第5章 特殊平行四边形综合试卷（2） 2025—2026学年浙教版数学八年级下册

特殊平行四边形综合试卷2 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.如图，矩形中，对角线交于点。，则的长为（   ）。 A．4 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等；利用此性质即可求解。 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 故选：B。 2.已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键。 根据对角线相等的平行四边形是矩形，判定即可。 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故选：A。 3.下列说法正确的是（   ）。 A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形和矩形的判定和性质，根据菱形、矩形的性质及判定定理逐一分析选项即可。 【详解】A. 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，只有正方形（特殊菱形）的对角线才相等，故A错误； B. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直是正方形的特性，普通矩形对角线不垂直，故B错误； C. 邻边相等的平行四边形是菱形，而矩形需满足有一个角为直角或对角线相等，故C错误； D. 对角线互相垂直平分的四边形必为菱形（因对角线互相平分可得平行四边形，加上垂直则为菱形），故D正确； 故选：D。 4.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（   ）。 A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键。根据菱形的对角线互相垂直平分，得到，，，再根据勾股定理，即可求得答案。 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点O，对角线，， ，，， ， 即菱形的边长为5。 故选：A。 5.如图1，在长方形中，，连接，动点从点出发，沿的路线运动。设点运动的路程为，的面积为。若与的对应关系如图2所示，则图中的值为（   ）。 A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图像、矩形的性质以及勾股定理，根据运动路程和面积的函数图，判断动点的位置即可。 【详解】 的大小取决于边上的高 当动点在上时，高越大，面积越大 当动点在上时，高不变，面积不变，观察图可知此时的面积为 由于到时，面积最大，因此 长方形 当动点在上时，高越小，面积越小 当到时，面积为，此时的路程即为周长 故选：B。 6.如图，在菱形中，，则的度数为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质有关知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键。 先由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理计算即可求解。 【详解】解：四边形是菱形， ，， 在等腰中，， 故选：B。 7.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（   ）。 A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质：对角线互相垂直平分得出，，，再利用勾股定理求解边长即可，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键。 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点， 由题意可得：，， 由菱形的性质可得，，， ∴，即菱形的边长为5， 故选：A。 8.如图，正方形的顶点在坐标原点，在轴上，在轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ）。 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键。 【详解】解：∵正方形中，点在上， ∴正方形的边长为， ∴点坐标是，点坐标是， 第一种情况：顺时针旋转， 当绕点顺时针旋转时，在轴上， ∵，旋转后与重合，旋转后与轴重合，且，， ∴， ∴点； 第二种情况：逆时针旋转， 绕点逆时针旋转， 当绕点逆时针旋转时，在第一象限， 此时横坐标等于长度，纵坐标为， ∴坐标为， 所以旋转后点的对应点的坐标是或 故选：C。 9.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为（　 　）。 A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了菱形的性质和正方形的性质、勾股定理等知识，得出是解题关键。利用菱形的性质结合正方形的性质得出，进而利用勾股定理得出答案。 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ， ∵边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移， ∴， ∴，则， ∵平行于， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， 解得：(不合题意舍去)， ∴， ∴， 故选：D。 10.如图，正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，且，连接，则的最小值为（    ）。 A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】连接，证明，推出，推出点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小。 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是射线， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， 在中， ， ， （负值已舍掉） 故选：C。 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.菱形的对角线长分别为，，则这个菱形的面积是___________。 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键。此题由菱形的面积公式即可求解。 【详解】解：菱形的面积， 故答案为：。 12.如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是 。（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形的性质即可解答。 【详解】解：在中，若对角线，则为矩形， 要使它为正方形，则一组邻边相等即可， 故答案为：。 13.如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______。 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形面积的计算等知识点。熟练掌握以上知识点是解题的关键，矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别为原来矩形长和宽的一半，即，，然后可求得菱形的面积。 【详解】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为，， 而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形沿对角线两次对折的图形， 所以菱形的两条对角线的长分别为，， 。 故答案为：10。 14.矩形中，，，P是矩形边上的点，且，则的长是________。 【答案】或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识；作的垂直平分线，分别交于点，则；利用矩形的性质及勾股定理求出的长即可求解。 【详解】解：如图，作的垂直平分线，分别交于点，则； ∵四边形为矩形， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， 在中，； 综上，的长是或； 故答案为：或。 15.如图，是《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．若，，则小正方形的面积是 。 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键。根据勾股定理和全等三角形的性质以及正方形的性质即可得到结论。 【详解】解：，，， ， ，，，是四个全等的直角三角形， ， ， 小正方形的面积是， 故答案为：4。 16.如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，则树高等于 米。 【答案】 【分析】本题考查了等角对等边，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，作于点，则，所以四边形是矩形，得，，然后求得，所以，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：。 17.已知正方形的边长为6，作的中垂线l，垂足为E，Q为直线l的点，作点D关于的对称点P（点P不与正方形的顶点重合），当是等腰三角形时，的长度为________。 【答案】或或 【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形分类讨论，掌握利用轴对称确定点P轨迹，分等腰三角形三边相等情况讨论，结合中垂线性质求线段长度是解题的关键。 根据轴对称性质得，即在以为圆心，长为半径的圆上，将为等腰三角形分三种情况讨论，结合中垂线性质和一次函数性质计算的长度，舍去与正方形顶点重合的情况。 【详解】解：建立平面直角坐标系，设，，则正方形中，， 是的中垂线，垂足为， ，直线的方程为，在上，设，则 点与点关于对称， ， 在上，为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时，， ，，得， 联立， 解得，，即，，均不为正方形顶点，符合题意； 是的中垂线，的斜率为， 的斜率为， 过原点，方程为，将代入得， 当时，在的中垂线上，为，端点为，， 的中垂线为， 联立， 解得， 即，，均不为正方形顶点，符合题意； 对，的斜率， 的斜率， 方程为， 将代入得， . 对，的斜率， 的斜率， 方程为，将代入得， 当时，， ，，得， 联立， 解得或，对应点和点，均为正方形顶点，不符合题意，舍去； 综上，的长度为、或 故答案为、或。 三、解答题：本题共5小题，其中第18题9分，其余每小题10分，共49分。 18.如图，点是正方形的中心。用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）。 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的画法以及性质，作的垂直平分线，上面任取一点（异于点），即可求解。 【详解】作的垂直平分线，如图所示，点即为所求的点。 19.如图，在边长为1的小正方形组成的：的网格中，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上。 （1）在图中画出以AB为边的，使为钝角，且平行四边形的周长为(点C、点D均在小正方形的顶点上)； （2）在图中画出以为边的菱形，使其面积为20 (点G、点H均在小正方形的顶点上)； （3）连接，请直接写出线段的长。 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）根据周长求出AD的长，即可画图； （2）根据菱形的面积=底高，求出菱形的高，即可画图； （3）根据勾股定理即可求解。 【详解】（1）解：由图可知：， ∵平行四边形的周长为， ∴， 如图所示： （2）解：由图可知：， ∵菱形面积为20， ∴菱形的高， 菱形如图所示； （3）解：。 20.如图是一张矩形纸片，与相交于点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连结，。若，。 （1）请用表示的大小； （2）请求出的值。 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质。 （1）根据矩形的性质得到，进而得到，由三角形外角的性质可得；由折叠的性质可得，结合矩形的性质得到，再根据已知推出，即可得到； （2）由（1）知，由三角形外角的性质可得，再根据折叠的性质可得，由，即可解答。 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，与相交于点， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴。 21.材料：“八年级下册课本第187页例2：四边形是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分。你有哪些不同的方案？画出图形，并说明理由。” 小亮在学习了上述解决方案后，发现三种分割方案的图形都是中心对称图形。这对于他创作数学社团图标注入了灵感，经过思考，小亮设计了一个中心对称图形的社团图标，如图所示。已知O为正方形的对称中心，为的直径，连接，。 （1）请你说明此图标是中心对称图形； （2）若，则，，三者满足。请证明。 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）由题意知，点D和点B关于点O中心对称，和关于点O中心对称，故图标是以点O为对称中心的中心对称图形。 （2）连接，由中心对称图形知，，由勾股定理得，，，在Rt中，，进一步等量代换得。 【详解】（1）解：∵正方形、、直径是中心对称图形且对称中心均为点O ∴点D和点B关于点O中心对称 ∴和关于点O中心对称 ∴（由正方形、、直径、线段和组成的）图标是以点O为对称中心的中心对称图形； （2）证明：连接 ∵图标为中心对称图形 ∴，。 ∵四边形正方形，     ∴， ∴。    ∵ ∴在Rt中， ∴， ∴， ∴。 22.如图，在正方形中，点F在边上，射线交于点E，交的延长线于点G。 （1）求证：； （2）若点H是中点，求证：； （3）设，，试问是否存在x的值，使为等腰三角形，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）存在， 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的判定，掌握正方形的性质是解题的关键。 （1）根据可证； （2）根据（1）的结论和图中各角的关系证明 即可； （3）要使为等腰三角形，必须，根据已知求得的度数，再根据勾股定理进行计算即可。 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵； ∴， ∵点H是中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：存在符合条件的x值，此时， ∵，要使为等腰三角形，必须， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得：， 解得：。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊平行四边形综合试卷2 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.如图，矩形中，对角线交于点。，则的长为（   ）。 A．4 B．8 C． D．10 2.已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（   ）。 A． B． C． D． 3.下列说法正确的是（   ）。 A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（   ）。 A．5 B．6 C．8 D．10 5.如图1，在长方形中，，连接，动点从点出发，沿的路线运动。设点运动的路程为，的面积为。若与的对应关系如图2所示，则图中的值为（   ）。 A．11 B．12 C．13 D．15 6.如图，在菱形中，，则的度数为（ ）。 A． B． C． D． 7.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（   ）。 A．5 B．6 C．8 D．10 8.如图，正方形的顶点在坐标原点，在轴上，在轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ）。 A． B． C．或 D．或 9.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为（　 　）。 A．3 B．4 C． D． 10.如图，正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，且，连接，则的最小值为（    ）。 A． B． C．1 D．2 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.菱形的对角线长分别为，，则这个菱形的面积是___________。 12.如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是 。（答案不唯一，写出一个即可） 13.如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______。 14.矩形中，，，P是矩形边上的点，且，则的长是________。 15.如图，是《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．若，，则小正方形的面积是 。 16.如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，则树高等于 米。 17.已知正方形的边长为6，作的中垂线l，垂足为E，Q为直线l的点，作点D关于的对称点P（点P不与正方形的顶点重合），当是等腰三角形时，的长度为________。 三、解答题：本题共5小题，其中第18题9分，其余每小题10分，共49分。 18.如图，点是正方形的中心。用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）。 19.如图，在边长为1的小正方形组成的：的网格中，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上。 （1）在图中画出以AB为边的，使为钝角，且平行四边形的周长为(点C、点D均在小正方形的顶点上)； （2）在图中画出以为边的菱形，使其面积为20 (点G、点H均在小正方形的顶点上)； （3）连接，请直接写出线段的长。 20.如图是一张矩形纸片，与相交于点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连结，。若，。 （1）请用表示的大小； （2）请求出的值。 21.材料：“八年级下册课本第187页例2：四边形是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分。你有哪些不同的方案？画出图形，并说明理由。” 小亮在学习了上述解决方案后，发现三种分割方案的图形都是中心对称图形。这对于他创作数学社团图标注入了灵感，经过思考，小亮设计了一个中心对称图形的社团图标，如图所示。已知O为正方形的对称中心，为的直径，连接，。 （1）请你说明此图标是中心对称图形； （2）若，则，，三者满足。请证明。 22.如图，在正方形中，点F在边上，射线交于点E，交的延长线于点G。 （1）求证：； （2）若点H是中点，求证：； （3）设，，试问是否存在x的值，使为等腰三角形，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $