专题10.4三元一次方程组的解法【六大考点+六大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版）

本讲义聚焦三元一次方程组的解法这一核心知识点，系统梳理其概念、消元转化解法、解的应用及拓展问题，构建从二元一次方程组到三元的学习支架，帮助学生逐步掌握“三元化二元再化一元”的解题思路。 资料通过分层题型设计（典例+变式）和生活化实例（如家电补贴、密码传输问题），培养学生抽象能力与模型意识，拓展问题（矩阵、新定义运算）提升创新意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题10.4三元一次方程组的解法 【考点梳理】 · 考点一：三元一次方程组的概念 · 考点二：解三元一次方程组 · 考点三：三元一次方程组的解 · 考点四：三元一次方程组的实际问题 · 考点四：三元一次方程组的应用 · 考点六：三元一次方程拓展问题 【知识梳理】 知识点一、三元一次方程概念 方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。 知识点二：解三元一次方程组的基本思路： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。 【题型探究】 题型一：三元一次方程组的概念 【典例1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型二：解三元一次方程组 【典例2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式1】．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 题型三：三元一次方程组的解 【典例3】．（23-24八年级上·河南周口·月考）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【变式1】．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 题型四：三元一次方程组的实际问题 【典例4】．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【变式2】．（24-25六年级下·上海·月考）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 题型五：三元一次方程组的应用 【典例5】．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【变式1】．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知，，，，，均为不等于的实数，，，． (1)若，求的值． (2)请用含，，的代数式分别表示，，． 【变式2】．（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 题型六：三元一次方程拓展问题 【典例6】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 【变式1】．（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 7．（25-26八年级上·重庆·月考）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 二、填空题 8．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 9．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若，则_____． 10．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 11．（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 三、解答题 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 14．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 15．（25-26八年级上·浙江温州·月考）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4三元一次方程组的解法 【考点梳理】 · 考点一：三元一次方程组的概念 · 考点二：解三元一次方程组 · 考点三：三元一次方程组的解 · 考点四：三元一次方程组的实际问题 · 考点四：三元一次方程组的应用 · 考点六：三元一次方程拓展问题 【知识梳理】 知识点一、三元一次方程概念 方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。 知识点二：解三元一次方程组的基本思路： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。 【题型探究】 题型一：三元一次方程组的概念 【典例1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 题型二：解三元一次方程组 【典例2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 【变式1】．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ： ： 代入①： 代入③： 故原方程组的解为 （2）解： 由①得，代入②： 代入③： 代入④： 代入①：故原方程组的解为 （3）解： ： ： ： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （4）解： 由得， 由得 得 代入④： 再将代入① 解得 故原方程组的解为 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ，得， 则 将①代入④，得，解得 将②代入④，得，解得 将代入①，得：，解得 ∴原方程组的解为； （2）解： ，得，解得 ，得，解得 ，得，解得 ∴原方程组的解为； （3）解： ，得，解得 ，得 将代入④，得，解得 将，代入①，得，解得∴原方程组的解为； （4）解： ，得 ，得 ，得，解得 将代入④，得，解得 将，代入③，得，解得 ∴原方程组的解为． 题型三：三元一次方程组的解 【典例3】．（23-24八年级上·河南周口·月考）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 【变式1】．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：将方程组中的三个方程相加： ∴ ∴ 将代入方程中： 解得： 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 题型四：三元一次方程组的实际问题 【典例4】．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)接收方收到的密码是，，． (2)发送方发出的密码是，，． 【分析】（1）根据发送方与接收方密码的约定关系，计算出，，即可； （2）根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于，，的方程组，通过解方程组求出发送方发出的密码． 本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 答：接收方收到的密码是，，． （2）由题意得， 解得， 答：发送方发出的密码是，，． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意，得，解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 【变式2】．（24-25六年级下·上海·月考）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 对于（1），先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可； 对于（2），仿照（1）列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可． 【详解】（1）解：设甲，乙，丙商品的单价为x元，y元，z元，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元； （2）解：乐乐的说法正确． 设购买甲，乙商品的单价为x元，y元，根据题意，得 ， 得． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元． 题型五：三元一次方程组的应用 【典例5】．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1) (2)购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【详解】（1）解：， ，得， ∴． （2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元． 根据题意，得 ∴，得． ∴（元）． 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知，，，，，均为不等于的实数，，，． (1)若，求的值． (2)请用含，，的代数式分别表示，，． 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）解：∵， ∴设，，（）， ∵，，， ∴，，， ∴各方程两边都除以，得 ①，②，③， ，得  ， ∴. （2）解：， ，得，∴， ，得，∴， ，得，∴， ∴，，. 【变式2】．（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 题型六：三元一次方程拓展问题 【典例6】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故①，②，③，三个点均是“亲民点”； （2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∵点是“亲民点”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵， ∴， 解得． 【变式1】．（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：由题意得，方程组对应的矩阵为：． （2）解：由题意得，矩阵对应的方程组为， 得，， ∴， ∵为定值， ∴，即． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)11或15或 (3)或 【详解】（1）解：因为点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动， 所以， 因为点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动， 所以， 当， 时， ； （2）解：因为，， 所以， ， 所以 因为， 所以， 当时， ， 若，即， 则， 解得：， ，符合； 若，即， 则， 解得：， ，符合； 当时， ， 若，则， 解得：，符合； 若，则， 解得：，不符合， 综上所述，t的值为11或15或； （3）解：当运动秒时，，， 因为， 所以， 所以或， 因为， 所以（①）， （②）， 若， 则， （③） 若， 则， 所以（④） 而由①得：（⑤） 情况一：， 由⑤得： 由③得： 令，则， 所以（）， （）， 将代入， 得 若，则，无解； 若，则， 解得：，符合； 将代入， 得， 将，代入， 得， 所以得一组解，； 若，则，无解； 情况二：，联立⑤和④， 所以， 所以或， 当时，无解； 当时，解得： 将代入， 解得：， 将，，代入， 得， 解得：， 所以得第二组解：，． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 【答案】B 【分析】观察三元一次方程组各未知数的系数，第一个方程本身不含y，第二，三个方程中y的系数成整数倍数关系，消去y的计算量最小，是最简便的方法． 【详解】解：∵原方程组为 方程①不含未知数y，方程②中y的系数是2，方程③中y的系数是， ∴将 ，即可直接消去y，得到 ， 再和方程①组成二元一次方程组，计算最简便， 因此先消去y再求解是较简单的方法． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【详解】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，， 又∵ ∴ 可得方程组： ① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组： 给(2)式两边同乘3得： (4)， (1)+(4)得：， 解得， 将代入(2)式得：， 解得， ② 将，代入(3)式得：， 解得， ∴ 方程组的解为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是． 根据题意得到：， 解得：， 第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 7．（25-26八年级上·重庆·月考）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：D． 二、填空题 8．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【答案】 【分析】设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，利用加减消元法消去，即可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元， 由题意得， 得， ∴，即， ∴一个型盒子比一个型盒子贵元． 9．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若，则_____． 【答案】 【分析】将已知条件拆分为三个等式，将三个等式左右两边分别相加，即可求出所求式子的值． 【详解】解：根据题意得， ①②③得：，即， 则． 10．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 11．（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 【答案】 30 20 15 18 【分析】根据四种水果共买了83千克，用去228元．买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍，列出方程组，然后根据代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】解：设桔子买了x千克，苹果买了y千克，香蕉买了m千克，柿子买了n千克， 根据题意，得， 由③得， 由④得， 把，代入①、②，得， 化简，得， 解得， ∴，， 答：桔子买了30千克，苹果买了20千克，香蕉买了15千克，柿子买了18千克． 三、解答题 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 得：， 把代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 得：， 把④代入⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 得：， 解得：， 得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 13．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 14．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 15．（25-26八年级上·浙江温州·月考）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【答案】(1)x的值为2800，y的值为3 (2)至少要卖334件 (3)170元 【详解】（1）根据题意得：， 解得， 则x的值为2800，y的值为3； （2）设小潮当月卖服装m件， 根据题意得：， 解得， 又为正整数， 的最小值为334， 则小潮当月至少要卖服装334件； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元， 根据题意得：， 整理得， 即购买甲、乙、丙各一件共需170元． 故答案为170． 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【详解】（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $