10.4三元一次方程组的解法（第2课时)课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 （第2课时） 素养目标 能根据具体问题中的相等关系列出三元一次方程组并求解，加强应用意识，发展模型观念，进一步提升运算能力． 2 回顾旧知，引入新知 回顾：1．什么叫作三元一次方程组？ 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 三元一次方程组 基本思路是通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 消元 2．解三元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 消元 一元一次方程 新知探究，找等量关系 例1 在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 思考1：这个问题中的相等关系是如何给出的？ 思考2：有几个相等关系？ 相等关系由等式 y＝ax2＋bx＋c给出. 共3个相等关系，分别为： 当 x＝－1 时，y＝0； 当 x＝2时，y＝3； 当 x＝5时，y＝60； 新知探究，列方程组 例1 在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 思考3：如何列方程组？ 当 x＝－1 时，y＝0； 当 x＝2时，y＝3； 当 x＝5时，y＝60； a﹣ b＋c = 0 4a + 2b＋c = 3 25a + 5b＋c = 60 新知探究，巩固解法 思考4：如何解这个方程组？ a﹣ b＋c = 0 4a + 2b＋c = 3 25a + 5b＋c = 60 ① ② ③ 观察三个未知数的系数特点，发现未知数 c 的系数都是1，采用加减法先消去未知数 c，计算起来较为简单． 解：②－①，得 a + b =1 ④ ③－①，得 4a + b =10 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组，得 a + b =1 4a + b =10 这个方程组的解为 a = 3 b =﹣2 把a =3， b =﹣2代入①，得 c =﹣5 解这个方程组，得 a = 3 b =﹣2 c =﹣5 6 新知探究，规范步骤 例1 在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 解：根据题意，列得三元一次方程组 a﹣ b＋c = 0 4a + 2b＋c = 3 25a + 5b＋c = 60 解这个方程组，得 a = 3 b =﹣2 c =﹣5 所以 a，b，c 的值分别为3，﹣2，﹣5 . 7 新知探究，设未知数 例2 一个三位数，各数位上的数字的和为 14，百位上的数字的 2 倍减去十位上的数字的差是个位上的数字的 ．如果把这个三位数个位上的数字与百位上的数字交换位置，那么所得的新数比原数小 99．求这个三位数． 思考1：题目中涉及几个未知数？怎样表示这些未知数？ 共涉及三个未知数， x 个位上的数字、十位上的数字、百位上的数字． 分别是这个三位数： y z 新知探究，找等量关系 例2 一个三位数，各数位上的数字的和为 14，百位上的数字的 2 倍减去十位上的数字的差是个位上的数字的 ．如果把这个三位数个位上的数字与百位上的数字交换位置，那么所得的新数比原数小 99．求这个三位数． 思考2：题目中蕴含了几个相等关系？ 百位上的数字＋十位上的数字＋个位上的数字＝14 百位上的数字的 2 倍－十位上的数字＝个位上的数字的 新三位数＋99＝原三位数 新知探究，找等量关系 思考3：你能根据思考2得到的等量关系列出对应的方程吗？ 百位上的数字＋十位上的数字＋个位上的数字＝14 百位上的数字的 2 倍－十位上的数字＝个位上的数字的 新三位数＋99＝原三位数 x+ y＋z = 14 100z+10y＋x + 99 = 100x+10y+z 设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z. ① ② ③ 个位上的数字与百位上的数字交换位置 新知探究，巩固解法 思考4：怎么解这个方程组？ 100z+10y＋x + 99 = 100x+10y+z ① ② ③ 方程组整理得 x+ y＋z = 14 6x－3y－z = 0 x－z = 1 解： x+ y＋z = 14 ①×3+②，得 9x + 2z = 42 ④ ③与④组成二元一次方程组，得 x－z = 1 9x + 2z = 42 解这个方程组，得 把x =4， z = 3 代入①，得 y = 7 这个方程组的解为 x = 4 z = 3 x = 4 z = 3 y = 7 新知探究，规范步骤 例2 一个三位数，各数位上的数字的和为 14，百位上的数字的 2 倍减去十位上的数字的差是个位上的数字的 ．如果把这个三位数个位上的数字与百位上的数字交换位置，那么所得的新数比原数小 99．求这个三位数． 解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z. 100z+10y＋x + 99 = 100x+10y+z x+ y＋z = 14 解这个方程组，得 x = 4 z = 3 y = 7 答：这个三位数是473. 新知探究，归纳总结 应用三元一次方程组解决问题的一般步骤是： ①明确三个未知数； ②寻找三个相等关系； ③列出三元一次方程组； ⑤答题； ④解三元一次方程组； 经典练习，巩固新知 练习 1. 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的 等于丙数的 ．求这三个数． 解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z. x+ y＋z = 35 解这个方程组，得 x = 10 z = 10 y = 15 答：设甲数为10，乙数为15，丙数为10. 2 . 在等式 z＝ax＋by＋c 中，当 x＝1，y＝2 时，z＝8；当 x＝2，y＝1时，z＝ 5；当 x＝－1，y＝－1 时，z＝4．求 a，b，c 的值． 解：根据题意，列得三元一次方程组 a+2b＋c = 8 2a + b＋c = 5 ﹣a － b＋c = 4 解这个方程组，得 a = ﹣1 b = 2 c = 5 所以 a，b，c 的值分别为﹣1，2，5 . 经典练习，巩固新知 15 经典练习，拓展探索 3. 甲地到乙地全程是3.3km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地53.4min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 分析： 甲 乙 x y z x+2y＋z = 3.3 从甲到乙： 从乙到甲： 先上坡-平路-下坡 先上坡-平路-下坡 16 3 . 甲地到乙地全程是3.3km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地53.4min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 解： 设从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程x km、y km、z km . x+2y＋z = 3.3 解这个方程组，得 x = 1.2 y = 0.6 z = 1.5 答：设从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程1.2 km、0.6 km、1.5 km . 经典练习，拓展探索 17 4 . 现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元．1角、5角、1元硬币各取出多少枚？ 0.1x+0.5y＋(15－x－y) = 7 化简，得 解：设1角取出x枚，5角取出y枚，1元取出(15－x－y)枚. 经典练习，拓展探索 9x+5y= 80 ∵ x，y，15－x－y均为不超过10的非负整数， ∴ x = 5， y = 7, 15－x－y=3 答：1角取出5枚，5角取出7枚，1元取出3枚. 即 18 经典练习，拓展探索 5 .某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元．某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的脑．请你设计几种不同的购买方案供这所学校选择，并说明理由． （1）只购进A型和B型电脑. 解：分3种情况. 设购进A型、B型分别是x台、y台. x + y = 36 解这个方程组，得 x = ﹣21.75 y = 57.75 6000x + 4000y = 100500 不符合题意，舍去 经典练习，拓展探索 5 .某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元．某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的脑．请你设计几种不同的购买方案供这所学校选择，并说明理由． （2）只购进A型和C型电脑. 解：分3种情况. 设购进A型、C型分别是x台、z台. x + z = 36 解这个方程组，得 x = 3 z = 33 6000x + 2500z = 100500 经典练习，拓展探索 5 .某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元．某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的脑．请你设计几种不同的购买方案供这所学校选择，并说明理由． （3）只购进B型和C型电脑. 解：分3种情况. 设购进B型、C型分别是y台、z台. y+ z = 36 解这个方程组，得 y = 7 z = 29 4000y + 2500z = 100500 综上可知，有两种购买方案供这个学校选择：第一种方案是购进3台A型电脑，33台C型电脑；第二种方案是购进7台B型电脑，29台C型电脑. 课堂小结 回顾本节课的内容，请回答以下问题： 1．应用三元一次方程组解决具体问题的关键是什么？ 关键是明确三个未知数、寻找三个相等关系. 2．解方程组的过程需要注意什么？ 当所列的三元一次方程组不是最简形式时，应先对其进行整理和化简；解完方程组后注意检验并答题. 作业 教科书习题 10.4 第 3 ,4题. $