2)，∴d＝||＝||＝. (4)∵FC1∥平面AB1E，故F点到平面AB1E的距离为所求． d＝||＝||＝. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，3)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，因为O为△PBC的重心，＝－2，所以M(0，0，2)，O(，，1)，所以＝(，－，1)，＝(0，－2，2)，则||＝，·＝，||＝2，故点O到直线DM的距离为d＝＝.故选A. 解析：由A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)可得＝(1，1，－1)，因为||＝，则与同方向的单位向量为u0＝(，，－)， 又＝(－1，－1，2)，则||＝，则AB边上的高即点C到直线AB的距离 d＝＝ ＝.故选A. (2)∵PA＝PD，E为AD的中点， ∴PE⊥AD. ∵侧面PAD⊥底面ABCD， 侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD.易知BCDE为正方形， ∴AD⊥BE. 建立如图所示空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，)，C(－1，1，0)，F(－，，)，设n＝(x，y，z)是平面BEF的法向量，又＝(0，1，0)， ＝(－，，)，则⇒ 取z＝1，则x＝，得n＝(，0，1). AB的中点M(，，0)，所以＝(－，，0)， 则点M到平面BEF的距离为＝＝. 答案：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E(0，，0)， ＝(－1，，0)，AC1＝(－1，1，1). 设平面AEC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有⇒令y＝2，则x＝1，z＝－1. ∴n＝(1，2，－1).又D1A＝(1，0，－1)， ∴点D1到平面AEC1的距离d＝＝＝. (2)由(1)知，BD∥平面EFG，则点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离，连接EA，ED，由△ABC，△BCD均是边长为4的正三角形，E为BC的中点，得EA⊥BC，ED⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，又ED⊂平面BCD，则EA⊥ED，以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，可得AE＝DE＝2，可得B(2，0，0)，C(－2，0，0)，A(0，0，2)，D(0，2，0)，所以F(－1，，0)，H(1，0，)，又＝2，即G为AD的三等分点，可得G(0，，)，所以＝(2，0，0)，＝(－1，，0)，＝(0，，). 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1， 得n＝(，1，－2)，可得·n＝2×＋0×1＋0×(－2)＝2， |n|＝＝2. 设点B到平面EFG的距离为d，则d＝＝＝， 所以BD与平面EFG的距离为. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以DA1＝(1，0，－1)，DC1＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0).设平面A1DC1的一个法向量m＝(x，y，z)，则令z＝1得故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1DC1，所以平面AB1C与平面A1DC1之间的距离d＝＝＝.故选A. $