第十章 二元一次方程组 数学活动（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

第十章 二元一次方程组 数学活动

（教学设计）

1.教学内容

本课时是人教新版七年级下册第十章《二元一次方程组》数学活动课,本节课主要包括两个数学活动：活动1——二元一次方程的“图象”探究，即将二元一次方程的解转化为平面直角坐标系中的点，发现这些点都在同一条直线上，从而认识二元一次方程的几何意义；活动2——轮胎换位问题，即运用二元一次方程组解决汽车轮胎何时换位能使两对轮胎同时报废的实际问题.

2. 内容解析

本节课是第十章“二元一次方程组”的收官之作，是在学生系统学习了二元一次方程组的概念、解法及应用之后进行的综合提升.从知识体系看，本节课具有承上启下的重要作用：活动1将二元一次方程与平面直角坐标系（第七章）联系起来，让学生从“形”的角度重新认识“数”的关系，为后续学习一次函数埋下伏笔；活动2则是对列方程组解实际问题的深化拓展，问题情境更加贴近生活，对建模能力提出更高要求.从思想方法层面看，本节课集中体现了“数形结合思想”——将抽象的方程与直观的图形建立联系，让学生体会数学知识之间的内在统一性；“建模思想”——将实际问题转化为方程组模型求解；“优化思想”——在轮胎换位问题中寻求最佳换位时机.

基于以上分析，本节课的教学重点是经历探究过程，发现二元一次方程的图象是一条直线，理解方程与直线的对应关系；运用二元一次方程组解决轮胎换位问题.

1. 教学目标

（1）知道以一个二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，了解二元一次方程的图象是一条直线；能通过两个二元一次方程的图象求方程组的解（直观感知）；能分析轮胎换位问题中的数量关系，列出方程组求解.

（2）经历“列表—描点—观察—猜想—验证”的探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想；通过将方程转化为图象，感悟数形结合思想；在解决轮胎换位问题的过程中，进一步培养建模能力.

（3）在探究活动中感受数学的奇妙与统一，激发学习兴趣；通过解决实际问题，体会数学的应用价值，增强学好数学的信心.

2.目标解析

（1）强调探究结论的获得和基本技能的掌握.学生需要通过动手操作发现二元一次方程的几何意义，并能运用这一结论解决简单问题；同时能够分析轮胎换位问题中的等量关系.

（2）侧重于思维方法的培养.从列表描点到观察猜想，再到归纳验证，这一完整的探究过程让学生经历知识“再发现”的过程；数形结合思想的渗透为后续学习函数奠定基础.

(3)通过富有挑战性和趣味性的活动，让学生感受数学的魅力，增强学习的内驱力.

学生已经学习了平面直角坐标系（第七章），能够熟练地在坐标系中描点；也学习了二元一次方程组的解法和应用，具备了一定的建模能力.但七年级学生的思维仍以具体形象思维为主，对于抽象的方程与直观的图形之间的对应关系需要经历充分的感性操作才能理解.在活动1中，学生可能对“为什么这些点会在同一

条直线上”感到困惑；在活动2中，轮胎磨损率的概念对学生来说是全新的，需要教师引导理解.基于以上分析，教学中应注重让学生动手操作、观察发现，通过小组合作突破难点.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是理解二元一次方程的解与图象上点的对应关系；轮胎换位问题中数量关系的分析（磨损率的理解）.

创设情景，引入新课

问题引入  我们已经知道二元一次方程有无数个解，这些解是一对一对的数值.大家思考一下，能否把这些解在平面直角坐标系中表示出来？如果能，这些点会有什么规律？

学生思考、猜测.

教师引出活动主题：今天我们就来探究这个问题——二元一次方程的图象.

(设计意图：通过设疑激发学生的好奇心和探究欲望，自然引入活动主题.)

　活动1：二元一次方程的“图象”

1.操作探究——以x－y＝0为例

追问1：请同学们写出方程x－y＝0的几个解（至少5个），并将这些解转化为有序数对.

学生可能写出：(0,0)、(1,1)、(2,2)、(3,3)、(-1,-1)等.

追问2：在平面直角坐标系中描出这些点，观察这些点的位置有什么特征.

 学生发现：这些点都在同一条直线上.

追问3：在这条直线上任意取一点，如(4,4)，它的坐标是方程x－y＝0的解吗？再取几个点试试.

学生验证发现：直线上任意一点的坐标都是方程的解.

小组讨论：通过以上操作.

追问4：你有什么猜想？

归纳猜想：以二元一次方程x－y＝0的解为坐标的点都在同一条直线上；反之，这条直线上任意一点的坐标都是这个方程的解.

（设计意图：通过具体的操作活动，让学生亲身经历“发现”的过程，从特殊到一般形成猜想，培养归纳思维能力.）

2. 小组合作——自主探究其他方程

追问5：每个小组自选一个二元一次方程（如x＋y＝2、2x－y＝1等），重复上面的探究过程，看看是否得到同样的结论？

小组展示：各小组汇报探究结果，展示所画的图象。

教师归纳：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线.以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象.

追问6：如何简便地画出一个二元一次方程的图象？

两点确定一条直线，可以找两个特殊点，如与坐标轴的交点.

（设计意图：通过小组合作探究，验证猜想的普遍性，同时培养学生的合作交流能力和动手操作能力.）

3. 拓展延伸——方程组的图象解法

问题：我们已经知道每个二元一次方程对应一条直线，那么二元一次方程组对应什么？方程组的解与这两条直线有什么关系？

操作：在同一坐标系中画出方程组{x＋y＝2, x－y＝0}的两个方程的图象，观察两条直线的位置关系.

发现：两条直线相交于一点，交点的坐标(1,1)恰好是这个方程组的解.