精品解析：辽宁朝阳市建平县高级中学2025-2026学年高二下学期阶段性质量检测数学试卷

高中2025-2026学年度高二下学期质量检测 数学试卷 （答题时间：120分钟，分值：150分） 出题人：蔡福鹏 审题人：李国臣 第一分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，，，，为中点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，，，则最大时为（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为，满足，，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 不是等差数列的等比数列满足，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有3名游客来过洛阳，从这6人中任选3人进行采访，则这3人中恰有1人来过洛阳的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树（树与底面垂直），则取最大值时，点C到树底的距离与值的积为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质（ ） ①最大值为，图象关于对称； ②图象关于轴对称； ③最小正周期为； ④图象关于点对称． A. ①③④ B. ②③④ C. ①③ D. ③④ 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有错误的得0分）． 9. 已知椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（ ） A. B. 椭圆的长轴长为 C. 椭圆的短轴长为1 D. 椭圆的离心率为 10. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是单调递减数列． C. 数列是公差为的等差数列 D. 的最大值为 11. 已知随机变量的概率分布表如下： 其中，，都是正数，若随机变量的数学期望，方差，则正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，是单位向量，，且，则______． 13. 在的展开式中，的系数为______． 14. 在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数（单位：万）如下表所示，则该组数据中的60%分位数为______万． 名称 青岛 济南 泰安 烟台 临沂 日照 聊城 威海 济宁 德州 淄博 滨州 东营 潍坊 枣庄 菏泽 人/万 1007 920 547 710 1102 297 595 291 836 561 470 393 219 939 386 880 四､解答题 15. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 16. 已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 17. 某高中，高二数学备课组对学生记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 12 2 3 5 6 8 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力． （参考公式：． 18. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中2025-2026学年度高二下学期质量检测 数学试卷 （答题时间：120分钟，分值：150分） 出题人：蔡福鹏 审题人：李国臣 第一分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 在平面直角坐标系中，，，，为中点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，为中点，所以， 因为，所以，所以. 3. 等差数列的前项和为，，，则最大时为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列，，， ，解得，； ； ； 当时，，分式，且随着的增大而增大，即单调递增； ，当时，取得最大值，即； 当时，，分式，且随着的增大而增大，即单调递增； ，时，. ，最大时为2. 4. 设等比数列的前项和为，满足，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助等比数列性质及完全平方公式计算可得、，再利用等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由等比数列性质可得，又， 则， 故，由，，则，故， 则，， 故，则（负值舍去），则， 故. 5. 不是等差数列的等比数列满足，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项化简可得从而得到值，结合等比数列通项公式求解即可. 【详解】因为等比数列不是等差数列，故， 由于，，成等差数列，所以， 即， 因为，所以，解得：或(舍去)， 所以. 6. 牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有3名游客来过洛阳，从这6人中任选3人进行采访，则这3人中恰有1人来过洛阳的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得6人中任选3人进行采访的取法种数，再求得这3人中恰有1人来过洛阳的选法数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从6名外国游客，其中有3名游客来过洛阳，这6人中任选3人进行采访， 共有种不同的选法， 其中这3人中恰有1人来过洛阳的选法种不同的选法， 所以这3人中恰有1人来过洛阳的概率为 7. 最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树（树与底面垂直），则取最大值时，点C到树底的距离与值的积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点作，交于点， 则，，， 设，，，在中，， 在中，， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以，即当时， 取得最大值， 点到树底的距离为水平距离，则 取得最大值时， 点C到树底的距离与值的积为. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质（ ） ①最大值为，图象关于对称； ②图象关于轴对称； ③最小正周期为； ④图象关于点对称． A. ①③④ B. ②③④ C. ①③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得函数的图象，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象， 再向上平移1个单位长度，得到函数的图象． 对于①，函数的最大值为， 因为， 所以函数的图象关于对称，故①正确； 对于②，因为， 所以函数的图象不关于轴对称，故②错误； 对于③，的最小正周期为，故③正确； 对于④，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故④错误. 故正确的为①③. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有错误的得0分）． 9. 已知椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（ ） A. B. 椭圆的长轴长为 C. 椭圆的短轴长为1 D. 椭圆的离心率为 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意，，结合，可得，根据椭圆的性质依次验证，即得解 【详解】由题意， ，即 或 当时，不成立 故，A正确； 此时 故长轴长，B正确； 短轴长，C错误； 离心率，D错误 故选：AB 10. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是单调递减数列． C. 数列是公差为的等差数列 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用数列通项与前项和的关系求解本题. 【详解】对于选项A，当时，，故A选项错误； 对于选项B与选项C， 当时，； 由于当时，， 所以，，对一切均成立； 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，单调递减数列， 所以，选项B与选项C正确； 对于选项D, 由于数列是首项为，公差为的等差数列，那么 所有非负项之和就是的最大值， 令，得 所以，的最大项为或，，故D错误. 11. 已知随机变量的概率分布表如下： 其中，，都是正数，若随机变量的数学期望，方差，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由概率分布表的性质及离散型随机变量的期望与方差公式，列出相应的数量关系解决问题. 【详解】由概率分布表性质可知，解得， 又，则， 整理得，所以. 又由概率的性质，，所以，故. 因为，所以，因为，所以. 综上，，. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，是单位向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据结合数量积的运算律求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，是单位向量，，且， 所以，即， 所以， 所以. 13. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【详解】的通项公式为，令得， 所以， 的通项公式为，令得， 所以的系数为. 14. 在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数（单位：万）如下表所示，则该组数据中的60%分位数为______万． 名称 青岛 济南 泰安 烟台 临沂 日照 聊城 威海 济宁 德州 淄博 滨州 东营 潍坊 枣庄 菏泽 人/万 1007 920 547 710 1102 297 595 291 836 561 470 393 219 939 386 880 【答案】710 【解析】 【分析】表中数据按照从小到大的顺序排列，结合百分位数的求法可得答案. 【详解】按照从小到大的顺序排列：219, 291, 297, 386, 393, 470, 547, 561, 595, 710, 836, 880, 920, 939, 1007, 1102. 因为，所以该组数据中的60%分位数为第十个数，即710. 四､解答题 15. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 16. 已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列中项性质建立关于公比的方程，求解得到等比数列的通项公式； (2)拆分为奇数项等比数列和偶数项等差数列，分别求和再相加得到前项和. 【小问1详解】 ∵，，成等差数列， ∴， 又为等比数列，设公比为， ∴， 解得，或， 当时，； 当时，； 综上所述，，或. 【小问2详解】 由题意，可知， ∴ ∴ ， ， . 17. 某高中，高二数学备课组对学生记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 12 2 3 5 6 8 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力． （参考公式：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 ，， ， 则， 所以关于的线性回归方程为； 【小问2详解】 中，令得， 预测记忆力为9的学生的判断力为. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 解法一：取中点E，连接和. C为中点，且， 且，且， 四边形为平行四边形，则， 面，面，面. 解法二：如图所示，取的中点Q，连接，， 在，C为中点，Q为中点，， 平面， 平面，平面， 在四边形中，，，Q为中点， ，， 四边形为平行四边形，， 平面， 平面，平面 又，平面，平面平面， 由平面，平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（l）由线线平行或面面平行证明线面平行； （2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或利用几何法解决. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一： 取中点O，连接，则等边中. 面面，面面，面， 面，面，可得. 又，，面，面， 以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，则， ， 依题意可得平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 二面角为，则， ，（舍）， ，则. 解法二： 取中点O，连接，则等边中. 面面，面面，面， 面，面，可得. 又，，面，面 取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ，，， 由已知是平面的一个法向量，记为， 假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且， 设，有，， ，，，即，， 设平面的一个法向量为， 则， 取， 由已知得， 整理得，即化简得， 解得，（舍去）， 线段上存在点F，当时，已知条件成立， 则有， ，. 求平面的一个法向量的另一种解法： ， 平面的一个法向量可取 解法三：几何法 作， ，，，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角, 设，在中，，， 在中，由得， 由已知得， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，， 所以在中，由,得. 19. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆上的点，结合椭圆基本关系求出标准方程； （2）①联立直线与椭圆方程，用韦达定理转化目标式，消去参数使表达式为定值；②结合弦长公式、点到直线距离公式表示面积，利用二次函数求最大值即可. 【小问1详解】 ∵椭圆的离心率，且椭圆过点， ，∴椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①联立：与椭圆， 即，消去y，整理得到， 设，，则， ， ，在上， ，，，， ， ， 当为定值时，即与无关， 故，解得， ②此时 又点O到直线l的距离， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时， 满足直线与椭圆有两个交点，则三角形面积的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $