精品解析：辽宁辽阳市第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试题

2025—2026学年度下学期高二期中检测试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 数列0，，，，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. 函数在上是增函数 B. 是函数的极小值点 C. D. 4. 设等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ） A. B. 点在直线上 C. D. 点在直线上 7. 已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对时恒成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 10. 已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是等差数列，则公差 D. 若是等比数列，则公比是2或－2 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（ ） A. (n≤25，n∈N*) B. (n≤25，n∈N*) C. 数列共有476项 D. B200=21255 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为数列的前项和，若，则____ 13. 由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，….则数对排在第___________位. 14. 已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导数 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 16. 已知数列的前项和为，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和为. 17. 求下列数列的和： （1）； （2）． 18. 已知是递增的等差数列，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记中满足的项的个数为，求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值； （2）讨论函数在区间上的极值点个数； （3）设，证明：当时，对，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期高二期中检测试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质结合充分必要条件求解即可. 【详解】若实数成等比数列，则，即， 所以命题甲可以推出命题乙，即甲是乙的充分条件； 当时，，但不成等比数列， 所以命题乙不可以推出命题甲，即甲不是乙的必要条件； 故甲是乙的充分不必要条件， 故选：B. 2. 数列0，，，，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析数列前4项的特征，确定并判断即得. 【详解】依题意，，…，由此得，A是； 而选项B中，选项C中，选项D中，BCD不是. 故选：A 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. 函数在上是增函数 B. 是函数的极小值点 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图得出函数的单调性判断ABD，根据判断C. 【详解】当时，，则函数在上是减函数，故A错误； 函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误； 由图可知，，故C错误； 函数在上单调递增，则，故D正确； 故选：D 4. 设等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件求出、，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， ，， ，解得， ，解得， 所以. 故选：D． 5. 如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，利用裂项相消可求出. 【详解】由题意，… 以此类推可得， 所以. 故选：A. 6. 给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ） A. B. 点在直线上 C. D. 点在直线上 【答案】B 【解析】 【分析】求出、，依题意可得，即可判断A，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可判断C，再计算，即可判断B、D. 【详解】因为，则，， 依题意可得，则，故A错误； ，故C错误； 又，所以点在直线上，故B正确，D错误； 故选：B 7. 已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意推出，令，可得在上单调递增，即得在上恒成立，分离参数，在上恒成立，从而构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知对于任意且，都有， 不妨设，即得，即， 令，则在上单调递增， 即在上恒成立，且不恒等于0， 故在上恒成立， 令，则， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 即实数a的取值范围是， 故选：B 8. 已知函数，若对时恒成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，可得出，求出实数的值，再利用导数法进行验证，即可得出实数的值. 【详解】，， 因为，所以，，， 又因为函数为可导函数，所以，为函数的极值点， ，可得，此时，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，当时，，满足题意. 综上所述，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解题的关键在于分析出，转化为函数的极值点为进行求解，但同时要注意进行检验. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，由等差数列的性质得到，从而确定；C选项，，，故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到. 【详解】AB选项，由等差数列性质得到， 又，所以， 设公差为，则，数列为递减数列，A正确，B错误； C选项，因为，，则的最大值为，C正确. D选项，因为，故，D错误. 故选：BD 10. 已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是等差数列，则公差 D. 若是等比数列，则公比是2或－2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式计算即可. 【详解】若是等差数列，设其公差为，则成等差数列，公差为， 由，即A正确； 当时显然符合题意，但C错误； 若是等比数列，设其公比为，则成等比数列，公比为， 由，即B正确， 当时，也符合题意，故D错误. 故选：AB 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（ ） A. (n≤25，n∈N*) B. (n≤25，n∈N*) C. 数列共有476项 D. B200=21255 【答案】ABD 【解析】 【分析】由能被4除余1且被5除余1的数即为能被4和5的最小公倍数除余1的数，可判断AB选项，注意到与的项数之和为500，B200等于数列的前211项和减A11，然后可解. 【详解】由题知，数列是以1为首项，20为公差的等差数列，故(n≤25，n∈N*)，(n≤25，n∈N*)，AB正确； 已知数列共有25项，所以数列共有475项，故C不正确； 数列的前211项和为，在将1到211的所有整数中，能被20除余1的数共11个，其余的数有200个.所以，，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为数列的前项和，若，则____ 【答案】 【解析】 【分析】 当时，由，解得，当时，，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式. 【详解】当时，，即， 当时，， 两式相减可得， 即， 即， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题. 13. 由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，….则数对排在第___________位. 【答案】305 【解析】 【分析】首先观察得到和为的分解共有个，再求数对所在位置即可. 【详解】观察规律发现： ； ，； ，，； ，，，； 得到和为的分解共有个. 则数对和为， 因此前面共有个， 又因为在和为中为第5个， 所以数对排在第305位. 故答案为：305 14. 已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】转化不等式，通过构造函数，结合导数研究所构造函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】由题意，可得恒成立，令， ，当时，单调递增，所以， ，当时，单调递增， 当时，单调递减，又， 要使不等式恒成立，必有，即. 故答案为： 【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，关键点在于“划归与转化”，将恒成立的不等式转化后，利用构造函数法，结合导数研究函数的单调性、范围等来对问题进行求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导数 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】（1）（2）根据基本初等函数的导数即可求解，（3）（4）（6）根据基本初等函数的导数和导数的四则运算即可求解，（5）根据复合求导法则即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 【小问5详解】 令， 令，则 【小问6详解】 16. 已知数列的前项和为，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，知为公比为的等比数列，再由条件求出，求得的通项公式； （2）由，，求得，再分别用等比数列求和公式和等差数列求和公式求出 【小问1详解】 因为，所以，所以. 由可知数列是公比为2的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 17. 求下列数列的和： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论思想结合等差数列公式法和错位相减法求和； （2）先得到通项公式，再进行分组求和，以及利用等比数列求和公式求和即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，记① ①：② ①－②：， 化简得：， 综上所述： 【小问2详解】 该数列为，其前项和为， 因为 ， ， ， ， ， …… 所以该数列的一个通项公式为， ． 18. 已知是递增的等差数列，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记中满足的项的个数为，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，公差，进而转化为与的关系求，最后求得，通项公式； （2）根据题意解不等式得，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为是递增的等差数列，所以， 因为成等比数列，所以 ， 又因为， 所以，即 整理得，解得或， 由于，所以， 所以， 所以， 所以的通项公式为 【小问2详解】 由得， 解上述不等式得， 因为，所以， 所以满足不等式的的个数为：， 所以 因为， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. 所以数列的前项和， 所以数列的前项和为 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值； （2）讨论函数在区间上的极值点个数； （3）设，证明：当时，对，恒成立． 【答案】（1） （2）当或 时，在上无极值点；当 时， 在上有一个极值点 （3） 因为，令是关于 的二次函数， 对称轴为 ， 令，则， 令，则；，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证 令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 综上：当时，恒成立． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是过该点的切线的斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得的值； （2）先求函数的导函数，再分三种情况分类讨论，分析导函数的正负情况，再结合导函数的零点求解，进而判断求出函数极值点的个数； （3）将转化成以为自变量的函数，分析这个二次函数对称轴的范围，进一步得出在上单调递增，问题可转化为证明，再次转化成，研究其最小值即可. 【小问1详解】 由已知可得，由题意得，解得. 【小问2详解】 ，因为 ，所以 ，故， 若 ，则恒成立，所以在上单调递增，无极值点； 若 ，则恒成立，所以 在上单调递减，无极值点； 若，由 得 ， 在上， 单调递减，存在唯一的，使得， 当时，，当时， ， 所以在 上单调递增，在上单调递减，有一个极值点； 综上所述，当或 时，在上无极值点；当时，在 上有一个极值点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $