专题10.2 消元-解二元一次方程组【九大考点+九大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版）

本讲义聚焦二元一次方程组的消元解法，先系统梳理代入消元法（含变形、代入、求解等步骤）和加减消元法（含系数调整、加减消元、求解等步骤）的基础原理，再通过题型探究从基础理解到综合应用，构建从方法掌握到问题解决的学习支架。 本资料亮点在于分层设计与素养导向，通过“典例+变式”强化运算能力，如错解复原问题引导学生分析错误本质培养推理意识，特别解法（如换元法）渗透创新思维。课中辅助教师实施分层教学，课后通过高分达标练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决实际问题的能力。

专题10.2 消元-解二元一次方程组 【考点梳理】 · 考点一：代入消元法的理解 · 考点二：消元法解二元一次方程组 · 考点三：加减消元法的理解 · 考点四：加减消元法解二元一次方程组 · 考点五：二元一次方程组错解复原问题 · 考点六：二元一次方程组解的情况求参数 · 考点七：方程组相同解问题 · 考点八：二元一次方程组的特别的解法 · 考点九：二元一次方程组的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”） 1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 知识点02、加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 【题型探究】 题型一：代入消元法的理解 【典例1】．（25-26七年级下·浙江温州·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在解方程组的过程中，将代入可得（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·浙江温州·期中）用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 题型二：消元法解二元一次方程组 【典例2】．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）用代入法解方程组： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 题型三：加减消元法的理解 【典例3】．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）用加减消元法解方程组，消去后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·河南周口·期中）用加减消元法解方程组，两式相加可消去的未知数是（    ） A．x B．y C．同时消去x、y D．无法确定 【变式2】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）方程组的下列解法中，不正确的是（    ） A．由②得，代入法消去x B．由①得，代入法消去y C．由得，加减法消去x D．由得，加减法消去y 题型四：加减消元法解二元一次方程组 【典例4】．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）解下列方程组： (1) (2) 【变式2】．（25-26七年级下·北京西城·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 题型五：二元一次方程组错解复原问题 【典例5】．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式1】．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型六：二元一次方程组解的情况求参数 【典例6】．（25-26七年级上·全国·单元复习）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·重庆·期中）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（   ） A． B． C． D． 题型七：方程组相同解问题 【典例7】．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 题型八：二元一次方程组的特别的解法 【典例8】．（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·山东聊城·期中）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，． 原方程组转化为，解得，． 由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______；（直接写答案） (2)已知方程组，求x，y的值． 【变式2】．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 题型九：二元一次方程组的综合问题 【典例9】．（25-26七年级下·广东广州·期中）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 【变式1】．（25-26七年级下·山东青岛·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【变式2】．（25-26七年级下·福建厦门·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下的值是方程的解的是：_____（填序号） ①，②，③ (2)若关于的二元一次方程的解与的取值无关，且这组解也是方程的解，求的值． 【拓展延伸】 (3)已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求的值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列用消元法解二元一次方程组中，不正确的是（　　） A．由①得： B．由得： C．由得： D．把整体代入②得： 2．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若实数满足，那么的值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 5．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26七年级下·重庆·月考）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 二、填空题 9（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则______． 10．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 11．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知实数、满足，且则的值为_________． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 13.（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______ 三、解答题 14．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解方程组 (1) (2) 15．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 16．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 17．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 18．（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 19．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于，的二元一次方程（其中），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”__________，以及它们组成的方程组的解为__________； (2)若关于，的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求的值； (3)若关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于，的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 20．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）定义：若为关于x和y的二元一次方程的一组整数解，即，都为整数，则称在平面直角坐标系中的点为方程的“整解点”，例如：为方程的一组整数解，那么点为方程的“整解点”． (1)请求出方程在第一象限内的“整解点”； (2)已知关于x和y的二元一次方程（，且b为正整数）有“整解点”，将该点向上平移6个单位，向右平移2个单位后仍是该方程的“整解点”，求ab的值； (3)有以下关于x和y的三个二元一次方程： ①， ②， ③， 其中p和q为常数且满足，若这三个方程有相同的“整解点”，试求出其相同的“整解点”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 消元-解二元一次方程组 【考点梳理】 · 考点一：代入消元法的理解 · 考点二：消元法解二元一次方程组 · 考点三：加减消元法的理解 · 考点四：加减消元法解二元一次方程组 · 考点五：二元一次方程组错解复原问题 · 考点六：二元一次方程组解的情况求参数 · 考点七：方程组相同解问题 · 考点八：二元一次方程组的特别的解法 · 考点九：二元一次方程组的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”） 1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 知识点02、加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 【题型探究】 题型一：代入消元法的理解 【典例1】．（25-26七年级下·浙江温州·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程①代入②后，根据去括号法则整理即可得到结果，掌握代入消元法的步骤是解题关键． 【详解】∵将方程①代入方程②消去， ∴把代入②得：， 根据去括号法则去括号得：， 因此正确选项为D． 【变式1】．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在解方程组的过程中，将代入可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程中的表达式整体代入方程，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：方程组为， 把代入，将中的替换为，可得， 去括号得． 【变式2】．（25-26七年级下·浙江温州·期中）用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等式的基本性质，将方程整理为用含的式子表示的形式即可． 【详解】解：需要将方程变形，用含的式子表示， 等式两边同时减去， 可得 ． 题型二：消元法解二元一次方程组 【典例2】．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）用代入法解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由①得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1】．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由①得③， 把③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③，解得， 所以这个方程组的解是． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 把②代入①，得 解这个方程，得． 把代入②得，． 所以这个方程组的解是； （2）解： 由②，得③． 把③代入①，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为； （3）解： 由①，得③． 把③代入②，得． 解这个方程，得． 将代入③，得． 所以这个方程组的解是． 题型三：加减消元法的理解 【典例3】．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）用加减消元法解方程组，消去后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程中的系数相同，可直接两式相减消去． 【详解】解：原方程组为， 消去，可得． 【变式1】．（25-26七年级下·河南周口·期中）用加减消元法解方程组，两式相加可消去的未知数是（    ） A．x B．y C．同时消去x、y D．无法确定 【答案】B 【分析】求出两个方程相加的结果即可得到答案． 【详解】解： 得， 故两式相加可消去的未知数是y． 【变式2】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）方程组的下列解法中，不正确的是（    ） A．由②得，代入法消去x B．由①得，代入法消去y C．由得，加减法消去x D．由得，加减法消去y 【答案】C 【分析】根据代入消元法和加减消元法的规则验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、∵对②移项可得，代入①可消去， ∴A正确； B、∵对①移项可得，代入②可消去， ∴B正确； C、由得， 解得，不是， ∴C错误； D、由得， 解得，可消去， ∴D正确． 题型四：加减消元法解二元一次方程组 【典例4】．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 【变式1】．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得，解得， 将代入得，解得， 则原方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 将代入得，解得， 则原方程组的解为． 【变式2】．（25-26七年级下·北京西城·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴； （2）解： ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴． 题型五：二元一次方程组错解复原问题 【典例5】．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【变式1】．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 题型六：二元一次方程组解的情况求参数 【典例6】．（25-26七年级上·全国·单元复习）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得：， ∴一元一次方程可化为， 解得：． 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级下·重庆·期中）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： 得， 解得， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得， 解得. 【变式2】．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若消去未知数，则①②后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件. 【详解】解： ①②，得：， 整理得：， ①②消去了未知数， 的系数为，即 ． 题型七：方程组相同解问题 【典例7】．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含 的代数式表示，进而判断结论的正误． 【详解】解：原方程组为 判断①：当时，方程组变为 解得 将解代入得 故①错误； 判断②：对原方程组，由得 若，则，解得，是有理数， 故②正确； 判断③：对原方程组，由得， 若，则，解得， 故③错误； 判断④：对原方程组，由得 得，即无论取何值，的值恒为， 故④正确； 因此正确结论为②④． 【变式1】．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，可知，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 即． 【变式2】．（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 题型八：二元一次方程组的特别的解法 【典例8】．（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级下·山东聊城·期中）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，． 原方程组转化为，解得，． 由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______；（直接写答案） (2)已知方程组，求x，y的值． 【答案】(1) (2)，． 【详解】（1）解：由题意知，，，得； （2）解：设，原方程组可化为，解得，即，解得，，． 【变式2】．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 题型九：二元一次方程组的综合问题 【典例9】．（25-26七年级下·广东广州·期中）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 【答案】(1)不具有“邻好关系”，理由见解析 (2)或； (3)或 【分析】（1）先求出方程组的解，再代入验证即可； （2）由得，，根据题意得到，解得m的值即可； （3）根据该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”； （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或； （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或． 【变式1】．（25-26七年级下·山东青岛·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；        （2）解：由题意得：， 得，，即，，， ，将代入得，，解得，， ，，方程组的解为； （3）解：是方程的一个解， ， ，， ． 【变式2】．（25-26七年级下·福建厦门·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下的值是方程的解的是：_____（填序号） ①，②，③ (2)若关于的二元一次方程的解与的取值无关，且这组解也是方程的解，求的值． 【拓展延伸】 (3)已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求的值． 【答案】(1)③ (2)； (3)的值为或． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ①不是方程的解；当时，， 解得：，②不是方程的解；当时，， 解得：， ③是方程的解； （2）解：将方程整理得：， 关于的二元一次方程与的取值无关， ， ，， 将，代入得： ， 解得：； （3）解：将方程组化简得：， 得：， 由得：， 将代入得：， 整理得：， 方程组有解， ，即， ， 、、均为正整数， 可取，，，，即可取，，，， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，的值为或． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列用消元法解二元一次方程组中，不正确的是（　　） A．由①得： B．由得： C．由得： D．把整体代入②得： 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，逐个判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：对于方程组 A选项：∵对①移项可得， ∴A正确； B选项：∵得， ∴， 化简得，不是， ∴B错误； C选项：∵得，得 ， ∴， 化简得， ∴C正确； D选项：∵由得， 由得， 将整体代入②得， ∴D正确． 2．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴①+②得，解得， 把代入①解得， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若实数满足，那么的值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先推导出，得到，再将两道方程相加并化简，即可解答． 【详解】解：∵， 且， ∴， 即， ∴， ， ∴． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 【答案】D 【分析】根据加减消元法的规则，使目标未知数的系数和为0即可消去该未知数，据此判断各选项即可. 【详解】解：对于方程组 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，需要， ∴选项A、C错误； 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，将，可得： ，的系数和为，被消去， ∴选项B错误，选项D正确. 5．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程组转化为，结合题意得出，计算即可得出结果． 【详解】解：方程组转化为， ∵关于、的方程组的解是， ∴, ∴． 6．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先解方程组，得到，然后将代入，即可判断①；若，即可得到，然后解方程即可判断②；根据题意，可知，然后代入求值即可判断③；将代入解方程即可判断④． 【详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ①当时，，， ∴， ， ∴，故①错误； ②若，则， 解得：， ∴，， ∴x，y互为相反数，故②错误； ③，为自然数， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴x，y为自然数的解有3对，故③正确； ④∵， ∴， 解得：，故④错误， ∴其中正确的有③，共1个． 7．（25-26七年级下·重庆·月考）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 8．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【详解】已知关于、的方程组， 解得：， 当时，， 变形为无意义， 不可能等于，故正确； 当时，方程组的解为， 代入方程， 左边， 右边， 左边右边， 当时，方程组的解也是方程的解，故正确； 当，时，代入方程组得， 解得：，无实数解， 不存在某一个值，使得，，故错误； ， ， 的最小值为，故正确． 二、填空题 9（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴ 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 【答案】 【详解】解：将代入原方程组，解得，将代入所求方程组，得 ，整理，得，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 11．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知实数、满足，且则的值为_________． 【答案】4 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，进而得到关于的方程求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 解得：． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解变形与整体换元思想，解题的关键是通过整体换元，将新方程组转化为已知解的原方程组形式求解． 设，，将新方程组转化为与原方程组形式一致的方程组，利用原方程组的解求出、的值，再反解出、． 【详解】解：设，， 则原方程组可化为：， 由已知方程组的解为，可得： 即：， 解得：． 13.（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_______ 【答案】 【分析】对比两个二元一次方程组的结构，可得新方程组中对应原方程组的，对应原方程组的，利用原方程组的解得到关于，的方程组，再求解即可． 【详解】解：由题意可得 ， 解得， 因此关于，的二元一次方程组的解为． 三、解答题 14．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为. 15．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 16．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得， 将③代入①得， ∴； （2）解： ①去分母得，， 得，， 将④代入②得，， 解得， ∴． 17．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 【答案】，，0 【分析】根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此分别代入到对应的方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：把代入中得， 解得， 把代入中得， 解得， ． 18．（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据相反数的定义可得，求出方程组的解，再把该方程组的解代入方程中计算求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵x，y是一对相反数， ∴， 联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴ ∴． 19．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于，的二元一次方程（其中），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”__________，以及它们组成的方程组的解为__________； (2)若关于，的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求的值； (3)若关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于，的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得：的“船山方程”为：； ， 得：，解得：， 把代入①得：， ∴； （2）解：由题意得：方程与其“船山方程”为：， ∵的解为：， ∴， 得， ∵即：， ∴， ∴， 将代入②得：， ∴； （3）解：∵方程的“船山方程”是， ∴联立得方程组得：， 当时解不唯一（舍）， 当时， 得，， ∵，∴， ∵，∴， ∴把代入得，即， ∴， 即：， 把代入方程得：， ∴ . 20．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）定义：若为关于x和y的二元一次方程的一组整数解，即，都为整数，则称在平面直角坐标系中的点为方程的“整解点”，例如：为方程的一组整数解，那么点为方程的“整解点”． (1)请求出方程在第一象限内的“整解点”； (2)已知关于x和y的二元一次方程（，且b为正整数）有“整解点”，将该点向上平移6个单位，向右平移2个单位后仍是该方程的“整解点”，求ab的值； (3)有以下关于x和y的三个二元一次方程： ①， ②， ③， 其中p和q为常数且满足，若这三个方程有相同的“整解点”，试求出其相同的“整解点”． 【答案】(1)方程在第一象限内的“整解点”为和 (2)或 (3)三个方程相同的“整解点”为和 【详解】（1）解：方程的“整解点”在第一象限， ，， 当时，，点为其在第一象限内的“整解点”， 当时，，点为其在第一象限内的“整解点”， 当时，，点为“整解点”，但不在第一象限， 当时，，不符合第一象限要求， 方程在第一象限内的“整解点”为和． （2）解：点是方程的“整解点”， ①， 点也是该方程的“整解点”， ②， 由②①，得， ， 将代入①，得， ， 点是“整解点”， ，n均为整数， 是整数， 又为正整数， 是5的正因数， 或5， 又， 或； （3）由①③，得：， 整理得：， 又，即， 等式两边同时除以，得：， 由①②③，得： ， 整理得：， ， ∴， ，且x，y均为整数， 为整数，也为整数， 为3的因数，即的取值为1，，3，， 当时，，解得，代入方程③得，不符合题意，舍去， 当时，，解得， 当时，，解得，代入方程③得，不符合题意，舍去， 当时，，解得． 三个方程相同的“整解点”为和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $