第43讲 利用空间向量求空间距离——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“利用空间向量求空间距离”专题，依据课标要求梳理了点到直线、点到平面、线面及面面距离四大核心考点，通过知识要点解析（如单位方向向量、法向量公式）和典型例题（直三棱柱、正方体模型），明确高频题型分布，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“原理推导+技巧提炼+实战训练”的复习模式，如以正方体中直线到平面距离为例，通过建立空间直角坐标系、求解法向量等步骤，培养学生的数学思维与空间观念。结合基础检测与对应训练，帮助学生熟练掌握向量法解题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第7章 立体几何与空间向量 第43讲 利用空间向量求空间距离 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角. 2.会用向量法计算空间距离. 2 【知识要点】 1.点到直线的距离 如图，已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线 外一点，设 ，则向量在直线上的投影向量，在 中，由勾股定理， 得 . 3 2.点到平面的距离 如图，已知平面 的法向量为，是平面 内的定点，是平面 外一点.过点作平面 的垂线，交平面 于点，则是直线 的方向 向量，且点到平面 的距离就是在直线上的投影向量 的长度， 因此 . 4 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　　) (2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(　　) (3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　) (4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　) × × √ × 5 2.[选择性必修1p34例6]已知平面ABC的一个法向量为n=(1，2，1)，向量=(0，，0)，则点F到平面ABC的距离为(　　) A. B.2 C. D. A [解析] 由题意，点F到平面ABC的距离为==. 6 3.[选择性必修1p35T1]已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n=(，0，)为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到l的距离为　　　　.  [解析] 因为=(-2，0，-1)，且n=为l的一个单位方向向量，故点P到l的距离为d===. 7 4.已知平面AB1C∥平面A1C1D，=(-1，0，0)，平面A1C1D的一个法向量为m=(1，1，1)，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为　　　　.  [解析] 由题意得d= = = . 8 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为(　　) A. B. C. D. D [解析] 如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)， B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(，1，0)，F(0，，0)， B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以=(，0，0)， =(-1，-1，0)，=(-，0，-1). 9 设平面EFD1B1的法向量为n=(x，y，z)，则 令z=1，则n=(-2，2，1)， 因为BD∥B1D1，BD⊄平面EFD1B1，B1D1⊂平面EFD1B1， 所以BD∥平面EFD1B1， 所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离， 所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d===.故选D. 10 考点1 用空间向量求点到直线的距离 例1　(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=2AC=2，侧棱AA1=2，若点M，N分别是线段A1B，A1C1的中点，则点N到直线CM的距离是　　　　.  [解析] 由题设，构建如下图示的空间直角坐标系A-xyz， 则C(0，1，0)，M(1，0，1)，N， 所以=(1，-1，1)，=， 则点N到直线CM的距离===. 11 (2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，E为CC1的中点，则点E到直线AC1的距离为(　　) A.a B.a C.a D.a A 12 [解析] ∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，不妨设=d，=b，=c. =++=d+b+c，=-c， ===a，d·b=0，d·c=b·c=a×a×=a2， 所以===a， =a， ·=-c·=-(c·d+c·b+c·c)=-a2， 所以E到直线AC1的距离为d===a. 13 [小结]点线距的求解步骤: 直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影向量→代入公式. 14 1.矩形ABCD中，∠BCA=30°，AC=20，PA⊥平面ABCD，且PA=5，则P到BC的距离为　　　　.  5 [解析] 方法一:如图，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC， 又因为ABCD是矩形，所以BC⊥AB， 因为AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB， 因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以PB为P到BC的距离. 在矩形ABCD中，因为∠BCA=30°，AC=20，所以AB=10， 在直角三角形PAB中，由勾股定理得PB===5， 所以P到BC的距离为5. 对应训练 15 方法二:建立如图所示空间直角坐标系，在矩形ABCD中，∠BCA=30°，AC=20， 所以AB=10，AD=10，所以P(0，0，5)，B(10，0，0)，C(10，10，0)， ==，所以·=0，所以PB为P到BC的距离. ==5，所以P到BC的距离为5. 16 考点2 用空间向量求点到平面的距离 例2　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，AC=2，AB⊥AC，D为A1C1的中点. (1)证明:AB1⊥平面A1BD; (2)求点A到平面BCD的距离. 17 (1)证明:AB1⊥平面A1BD; [解析] 方法一:(1)以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，2，0)，D(0，1，)，A1(0，0，)，B1(，0，)， 则=(，0，)，=(，0，-)，=(0，1，0)， 所以·=×+0×0+×(-)=0， 18 ·=×0+0×1+×0=0， 所以AB1⊥A1B，AB1⊥A1D， 又因为A1B∩A1D=A1，A1B，A1D⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD. 19 (2)求点A到平面BCD的距离. 设平面BCD的一个法向量为n=(x，y，z)，则所以 取x=，则y=，z=，所以n=， 设点A到平面BCD的距离为d，则d== =， 所以点A到平面BCD的距离为. [解析](2)由(1)得=(0，2，0)，=(-，2，0)，=(0，-1，)， 20 方法二:(1)由直三棱柱的性质可知AA1⊥平面ABC， 因为AB，AC⊂平面ABC， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC， 由题可知四边形AA1B1B为矩形，AB=AA1， 所以四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B， 因为AA1⊥AC，AB⊥AC，AA1∩AB=A， 且AA1，AB⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥平面AA1B1B，又AB1⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥AB1，因为A1D∥AC，所以AB1⊥A1D， 又因为A1B∩A1D=A1，A1B，A1D⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD. 21 (2)设点A到平面BCD的距离为d，易得BC=，BD=，CD=2， 则cos∠DBC===， 则sin∠DBC==， 所以S△BCD=·DB·BC·sin∠DBC=×××=， 则=d，=×××2×=1， 由=得，1=d，解得d=， 所以点A到平面BCD的距离为. 22 [小结]求点面距一般有以下三种方法: (1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)等体积法. (3)向量法. 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便. 23 2.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=CD=1，E为PC的中点. (1)证明:BE∥平面PAD; (2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离. 对应训练 24 (1)证明:BE∥平面PAD; [解析] (1)如图，取PD的中点F，连接AF，EF， 因为E为PC的中点，F为PD的中点， 所以EFCD. 又ABCD，所以EFAB，故四边形ABEF为平行 四边形，所以BE∥AF. 又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. 25 (2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离. [解析] (2)解法一(向量法):如图，取BC的中点O，AD的中点M，连接OP，OM，则OM∥AB∥CD. 在等边△PBC中，PO=，OP⊥BC. 又AB⊥平面PBC，所以OM⊥平面PBC. 如图，以O为坐标原点，分别以射线OC，OM， OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则P(0，0，)，A(-1，1，0)，D(1，2，0)，C(1，0，0)， 故E（，0，），=(2，1，0)，=(-1，1，-)，=（，0，-）. 26 设平面PAD的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令x=1，则y=-2，z=-，故n=(1，-2，-). 所以点E到平面PAD的距离d= = = . 27 解法二(等体积法):由(1)得BE∥平面PAD， 故点B到平面PAD的距离等于点E到平面PAD的距离. 如图，取BC的中点G，连接PG，DG，BD， 又△PBC是边长为2的正三角形，易知PG⊥BC. 所以PG=，PB=BC=2. 因为AB⊥平面PBC，AB⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面PBC. 因为平面ABCD∩平面PBC=BC，PG⊂平面PBC， 所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥GD. 因为AB⊥平面PBC， 28 所以AB⊥BC，AB⊥PB， 所以四边形ABCD是直角梯形，且AB=1，BC=2，CD=2，则AD=，S△ABD=×1×2=1. 因为AB⊥PB，AB=1，PB=2，所以PA=. 在Rt△PGD中，易知DG=. 又PG=，所以PD=2， 所以S△APD=×2×=. 29 设点B到平面PAD的距离为h， 因为三棱锥P-ABD的体积 V=S△APD×h=S△ABD×PG， 所以h===. 所以点E到平面PAD的距离为. 30 考点3 用空间向量求线线、线面、面面的距离 例3　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点.求: (1)直线MN与平面OCD的距离; (2)平面MNR与平面OCD的距离. 31 (1)直线MN与平面OCD的距离; [解析] (1)因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)， N(2，1，0)，R(0，1，0)， 32 因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD， 因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD， 所以MR∥平面OCD， 因为==(0，1，0)， 所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN∥CD， 因为RN⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，所以RN∥平面OCD， 因为MR∩RN=R，MR，RN⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD， 因为MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD， 33 设平面OCD的法向量为n=(x，y，z)，=(2，0，0)，=(0，-2，2)， 则取y=1，可得n=(0，1，1)，=(0，1，0)， 所以，直线MN与平面OCD的距离为d1===. 34 (2)平面MNR与平面OCD的距离. [解析] (2)因为平面MNR∥平面OCD，则平面MNR与平面OCD的距离也就是直线MN与平面OCD的距离，为. [小结]线线的距离多转化为点到直线的距离，线面、面面的距离多转化为点到平面的距离. 35 3.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.CD=1，C1C=2，则平面ABCD与平面A1B1C1D1的距离为　　　　.  [解析] 设=a，=b，=c， 则|a|=|b|=1，=2，a，b，c两两夹角都是60°， ∴a2=b2=1，c2=4，a·b=，a·c=b·c=1. 设平面ABCD的法向量为n=xa+yb+zc，又=a，=b， ∴ 对应训练 36 即 故取x=2可得，y=2，z=-3， ∴可得平面ABCD的法向量为n=2a+2b-3c， 所以平面ABCD与平面A1B1C1D1的距离为 d==== . 37 4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=a，点F在AD上，且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离; (2)求AD到平面PBC的距离. 38 (1)求点A到平面PCF的距离; [解析] (1)由题意知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图， 则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，3a，0)，P(0，0，a). 设F(0，m，0)，0≤m≤3a， 则=(-a，m-a，0)，=(-a，-a，a). ∵PC⊥CF，∴⊥， 39 ∴·=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)=0， ∴m=2a，即F(0，2a，0). 设平面PCF的法向量为n=(x，y，z)， 则 解得取x=1，得n=(1，1，2). 设点A到平面PCF的距离为d，由=(a，a，0)， 得d= = = a. 40 (2)求AD到平面PBC的距离. [解析](2)由于=(-a，0，a)，=(0，a，0)，=(0，0，a). 设平面PBC的法向量为n1=(x0，y0，z0)， 由得 取x0=1，得n1=(1，0，1). 设点A到平面PBC的距离为h， ∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC， ∴h为AD到平面PBC的距离，∴h===a. 41 5.如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)证明:AD1∥平面BDC1; (2)证明:平面AB1D1∥平面BDC1; (3)求平面AB1D1与平面BDC1的距离. 42 (1)证明:AD1∥平面BDC1; [解析] (1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，所以=(-1，0，1)， =(1，1，0)，=(0，1，1). 设平面BDC1的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则即取n1=(1，-1，1). 所以·n1=0，即⊥n1. 又因为AD1⊄平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1. 43 (2)证明:平面AB1D1∥平面BDC1; [解析](2)由(1)得平面BDC1的一个法向量n1=(1，-1，1). 设平面AB1D1的法向量为n2=(x2，y2，z2)，=(-1，0，1)，=(0，1，1)， 则即取n2=(1，-1，1). 故n1∥n2，而点B1∉平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1. 44 (3)求平面AB1D1与平面BDC1的距离. [解析](3)由(2)得平面AB1D1∥平面BDC1， 所以平面AB1D1与平面BDC1的距离即为D1到平面BDC1的距离. 又=(0，1，0)，平面BDC1的一个法向量为n1=(1，-1，1). 所以D1到平面BDC1的距离为=， 即平面AB1D1与平面BDC1的距离为. 45 6.如图1所示，在△ABC中，AB=4，BC=2，∠B=60°，DE垂直平分AB.现将△ADE沿DE折起，使得二面角A-DE-B的大小为60°，得到如图2所示的空间几何体(折叠后点A记作点P). (1)求点D到平面PEC的距离; (2)求四棱锥P-BCED外接球的体积. 46 (1)求点D到平面PEC的距离; [解析] (1)由AB=4，BC=2，∠B=，得AC=6，∠C=，DC=BC， 因为DE垂直平分AB，所以DE⊥PD，DE⊥BD， 所以∠PDB为二面角P-DE-B的平面角， 所以∠PDB=，PD=BD，所以△PDB为等边三角形， 因为PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PDB， 所以DE⊥平面PDB， 因为DE⊂平面BCED， 所以平面PDB⊥平面BCED， 取BD中点O，连接PO，OC，所以PO⊥BD，OC⊥BD， 47 所以∠POC为二面角P-BD-C的平面角， 所以PO⊥OC， 以{}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系Oxyz， 在Rt△ADE中，AD=2，∠DAE=30°，∠ADE=90°， 则DE=ADtan 30°=2×=2， 则B(，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，3)，D(-，0，0)，E(-，2，0)， 所以=(0，3，-3)，=(-，2，-3)， 48 设平面PEC的法向量为n=(x，y，z)，则 令z=1，则n= 又=(，0，3)， 所以点D到平面PEC的距离d====. 49 (2)求四棱锥P-BCED外接球的体积. [解析] (2)连接BE，由BD⊥DE，BC⊥CE， 则四边形BCED的外接圆圆心在BE的中点O1， △PBD为正三角形，则△PBD外接圆的圆心为PO的三等分点O2， 过圆心O1，O2分别作两面垂线，则垂线交点即为球心M， 如图所示，连接BM，则BM即球的半径. 在Rt△MO1B中，MO1=PO=××2=1， BO1=BE==×=2， 所以由勾股定理得MB===， 则球的体积V=πR3=π()3=π. 50 $