第5章 特殊平行四边形综合练习1 2025—2026学年浙教版数学八年级下册

特殊平行四边形综合练习1 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ）。 A． B． C． D．以上都对 2.菱形，矩形、正方形都具有的性质是（   ）。 A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 3.如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（   ）。 A． B． C． D． 4.下列说法正确的是（   ）。 A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴 D．对角线相等的平行四边形为矩形 5.下列四个命题中，假命题的是（   ）。 A．菱形的对角线互相垂直 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.在如图的方格纸中，小树从位置经过旋转平移后到位置，那么下列说法正确的是（   ）。 A．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 B．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 C．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 D．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 7.下列命题是真命题的是（   ）。 A．正六边形的内角和是 B．两点之间，直线最短 C．矩形的对角线互相垂直 D．相等的角是对顶角 8.下列说法正确的是（   ）。 A．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题 D．若，则 9.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（   ）。 A．7 B．9 C．12 D．15 10.如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形．将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点的坐标为（   ）。 A． B． C． D． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.学习矩形时，我们从它的边、角、对角线等方面进行了研究，可以发现并证明矩形的对角线相等．小明参考平行四边形判定方法的研究过程，得出下面的猜想：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是矩形。其中正确的是___________。（填序号） 12.如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件 ，使平行四边形是矩形。 13.如图，矩形中，将四边形沿折叠得到四边形，已知，则 。 14.如图所示的是一个棱柱，它的六个侧面都是面积为的正方形，则这个棱柱的所有棱长的和为________。 15.已知正方形的边长为5，点P在正方形内，，且，，则 。 16.在中，，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接。当是等腰直角三角形时，的长为 。 17.如图1，在长方形中，，，点E为边上一动点，将沿着直线翻折后得到，请解决下列问题。 连接，当为直角三角形时，求此时 。 三、解答题：本题共5小题，其中第18题9分，其余每小题10分，共49分。 18.如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长。 19.如图，在中，，，。点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动。过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形。设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒。 （1）当点在边上时，求正方形的边长（用含的代数式表示）； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点在边上时，求S与之间的函数关系式。 20.（1）计算：； （2）如图，在菱形中，，的垂线交于点P，交的延长线于点E。求证：。 21.如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，，求的长。 22.如图，矩形中，分别以对角线的两个端点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接分别交，于点E，F，交于点，连接、。 （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，直接写出矩形的周长和面积。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊平行四边形综合练习1 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ）。 A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键。 根据正方形的判定定理得出答案。 【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。由此可知选。 故选：。 2.菱形，矩形、正方形都具有的性质是（   ）。 A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了菱形，矩形、正方形的性质，根据矩形、菱形、正方形都是平行四边形进行判定即可。 【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分。 故选：D。 3.如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接，当时最小，根据题意可知，，再由勾股定理即可解答。 本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线。 【详解】解：依题意，可知四边形是平行四边形，延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接， 当时最小， ∵，， ∴，， ∴。 故选：A。 4.下列说法正确的是（   ）。 A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴 D．对角线相等的平行四边形为矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B、D进行判断；根据矩形的性质对C进行判断。 【详解】解：A.一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误； B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以B选项错误； C.矩形是轴对称图形，两组对边中点连线所在的直线是它的对称轴，所以C选项错误； D.对角线相等的平行四边形为矩形，所以D选项正确。 故选：D。 5.下列四个命题中，假命题的是（   ）。 A．菱形的对角线互相垂直 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，特殊四边形的判定和直角三角形的性质，需熟练掌握菱形的性质、矩形的判定、正方形的判定和直角三角形的性质。 根据菱形、矩形、正方形和直角三角形的性质，进行判断各命题的真假，即可作答。 【详解】解：A.菱形的对角线互相垂直，是真命题，故该选项不符合题意； B.有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题，故该选项不符合题意； C.对角线互相平分，相等且互相垂直的四边形是正方形，原说法是假命题，符合题意； D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故该选项不符合题意。 故选：C。 6.在如图的方格纸中，小树从位置经过旋转平移后到位置，那么下列说法正确的是（   ）。 A．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 B．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 C．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 D．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 【答案】B 【分析】本题考查的是几何变换的旋转和平移，熟知图形旋转变换及平移变换的性质是解答此题的关键。先判断出的度数，再进行解答即可。 【详解】解：∵小树经过正方形的顶点、， ∴， ∴小树从位置经过旋转平移后到位置时应绕点逆时针旋转，再向右平移7格。 故选：B。 7.下列命题是真命题的是（   ）。 A．正六边形的内角和是 B．两点之间，直线最短 C．矩形的对角线互相垂直 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题的判定，掌握多边形的内角和，两点之间线段最短，矩形的性质，对顶角，掌握相关知识是解题的关键。根据多边形的内角和，两点之间线段最短，矩形的性质，对顶角的相关概念及计算判定即可。 【详解】解：A、正六边形的内角和是，是真命题，符合题意； B、两点之间，直线最短，是假命题，应该是两点之间，线段最短，不符合题意； C、矩形的对角线互相垂直，是假命题，应该是矩形的对角线相等，不符合题意； D、对顶角具有公共顶点且两边互为反向延长线，对顶角相等， 相等的角不一定是对顶角，故原选项是假命题，不符合题意。 故选：A。 8.下列说法正确的是（   ）。 A．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质及判定，命题，二次根式有意义的条件，菱形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键。 分别根据矩形的判定，平行四边形的性质及判定，命题（真假命题），二次根式有意义的条件，菱形的性质去判断各选项即可。 【详解】解：A.一组对边平行且对角线相等的四边形可能是等腰梯形，原说法错误，不符合题意； B.菱形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意； C.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题，正确，其逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理，符合题意； D.若，不一定等于，若均为负数，则原说法错误，故不符合题意。 故选：C。 9.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（   ）。 A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【分析】连接，根据题意可得，，平分，再根据平行四边形的性质可得，从而得到，即四边形为菱形，最后根据菱形的性质以及勾股定理进行计算即可。 【详解】解：如图所示，连接，   ， 根据题意可得：，，平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， 故选：A。 10.如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形．将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点的坐标为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于，在中，，，可得，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，每旋转8次回到最初位置，从而得到第98次旋转结束时，相当于将逆时针旋转了，作轴于，通过证明，即可得到答案。 【详解】解：如图，过点作轴于， ， 顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转， 每旋转8次回到最初位置， ， 第98次旋转结束时，相当于将逆时针旋转了，如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， 第98次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B。 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.学习矩形时，我们从它的边、角、对角线等方面进行了研究，可以发现并证明矩形的对角线相等．小明参考平行四边形判定方法的研究过程，得出下面的猜想：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是矩形。其中正确的是___________。（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定逐个判断即可。 【详解】对角线相等的四边形不一定是矩形，所以①不正确； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以②正确； 对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，所以③不正确； 所以正确的是②。 故答案为：②。 12.如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件 ，使平行四边形是矩形。 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键。根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空。 【详解】解：添加条件：。 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形（矩形的定义）。 故答案是：（答案不唯一）。 13.如图，矩形中，将四边形沿折叠得到四边形，已知，则 。 【答案】 【分析】本题考查了矩形的翻折问题，根据翻折的性质和矩形的性质，求出，即可得出结论。 【详解】解：设， 则，， 由翻折的性质可得∶， ∴， 解得， 由矩形的性质知， ∴， 故答案为∶ 。 14.如图所示的是一个棱柱，它的六个侧面都是面积为的正方形，则这个棱柱的所有棱长的和为________。 【答案】36 【分析】根据侧面的面积求出每一条棱的长度，再计算出棱的总数可得答案。 【详解】解：∵六个侧面都是面积为的正方形， ∴每条棱长 ∵六棱柱共有条棱， ∴这个棱柱的所有棱长的和是： 故答案为：36。 15.已知正方形的边长为5，点P在正方形内，，且，，则 。 【答案】 【分析】本题主要考查正方形性质，勾股定理，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键。首先在正方形中，连接，过点P作交于G点，过点P作交于H点，然后设，，根据勾股定理构建方程组，解方程组求得未知数的值，再根据勾股定理求出和的值，根据题意取舍即可。 【详解】解：如图，在正方形中，连接，过点P作交于G点，过点P作交于H点， 则，， 设，， 在和中，由勾股定理得： ，即，解得或 当时，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，符合题意； 当时，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，不符合题意；综上，。 故答案为：。 16.在中，，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接。当是等腰直角三角形时，的长为 。 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键。根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题。 【详解】解：根据题意，可知，，， 由旋转可知，， 当，且点在上方时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点， 则有，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴。 在中，有； 当，且点在下方时， 如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点， 则有，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴。 在中，可得。 综上所述：的长为或。 故答案为：或。 17.如图1，在长方形中，，，点E为边上一动点，将沿着直线翻折后得到，请解决下列问题。 连接，当为直角三角形时，求此时 。 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形性质、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 分两种情况：①当时，利用方程根据勾股定理求出；②当时，利用方程根据勾股定理求出即可。 【详解】解：在长方形中，， ，， ∵点E在上运动， 则， ①当时，    三点在同一直线上， 在中，根据勾股定理，得： ， ， 由折叠知：， 在中，根据勾股定理，得： ， 解得：； ②当时，即点F落在上时，    在中，根据勾股定理，得： ， ， 在中，根据勾股定理，得： ， 解得：； 综上所述，当为直角三角形时，求此时或， 故答案为：或。 三、解答题：本题共5小题，其中第18题9分，其余每小题10分，共49分。 18.如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长。 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理。根据旋转得到，勾股定理求出即可，掌握旋转的性质，是解题的关键。 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵绕着点B旋转后能到达的位置， ∴， ∴。 19.如图，在中，，，。点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动。过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形。设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒。 （1）当点在边上时，求正方形的边长（用含的代数式表示）； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点在边上时，求S与之间的函数关系式。 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、重叠部分的面积等知识。 （1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，可得； （2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，即，可求t的值； （3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式； 【详解】（1）解：∵，， ∴，且， ∴， ∴， （2）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积， 即， 当时，如图，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 而，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，S与t之间的函数关系式为。 20.（1）计算：； （2）如图，在菱形中，，的垂线交于点P，交的延长线于点E。求证：。 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）先将绝对值，0次幂，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）连接，通过证明为等边三角形，得出，再证明，即可求证。 【详解】（1）解： ； （2）证明：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，   ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴。 21.如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，，求的长。 【答案】 【分析】根据勾股定理，得到，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可。本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键。 【详解】矩形中，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 设，则， ∴ 解得。 。 22.如图，矩形中，分别以对角线的两个端点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接分别交，于点E，F，交于点，连接、。 （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，直接写出矩形的周长和面积。 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）矩形的周长为，面积为 【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的性质证明即可； （2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”判定即可； （3）根据条件证明是等边三角形，即可求出菱形边长，再根据勾股定理求出即可求解。 【详解】（1）解：证明：四边形是矩形， ， ， 由作图可知，是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， 是的垂直平分线， ， 四边形是菱形； （3）解：四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形； ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， 矩形的周长，面积为。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $