第5节 空间向量及其运算 课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 长度(模)为　　　的向量  0 单位向量 长度(模)为　　　的向量  — 相等向量 方向　　　且模　　　的向量  a=b 相反向量 长度　 　而方向　 　　　的向量  a的相反向量为-a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　　　　　　的向量  a∥b 共面向量 平行于同一个　　　　　的向量  — 0 1 相同 相等 相反 平行或重合 平面 2.空间向量的三个定理 定理 语言描述 共线向 量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb  　 为了使λ存在且唯一 共面向 量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 空间向量 基本定理 {a,b,c}叫作空间向量的一组基  如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则　　　　叫作向量a,b的夹角,记作<a,b>.  ②范围:0≤<a,b>≤π. (2)两个非零向量a,b的数量积: a·b=　　　　　　　　　　.  ∠AOB　 |a||b|cos<a,b>　 类型 向量表示 坐标表示 数量积 a·b 　　 　　　  共线 a=λb(b≠0,λ∈R) 　　　　　　 　　　  垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) 　　　　　 　　  模 |a| 夹角 <a,b>(a≠0,b≠0) cos<a,b>= a1b1+a2b2+a3b3　 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3　 a1b1+a2b2+a3b3=0 4.空间向量的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若{a,b,c}是空间向量的一组基,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　) (2)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(　　) × 解析 若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间一个基底. × 解析 若<a,b>=π,则a·b<0. 2.(人A选一教材习题)若{a,b,c}构成空间向量的一组基,则下列向量不共面的是(　　) A.b+c,b,b-c　 B.a,a+b,a-b C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c C 解析 由平面向量基本定理得,对于A选项,b=(b+c)+(b-c),A中向量共面;对于B选项,a=(a+b)+(a-b),B中向量共面;对于C选项,a+b,a-b,c不共面;对于D选项,a+b+c=(a+b)+c,D中向量共面.故选C. 3.(人A选一教材习题改编)已知点M在z轴上,且点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是(　　) A.(0,0,3) B.(0,0,2) C.(0,0,-2) D.(0,0,-3) D 解析 设点M(0,0,m).因为点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等,所以,解得m=-3,所以点M的坐标为(0,0,-3).故选D. 4.(人A选一教材习题改编)如图,在三棱锥O-ABC中,,若=a,=b,=c,则=(　　) A.a-b-c B.a-b-c C.a-b-c D.a-b-c C 解析 =-=-)- a-b-c.故选C. 5.(人A选一教材习题改编)已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a·(b+c)=(　　) A.6　　 B.7　　 C.9　 　D.10 C 解析 因为a=(2,-3,1),b+c=(2,0,5),所以a·(b+c)=2×2+(-3)×0+1×5=9.故选C. 6.(苏教选一教材习题改编)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a⊥b,则x=　　.  解析 因为a⊥b,所以a·b=-8-2+3x=0,解得x= 7.(人A选一教材习题改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　　.  解析 ||2=+2()=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°) =2,所以||=,所以EF的长为 考点一　空间向量的线性运算 例1　(1)(2025·海南期末)在空间四边形ABCD中,=(1,3,2),=(-2,-3,1), =(3,1,2),则=(　　) A.(4,1,-1) B.(-4,-1,1) C.(0,-5,1) D.(0,5,-1) A 解析 由题知,=-()+=-(-1,0,3)+(3,1,2)=(4,1,-1).故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·安徽合肥期末)在三棱锥O-ABC中,设=a,=b,=c,点M在OA上,且2OM=MA,N为BC中点,则=(　　) A.a-b+c　　 B.-a+b+c C.-a+b+c D.a-b+c C 考点一 考点二 考点三 解析 ∵2OM=MA,N为BC中点, ∴=- =-) =- =-a+b+c.故选C. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2026·北京海淀模拟)在空间四边形ABCD中,若向量=(1,3,-2),=(-5,1,4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标 为(　　) A.(-3,-1,3) B.(3,1,-3) C.(-2,2,1) D.(2,-2,-1) A 考点一 考点二 考点三 解析 记点O为坐标原点,因为点E是BC的中点,故); 点F是AD的中点,故). 因此,)-) =[()+()] =(-). 代入=(1,3,-2),=(-5,1,4), 得[(-1,-3,2)+(-5,1,4)]=(-6,-2,6)=(-3,-1,3).故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·广东深圳期末)如图,在四面体ABCD中,E是BC的中点,=4, 则(　　) A. B. C.=- D.=- B 解析 ∵ =4, ∴ ∵E是BC的中点,),), 故选B. 考点一 考点二 考点三 考点二　空间向量基本定理的应用 例2　已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足 ). (1)判断三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 考点一 考点二 考点三 解 (1)由已知=3, 所以=()+(),即=-, 所以共面. (2)(方法一)由(1)知共面且过同一点M.所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内. (方法二)因为)=, 又因为=1, 所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内. 考点一 考点二 考点三 规律方法　应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 =λ =x+y 对空间任一点O,+t 对空间任一点O,+x+y 对空间任一点O,=x+(1-x) 对空间任一点O, =x+y+(1-x-y) 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)(多选题)若向量p=mx+ny+kz(其中x,y,z是三个不共面的向量,m,n,k∈R),则称p在基{x,y,z}下的坐标为(m,n,k).下列说法正确的是 (　　) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.若G是四面体OABC的底面△ABC的重心,则) C.若,则A,B,C,G四点共面 D.若p在标准正交基{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在基{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,3) BD 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,若b=0,则满足a与b共线,b与c共线,但是a与c不一定共线,故A错误; 对于B,由于G为四面体OABC的底面△ABC的重心,设D为BC的中点,故=2,整理得=2-2,故3, 故),故B正确; 对于C,由于1,对于,故A,B,C,G四点不共面,故C错误; 考点一 考点二 考点三 对于D,p在标准正交基{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),即p=a+2b+3c,设p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为(x,y,z),则满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc =(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c,故解得 则p在基{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,3),故D正确.故选BD. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江苏泰州期中)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E为PA的中点,点F满足=2,点Q满足=λ,若B,E,F,Q四点共面,则λ=(　　) A. B. C. D. C 考点一 考点二 考点三 解析 如下图所示: 因为B,E,F,Q四点共面,且不共线,则存在m,n∈R,使得=m+n,即=m()+n(),所以=(1-m-n)+m+n=(1-m-n),因为四边形ABCD为平行四边形,所以,即,所以,设=k,则=k-k+k,因为不共面,所以 解得k=,所以,又因为=, 故λ=故选C. 考点一 考点二 考点三 考点三　空间向量的数量积及应用 例3　(2025·广东江门期中)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量; (2)求||; (3)求证:AA1⊥BD. 考点一 考点二 考点三 (1)解 =a+b+c, =-a+b+c. (2)解 因为=a·b=0,所以=a·c=1×2×(-)=-1, =b·c=1×2×(-)=-1, ||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)=1+1+4+2(0-1-1)=2, 所以||= (3)证明 因为()=c·(b-a)=c·b-c·a=-1-(-1)=0. 所以AA1⊥BD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b=0,可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 考点一 考点二 考点三 $