湖南省长沙市第一中学等天壹名校联盟2026届高三年级4月质量检测数学试题

高三年级4月质量检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若集合A=(-1,2,3,5,8},B={x2x<8},则A∩B= A.{-1,2) B.(-1) C.{2,3} D.(2,3,5) 2.一组数据为50,40,20,19,16,16,14,10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为 A.40 B.39 C.36 D.35 3.在正项等比数列(an}中，a4,3a2,a3成等差数列，则数列{an)的公比为 A.1或2 B.2或3 C.2 D.3 4.某大学有A,B,C,D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不 同的报名方式共有 A.144种 B.240种 C,256种 D.288种 5.已知函数f(x)=(日)'-logx(a>0,且a≠1)在[1，+o)上的值域为[2，+∞)，则a= A.4 B.2 C. D. 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AB=2AD=8,B=5,若M,N是线段BC上的 动点，且MN|=2,则DM·DV的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.12 7.从椭圆器+芳=1（®>>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点F椭圆与轴 正半轴交点为A,椭圆与y轴正半轴交点为B,若AB∥OP(O为原点)，则该椭圆的离心 率为 A安 B 2 c D③ 3 【高三数学第1页（共4页）】 6360C ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为2，Esin(A-)= √sin2B+sin2C,则abc= A.20 B.16 C.12 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 0,若复数=至则 A,=1-i B.||=2 C.x在复平面内对应的点位于第一象限 D.复数w满足w=1,则|w一x的最大值为√2+1 10.如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,AE=CF=AB=2, 则下列说法正确的是 A几何体的体积为 B.BE,DF是异而直线 C.EG⊥FG D点A到平面DE的距离为2 11.已知抛物线C:y2=8.x的焦点为F,过点F的直线1与C交于A,B两点，D是C的准线 与x轴的交点，则下列说法正确的是 A.若BF=4AF,则直线L的斜率为土号 B.|AF|+4|BFI≥18 C.0°<∠AOB<90°(O为坐标原点) D.当品取最小值时，1API=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.直线3.x十4y十2=0被圆(x一1)2+y2=9截得的弦长为 13.已知直线1与函数了(x)=x2的图象在x=(≠0)处相切，与函数g(x)-号的 图象在x=2(2≠0)处相切，则22一x1= 14.已知函数f八e)=sinx+sin2x+…+sin2024x,则八x)在(0,102]上共有 2 个零点. 【然三数艺第2页（共4页）】 6360C ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.（本小题满分13分) 已知正项数列(a)满足a1=1,且+1一1=a aman+1十1 (1)证明：(a〉为等差数列； (2)求数列 (一1)”的前n项和T… an+1一an/ 16.(本小题满分15分) 某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面 试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生参加 了该企业的招鸭，假设甲通过笔试、面试的概率分别为2，号：乙、丙通过笔试的概率均为 号，通过面试的概率均为分： (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生 一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 而试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望. 【高三数学第3页（共4页）】 6360C ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 17.(本小题满分15分) 如图，D,E分别为等边三角形ABC的边AC,AB的中点，DE=2,将△ADE沿DE折起， 使顶点A至点P的位置，此时平面PDE⊥平面BCDE,M,N分别为PE,CD的中点， (1)证明：MN∥平面PBC; (2)若点P,B,C,D,E在同一球面上，设该球面的球心为O (i)求球O的表面积； (i)求平面OMN与平面PDE的夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 已知函数∫(x)=xlnx. (1)求∫(x)的极小值； (2)当x>1时，f(x)>k(x一1)恒成立，求实数k的取值范围； (3)求不等式x)>二号的解集。 19.(本小题满分17分) 已知双曲线G若一卡=1(>0，b6>0)的渐近线互相垂直，r,:分别为其左、右焦点， 双曲线与圆C?:x2十y2=c2的某个交点的横坐标为、√. (1)求双曲线C,的标准方程； (2)过右焦点F2的直线1与C,的右支交于P,Q两点，其中点P位于第一象限内，直线 FP,F,Q分别与y轴交于M,N两点. (i)是否存在直线I使得点F2在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线 (的斜率：若不存在，请说明理由： (i)当|PQ|=|F,F2I时，求出∠PF2F的大小. 【高三数学第4页（共4页）】 6360C ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 高三年级4月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】A 【解析】因A={-1,2,3,5,8),B=(x2<8）=(xx<3),则A∩B=(-1,2}.故选A. 2.【答案】D 【解析】将题中数据按从小到大排列为10,14,16,16,19,20,40,50，则众数为16，因为8×60%=4.8，所 以第60百分位数为19，所以众数与第60百分位数之和为16+19=35，故选D. 3.【答案】C 【解析】设等比数列(an}的公比为g,9≠0，因为a,3a2,a,成等差数列，所以2X3a2=az十a4,即6a1g= a1q2十a1g3,则a19(g2+q一6)=0，因为等比数列中a19≠0，所以q2+q一6=0，解得q=2或g=一3 （舍)，故选C 4.【答案】B 【解析】先从5名学生中选出2人组成一个小组，有C种方法；再将这个两人小组与其余3名学生安排 到4个不同的社团，有A:种方法，根据分步乘法计数原理，共有CA；=10×24=240种不同的安排。 故选B. 5.【答案】C 【解析】函数y=(日)广y=-logx=10g在[1，十o)上具有相同的单调任，所以在1，十o0)上 单调，要满足题意，则x)在[1，十0)上单调递增，所以1)=日-1og,1=2,解得a=分，放选C. 6.【答案】C 【解析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标y' ByBC=8.C(8.0),ABI-IADI=4,ZABC-A(2,23), O(B)MN C D(6.2√3)，设M(x,0),则N(x十2,0)（其中0≤x≤6），DM= (x-6,-2V3).DN=(x-4,-25),DM.D=(.x-6)(x-4)+(-23)=x-10x+36= (x-5)2+11,所以，当x=5时，DM·DN取得最小值11.故选C. 7.【答案B 【解析】由愿意可设P(-c:为半焦距)，则km=一兰，又ka=一合因为 AB∥OP,所以-=-么，得w=g,所以P(-c,),把P(-c,)代人椭圆 方程得二)+ a2 /2 8.【答案】B 【解析】由v2sin(A-)= /sin2B+sin2C得，sin A-cosA|2=sin2B+sin2C,整理得sin2A+ 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 6360C ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣0 sin2B+sin2C=l,所以sin2A十sin2B-sin(2A+2B)=1,整理得sin2A+sin2B-sin2Acos2B- cos 2Asin 2B=1,in 2A(1-cos 2B)+sin 2B(1-cos 2A)=1,2sin 2A sin2 B+2sin 2B sin2A =1,4sin Acos A sin'B+4sin Bcos B sin2A=1,4sin Asin B(cos Asin B+sin Acos B)= 4 sin Asin Bsin(A+B)=4 Asin Asin Bsin C-=1,则sin Asin Bsin C=子，设△ABC外接圆的半径为R, 由正弦定理得，a=2 Rsin A,b=2 Rsin C,c=2 Rsin C,所以Sc=分alsin C=号×2 Rsin A· 1 2 Rsin Bsin C=-2R'sin Asin Bsin C==2,解得R=2;则abc=8R'sin Asin Bsin C=16,故选B 9.【答案】ACD 【解标】：产1孕=斜=1+8=1-故A正确 21 |z引=√+1=√2，故B错误； ·x在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，所以位于第一象限，故C正确； 复数w满足o=1,∴复数w在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，∴.「z|一|w≤ |o-之≤|≈|+|w,故w一≈|的最大值为√2+1，故D正确.故选ACD. 10.【答案】ABD 【解析】由题意知，几何体的体积V=V:-um+V-m=2×2X号×2×号×2=号，故A正确； 显然BE,DF是异面直线，故B正确： 易知EG=FG=√6，EF=AC=2V2,所以EG2十FG≠EF,故C错误； 电上述可求得SAmE=23,又VD=5则点A到平面BDE的距离为，故D正确，故选AE 11.【答案】ABD (2=my+2 【解析】对于A,依题意得F(2,0),设直线l:x=my十2，A(x1,y),B(x2,y),联立 消去 2=8.x 女得y-8my-16=0,则十为=8m为=-16，则会品=过=子解得 =2 或 2=-8 2则A哈-刘B8-9该A信-)-88周直线的率=士号收A重 对于B,|AF例十4BF1=十4，+10=兰+兰+10=32+9+10≥18，当且仅当8=8时等号成 8T2 y 2 立，故B项正确： 对于C,因为OA,O成=x,十=+=-12<0，所以∠A0B>90,故C项错误； 64 对于D,依题意有，抛物线y2=8.x的准线方程为x=一2，所以D(一2,0)，F(2,0),则=8x1,21>0, 由抛物线的定义可得|AF|=x1十2，|AD|=√/(21+2)十(y-0)7=√+4，+4+8= 2 x+2 x十4.x1+4 8x1 6 G+122+4,因为>0，所以A的+12十清 Wx+12x1+4 .2+12.x1+4= > 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 6360C ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 8 8 +4+12 2×+12 ,当且仅当=2时取等号，此时AF=4,故D项正 2 1 确.故选ABD. 12.【答案】1V2 【解析】易知圆(x一1)2+y2=9的圆心为(1,0)，半径为3； 由圆心(1,0)到直线3x+4y十2=0的距离为4=3+0+2=1， /9+16 所以直线被圆截得的弦长为2√9一1=4√2. 13.【答案】-号 【解析】厂(x)=x,则(z1)=1所以切线方程为y-是x=x(x-),即y=1x一2i;g(x) ,则g(2a)=好，所以切线方程为y-弓店=(x-2）,即y=x-号：由题意可知， x1=2, 大号 14.【答案】2 【解析】由于2sin受·(sinx+sin2x+…+sin2024x)=cos(r-登）-cos(+)+cos(2x-艺) Cos(2x+)+…+cos(2024x-)-os(2024x+)=cos(-)-cos(2024x+)= os2025r-2024）-cos2025+2024）=2sin2025sin1012z,因此fe）-n+sin2x sin 2025zsin 1012x 2 +…+sin2024.x= ,由于x∈(0,102]，因此/x仅有零点052则 /)在(0102]上共有2个零点， 15.【答案】1)详见解析(2)T。=-1+(-1)”n+I 【解析】(1)由1一1=4。 ，十得，a%+1=0i…2公 所以+-a=1，…4分 故（听）是公差为1的等差数列；…6分 (2)因为a好=1，所以由(1)可知，a好=1十(n一1)X1=n,则an=√m.…8分 所以-1少=(-1）.（十十n).…10分 0n+1一an T=-(W2+1)+(3+√2)-…+(-1)“(n+1+Vn)=-1+(-1)”Vm十I.…13分 3 16.【答案11)号 (2)X的分布列见解析，E(X)=575 6 【解析】(1)设事件A表示“甲被该企业正式录取”，事件B表示“乙被该企业正式录取”，事件C表示 > 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 6360C ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 “丙被该企业正式录取”，…… …1分 则由题可知P(A)=合×号-言，P(B)=P(C)=号×含-吉 …3分 事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”，…4分 则P(D)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(1-)X(1-3)X(1-3)=号 …6分 所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率P=1一P(D)=1一” 27-27 …7分 (2)X的所有可能取值为300,450,600,750，对应事件分别为“三人均未通过笔试”.“三人中恰有一人 通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”、……9分 P(X=300)= ……………………10分 1 P(X=450)= ×号×+2 1 2大 381 1 5 3 11分 号×号+×号 2、2 4 P(X=600)=2X 2 …12分 3 9 1×2×2=2 P(X=750)=2X3×3=g' 13分 所以X的分布列为 X 300 450 600 750 P 18 1 4 2 数学期望E(X)=300× 8+450 +600×4+750×2 =575 18 9 …15分 17.【答案】(1)详见解析 2号m 517 【解析】(1)取BE的中点Q,连接MQ,QN, 因为M为PE的中点，所以MQ为△PEB的中位线，则MQ∥PB,…1分 又MQ平面PBC,PBC平面PBC,所以MQ∥平面PBC,…2分 因为N为CD的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则VQ∥BC, 又NQE平面PBC,BCC平面PBC,所以NQ∥平面PBC,…3分 又MQ∩WQ=Q,所以平面MQN∥平面PBC,…4分 因MNC平面MQN,故MN∥平而PBC;…5分 (2)取DE,BC的中点H,G,连接PH,HG,则PH⊥DE,HG⊥DE、 因为平面PDE⊥平面BCDE,所以PH⊥平面BCDE,则PH⊥HG,以H为原点，以HG,HD,HP 所在直线分别为xy,x轴建立如图所示空间直角坐标系. 则P(0,03),E(0,一1,0)，G(5,0,0)、…6分 (i)易知梯形BCDE的外接圆的圆心为G,因为OG⊥平面BCDE,所以设O(√3,0，。)、 由OE=OP得，√(W3-0)+(0+1)2+(x-0)2=√(3-0)2+(0-0)2+(。-√3) 解得0= 6 0”…。……“。*”””““””“”… > 【高三数学参为答案第4页（共6页）】 6360C ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 所以球0的半径的平方R=3+1十日-号，放球0的表面积为S=4R=号， …10分 iM(0.-2)N(5,多o,05o.)M=(2.-） oi-(-,-2g） 11分 设平面OMN的一个法向量为m=(ay,≈)， 2+2y-3 MN·m=0, 2=0, 则 取x1=1, OM.m=0, 一克+ 6=0. 则m=(1,5月，21)，…13分 由(1)可知，HG⊥平面PDE,则n=(1,0,0)为平面PDE的一个法向量， 所以7点票 …14分 故平面OMN与平面PDE的夹角的余弦值为5 517· …15分 18.【答案11)-是(2(-，1](3)(0，)U(1,+0) 【解析】(1)函数∫(x)=2lnx的定义域为(0，十∞)，求导得∫(x)=1nx十1； 令∫)=0，得到x=日 …2分 当x(0,是）时，(x)<0,函数了(x)单调递减：…3分 当x(日，十o∞)时，(x)>0,函数f(x)单调递增；…4分 因此x)在x=是处取得极小值/（日）=名n 1=-1 …5分 e c (2)当x>1时，∫(x)>k(x-1)恒成立，即.xnx-k(x-l)>0恒成立；…6分 令g(x)=.xlnx-k(.z-1),x>1,则g(x)=lnx+1-k, 令g'(x)=lnx十l-h=0,得到x=c-1,… …7分 当c-1≤1，即k≤1时，在(1，+∞)上g'(x)>0, 函数g(a)单调递增，g(2)>g(1)=0,满足条件；… …8分 当c-1>1,即k>1时，当1<x<c-1时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减， 当x>c-时，g(x)>0,函数g(2)单调递增，… …9分 所以函数g(x)在x=c-1处有最小值g(c-1)=k一c-i; 令h(k)=k-e-1,k>1,则h'(k)=1一e-1<0,所以h(k)在(1，十∞)上单调递减： h(k)<h(1)=0,即g(c-)<0,不满足条件； 11分 综上所述，实数k的取值范围是（一0∞，1]；…12分 5 6 (3)不等式即xnx-号>0，设p(x)=xnx一名二，得到g(x)=1nx+1-e > 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 6360C ▣ ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 令9(x)=0,得到x=c号，且1<c<1 …14分 当0<x<c号时，p(2)<0,p(x)单调递减； 当x>e与时，9(x)>0,(x)单调递增；…15分 1一1 (日)=(-10-8-091)=10号-0， 所以当0<x<时，9(x)>0,当日<x<1时，9(x)<0,当x>1时，9()>0； 故不等式的解集为(0，日)U1,+∞). …17分 19.【答案1)-兰-1（2)(0不存在，理由见解析（晋欧爱 【解析】(1)因为渐近线互相垂直，所以a2=b2,… …1分 将双曲线方程和圆方程联立解=号4=3解得心=？=2心=4，则双曲线的方程为号一苦-1： …4分 (2)()显然直线斜率不存在时结论不成立， 设直线(：y=k(x一2)，与双曲线方程联立得到(k2一1)x2一4k2x十42十2=0，设点P,Q的坐标分 4k2 别为(xy1)(x2y2),且△>0恒成立，则x十x2= 2-12x32=4十2 k2-1 ……6分 直线P的方程为：y=牛2x+2),直线FQ的方程为：y千2+2)， 故点M的坐标为(0，竿2)点N的坐标为o,竿2)》 若点F2在以线段MN为直径的圆上，则MF2·NF2=0,…9分 则MN丽-(2一》·(，-竿)=4 4y1y8 x122十2(x1+x2)+4 =4十4k:一2(2十2)十4 +2(2十x2)+4解得k=士7 7’ …11分 但是注意到直线1仅与双曲线右支相交，所以k>1,因此上述直线不符合条件，因此不存在；… …………12分 (ii)由两点间距离公式可得，PQ=√（一）2+（y-y2)2=V2十1√(c,十x2)2-4x1c2 (k2+1)2 =2W5√（k-1' …15分 (k2+1)2 则22·√k-1) =4,解得2=3+2V2或3-2V2(舍)，可得k=士(2+1)，当k=√2+1时，设1 的倾斜角为(c(o,受)》， ……………16分 则tan20= 2(W2+1) 1-(2+1) =一1,20=还，所以0=经.同理可得另一个角为受，因此∠P℉，R为或警 6 ………17分 6 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 6360C ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效