辽宁辽阳市第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试题

《高二期中考试》参考答案 题号 2 心 4 6 6 8 9 10 答案 B 0 D B ⊙ C BD AB 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】利用等比数列的性质结合充分必要条件求解即可. 【详解】若实数ab,c成等比数列，则号名，即6=ac 所以命题甲可以推出命题乙，即甲是乙的充分条件： 当a=b=0,c≠0时，b2=ac,但a,b,c不成等比数列， 所以命题乙不可以推出命题甲，即甲不是乙的必要条件： 故甲是乙的充分不必要条件， 故选：B 2.A 【分析】分析数列前4项的特征，确定并判断即得 【详解】依题意，0=20-D,2-20-》,4_23-)6_24-) 21-732x2-15x3-2x4号…由此得4-2少 2n-1 A是： 1.2 12 42 53,BCD不是 而选项B中a=5有选项C中4，=4产行，选项D中4=产3 故选：A 3.D 【解析】由图得出函数y=f(x)的单调性判断ABD,根据f"(3)=f'(5)=0判断C. 【详解】当x∈(-w,-1)时，f"(x)<0,则函数y=f(x)在(-o,-1)上是减函数，故A错误； 函数y=f(x)在(-1,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，则x=3是函数y=f(x)的极大值点， 故B错误； 由图可知，f'(3)=f"(S)=0,故C错误； 函数y=f(x)在[-1,3]上单调递增，则f(-1)<f(3),故D正确： 故选：D 4.D 答案第1页，共12页 【分析】设等比数列{a}的公比为9，根据所给条件求出9、4，即可得解 【详解】设等比数列{a}的公比为9， 9 9 a+a=2’4+4=4 99 0+a,=9a,+)=2=4’解得q=7 9 4+a=4(g+)=2解得4=8， 所以a,=4q°=8x 161 28 故选：D. 5.A 【分析】由题可得=1+√n+√n+1,利用裂项相消可求出. 【详解】由题意，1=1+1+√1+1，=1+√2+√2+1，=1+V3+V3+1,… 以此类推可得l,=1+√n+√n+1, u空mom间-： 故选：A. 6.B 【分析】求出f'(x)、f"(x),依题意可得-4sinx+cosx=0,即可判断A,再由二倍角公 式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可判断C,再计算∫(x),即可判断B、D. 【详解】因为f(x)=3x+4sinx-cosx,则f'(x)=3+4cosx+sinx,f"(x)=4sinr+cosx, 依恩意可相产(6)46n此+03-0，则m=片故A错误： 2× 1 sn2 2sin xo cos xo 2tan xo 4 8 sin2+cosxo tanxo+1 17，故C错误： +1 又f()=3.+4sin,-c0s=3x,所以点M(x,f()在直线y=3x上，故B正确，D错 误； 故选：B 答案第2页，共12页 7.B 【分析】由题意推出f(x2)-ax2>f(x)-,令g(x)=f(x)-ax,可得g(x)在(0，+o)上 单调递增，即得g'(x)=e-2x-a≥0在(0，+∞)上恒成立，分离参数，a≤e*-2x在(0，+o)上 恒成立，从而构造函数h(x)=e-2x,x∈(0，+∞)，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知对于任意，5∈(0，+o)且飞≠，都有s)-(a, 七2-x 不妨设<x,即得f(x2)-f()>a(x-x),即f(x2)-2>f(x)-, 令g(x)=f()-ax,则g(x)=f()-ax在(0，+o)上单调递增， 即g'(x)=e-2x-a20在(0，+o)上恒成立，且g'(x)不恒等于0， 故a≤e-2x在(0，+o)上恒成立， 令h(x)=e-2x,x∈(0，+∞)，则H(x)=e-2, 令h(x)=ex-2>0,则x>n2,令(x)=e-2<0,则0<x<n2, 故h(x)在(n2,+w)上单调递增，在(0，n2)上单调递减， 故8(x)m=8(h2)=2-lh2,故a≤2-h2, 即实数a的取值范围是(-o,2-2n2], 故选：B 8.C 【公i】分桥可知fe=f得=0，可得业r =0,求出实数a的值，再利用导数法 e 进行验证，即可得出实数a的值. 【详解】~f(y=lhx+cr+-a,fx)=+caex2+er-a er er ex2 因为 11aa0,所以.x@-,f:月)0 又因为函数f(9)为可导函数，所以，x=上为函数∫(x)的极值点， f日-0，可3..了出-2e-e+2, ex 答案第3页，共12页 当0<x<时，"(x)<0,此时函数f(x)单调递减， e 当x>上时，∫"(x)>0,此时函数()单调递增， 所以，当x>0时，f(x)m= 0,满足题意 综上所述，a=2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解题的关键在于分析出 转化为函数f(x)的极值点为上进行求解，但同时要注意进行检验 9.BD 【分析】AB选项，由等差数列的性质得到a,>0,从而确定d=a。-a,<0；C选项，a,>0, a<0,故C正确：D选项，根据等差数列求和公式和性质得到S5=15a<0. 【详解】AB选项，由等差数列性质得到4+4o=4+4,>0, 又4<0，所以4>0， 设公差为d,则d=a。-a,<0,数列{an}为递减数列，A正确，B错误； C选项，因为4>0，a<0,则Sn的最大值为S,C正确. D选项，因为4+45=24，故S 15(a+4s-154s<0,D错误。 2 故选：BD 10.AB 【分析】根据等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式计算即可 【详解】若{a}是等差数列，设其公差为d,则S4,S-S4,S2-Sg成等差数列，公差为l6d, 由S2-S?+4=2(S3-S4)→S2=3-3S4=48S4,即A正确： 当a,=0时显然符合题意，但C错误： 若{a}是等比数列，设其公比为q(q≠-1)，则S4,S-S4,S2-Sg成等比数列，公比为q, 由（保：-8）8=（仪-5-S3-16→8=825692735，即B正确， S4 答案第4页，共12页 当9=-1时，S=17S4=0也符合题意，故D错误. 故选：AB 11.ABD 【分析】由能被4除余1且被5除余1的数即为能被4和5的最小公倍数除余1的数，可判 断AB选项，注意到{a,}与bm}的项数之和为500，B2等于数列m的前211项和减A, 然后可解 【详解】由题知，数列{a}是以1为首项，20为公差的等差数列，故4，=201-19（≤25， n∈W),A=10n2-9n25,n∈N,AB正确： 已知数列{a,}共有25项，所以数列bm}共有475项，故C不正确： 数列问的前21项和为210+21)=2366，在将1到211的所有整数中，能被20除余1 2 的数共11个，其余的数有200个.所以，B20=22366-A1=22366-1111=21255,故D正 确。 故选：ABD 2穿 万由28双-7，当n22时，可得28=87，两式相酸整理得名 L-1 又由n=1时，求得4了得出数列a,}为等比数列，即可求解 【详解】由题意，数列{a}满足2S,=5a.-7, 当n≥2时，可得2Sw-1=5a-1-7, 两式相减，可得2Sn-2Sn-1=5a.-7-(5a-1-7), 80≥2)， 即2a.=5a-5a1,即8-0 当m=1时，可得2双=58-7，即24=54-7，解得4子 所以数列a}表示首项为4了，公比为g的等比数列， 肩以数列和}的运项公式为a子官 答案第5页，共12页 故答案为：7白 331 13.305 【分析】首先观察得到和为n的分解共有n-1个，再求数对(5,21)所在位置即可. 【详解】观察规律发现： 1+1=2: 1+2=3,2+1=3: 1+3=4,2+2=4,3+1=4: 1+4=5,2+3=5,3+2=4,4+1=5; 得到和为n的分解共有n-1个. 则数对(5,21)和为26， 因此前面共有1+2+3+…+24=+24×24 300个， 2 又因为(5,21)在和为26中为第5个， 所以数对(5,21)排在第305位. 故答案为：305 14.e2 【分析】转化不等式be“-nb≥0，通过构造函数，结合导数研究所构造函数的单调性， 由此列不等式来求得n的取值范围，进而求得n的最大值. 【详解】由题意，可得g之n地恒成立，令fx)=。g)= Inx a f)=c任-，当x∈，+o时，)>0，fy)单调递暗，所以f9>f0=c, x2 g,当ee时，了e)0e)单调造拉， 当x∈e+o)时，广(<0，f四)单调递减，又8)=8e)=。 要使不等式片安恒成立，多有e名n≤心 a 故答案为：e2 【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，关键点在于“划归与转化”，将恒成立的不等式转 化后，利用构造函数法，结合导数研究函数的单调性、范围等来对问题进行求解。 15.(1)w'=0 答案第6页，共12页 (2)y'=-3x4 (3)f(x)=-Sinx+cosx ex (4)y=18x2+4x-3 r网4 (⑥y=-1-cos sin2x 【分析】(1)(2)根据基本初等函数的导数即可求解，(3)(4)(6)根据基本初等函数的导 数和导数的四则运算即可求解，(5)根据复合求导法则即可求解. 【详解】(1)y'=(n3)=0 (2)y'=-3x-31=-3x-4 (3)csinx-ccosxsin.cos ( e (4)y'=4x(3x+1)+3(2x2-1=18x2+4x-3 (5)令fx)=h+x=in1+x), 令u=1+,则w)-（3*)=22=+ (6)y=-sin xsinx-cos (+cosx)-1-cosx (sinx)2 sinx 16.(1)g=2-1 (2)2-1+3r-n 2 【分析】(1)根据a+=2a,知{a}为公比为2的等比数列，再由条件求出a,求得{a}的 通项公式： (2)由b.=3n-2,a=2”-1,求得a+b.=21+3n-2,再分别用等比数列求和公式和等差 数列求和公式求出T 【详解】（1)因为S=2%-1,所以4+24+4a=84-1,所以4=1. 由au=2a.(n∈N)可知数列{an}是公比为2的等比数列，所以q=2. 答案第7页，共12页 所以数列{a}的通项公式为a=2”-1 (2)4.+bn=2-1+3n-2 买=0+2+22++2+[1+4++6m-2划=2-1+3m-n 2 (1+n)n x=1 2 17.(1)1+2x+3x2++2xm-)= 1-(n+1)x”+m+1 ,x≠0,1 1-x) a10"-9I-10(ueN） 81 【分析】(1)利用分类讨论思想结合等差数列公式法和错位相减法求和： (2)先得到通项公式，再进行分组求和，以及利用等比数列求和公式求和即可. 【详解】(1)当x=1时，1+2x+3x2++m=1+2+3+.+= (1+n)n 2 当x≠1时，记Sn=1+2x+3x2+…+x-1① ①×x:xSn=x+2x2+3x3++1x"② ①-②：0-)S.=1+x+x2++x-m=1- 1-rm, 化简得：8=1+1x+m时 1-x)2 (1+n)n x=1 综上所述：1+2x+3x2+…+m= 1-(n+1)x"+m 一，x≠0,1 (1-x)月 (2)该数列为{a},其前n项和为Sn, 因为 4=1g0- a-1g0o2- 4=1-g0-1. a=1-号o-, 答案第8页，共12页 4-11-号×0-， 所以该数列的一个通项公式为a=)0-∈N)。 s-号[a0-)+10-+-++40-叨 -004102410+41w-川 1[101-10） -n 91-10 -10t-91-10neN)- 81 18.(1)a.=3n-1 (2)T=3-1 【分析】(1)根据题意得(a-1=aa,公差d>0,进而转化为4与d的关系求d,最后 求得a,通项公式： (2)根据题意解不等式3*<3n-1<3*+(k∈N)得b=23,进而根据等比数列求和公式 求解即可. 【详解】（1)设等差数列的公差为d, 因为{a}是递增的等差数列，所以d>0, 因为4,44-1,4成等比数列，所以(a4-1)}2=4,4, 又因为4=8， 所以(a+d-1)2=(4-d(4+4,即(7+d)°=(8-d)8+4d) 整理得d2-2d-3=0,解得d=3或d=-1, 由于d>0,所以d=3, 所以4=4-2d=8-6=2, 所以a.=4+(n-1)d=3n-1, 所以{a}的通项公式为4=3-1 答案第9页，共12页 (2)由3*<a,<3(k∈N）得3*<3n-1<31(k∈N), 第L远不等我海N 3 因为neN,所以3+1≤n≤3(k∈N), 所以满足不等式3-1+1≤n≤3(k∈)的n的个数为：3-3-1=2.3-， 所以b=231 因为 型=23 2.3阿-3，keN 所以数列}为等比数列，首项为2，公比为3 所以数列b}的前k项和T= 40-g1_20-3）-1, 1-91-3 所以数列b}的前k项和为T=3-1 19.(1)a=1+V5 (2)当a≤-2或a≥2时，f(x)在[0，上无极值点：当-2<a<2时，f(x)在[0，上有一 个极值点 (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义知函数在x=了的导数值是过该点的切线的斜率，所以对 函数求导可得切线斜率，进而得α的值： （2)先求函数y=f(x)的导函数'(x),再分a≤-2，a≥2，-2<a<2三种情况分类讨论，分 析导函数的正负情况，再结合导函数的零点求解，进而判断求出函数极值点的个数： (3)将g(x)=2sinr+ae-3ax转化成以a为自变量的函数G(a=e*-3x·a+2sinx,分析 这个二次函数对称轴a的范围，进一步得出G@在L,+0)上单调递增，问愿可转化为 证明G0)≥1，再次转化成Fy)=3-2x+1,研究其最小值即可。 e 【详解】(1)由已知可得f'(x)=2cosx-a,由题意得f =2os写a=-5,解得 a=1+V3 答案第10页，共12页 (2)f(x)=2cosx-a,因为x∈[0，x],所以cosx∈[-1，l],故2cosx∈[-2,2]， 若a≤-2，则f'(x)=2cosx-a≥0恒成立，所以f(x)在[0，π]上单调递增，无极值点； 若a≥2，则f'(x)=2cosx-a≤0恒成立，所以f(x)在[0，π]上单调递减，无极值点： 若-2<a<2,由f"(x)=0得cosx=g, 在[0，]上，c0sx单调递减，存在唯一的，使得co=气 a 当0<<5时，c0sx>分f(x)>0,当6<r<元时，coex<分f()k0, 所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，π)上单调递减，有一个极值点； 综上所述，当a≤-2或a≥2时，f(x)在[0，x]上无极值点：当-2<a<2时，f(x)在[0，π] 上有一个极值点。 (3)因为g(x)=2sinr+ae-3a,令G(a)=2sinr+ade-3ax是关于a的二次函数， G(a)=ea2-3r.a+2sime对称轴为a=3x 2e* 令器则)。 令h(x)>0,则x<1;h(x)<0,则x>1, 所以h(x)在(-o,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 所以(=h)=3<1,所以G(a在[，+n)上单调递增 2e 问题可转化为证明G(1)≥1，即证e-3x+2sinx-1≥0 令rPx)=3x-2snr+1,则r(y)=2-3x+2simr-2cos ex e (x)=2-3x+2sinx-2cosx, 则0()-2o+2i-32sn+升3<0 所以p(x)在R上单调递减，且p(0)=0, 所以当x<0时，F'(x)>0;当x>0时，F'(x)<0, 所以函数F(x)在(-o,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 答案第11页，共12页 所以F(y)sF(O)=1,即3-2simr+1≤L. ex 综上：当a≥1时，8(x)≥1恒成立. 答案第12页，共12页 2025—2026学年度下学期高二期中检测试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 数列0，，，，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. 函数在上是增函数 B. 是函数的极小值点 C. D. 4. 设等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ） A. B. 点在直线上 C. D. 点在直线上 7. 已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对时恒成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 10. 已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是等差数列，则公差 D. 若是等比数列，则公比是2或－2 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（ ） A. (n≤25，n∈N*) B. (n≤25，n∈N*) C. 数列共有476项 D. B200=21255 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为数列的前项和，若，则____ 13. 由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，….则数对排在第___________位. 14. 已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导数 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 16. 已知数列的前项和为，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和为. 17. 求下列数列的和： （1）； （2）． 18. 已知是递增的等差数列，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记中满足的项的个数为，求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值； （2）讨论函数在区间上的极值点个数； （3）设，证明：当时，对，恒成立． 2025—2026学年度下学期高二期中检测试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】305 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）当或 时，在上无极值点；当 时， 在上有一个极值点 （3） 因为，令是关于 的二次函数， 对称轴为 ， 令，则， 令，则；，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证 令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 综上：当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $