重难点专题 特殊平行四边形的性质与判定综合（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

重难点专题 特殊平行四边形的性质与判定综合 重难点一 利用特殊平行四边形的性质与判定求长度 1）根据题意判定图形类型（矩形、菱形、正方形）； 2）运用对应性质（矩形对边相等、对角线相等；菱形四边相等、对角线互相垂直平分；正方形兼具矩形和菱形所有性质），结合勾股定理、全等三角形、线段垂直平分线等知识，直接或间接求解线段长度； 3）若题干未明确图形类型，需先通过判定定理确定，再计算。 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 4．（2026·四川南充·一模）如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2026·四川达州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为_____． 7．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________． 8．（25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 9．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 10．（2026·湖南长沙·二模）如图，在矩形中，点和点在边上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作分别交，于点H，F．点G为的中点，连接． (1)若，则_________，_________； (2)如图2，连接，．求证：且； 重难点二 利用特殊平行四边形的性质与判定求角度 1）判定特殊平行四边形类型； 2）根据其内角特点（矩形、正方形四个角为90°；菱形对角相等、邻角互补），结合平行线的性质、三角形内角和、等腰三角形性质等，推导所求角度； 3）注意利用对角线的性质（如菱形对角线平分内角）简化计算。 12．（2026八年级下·云南·专题练习）在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 15．（2026八年级下·重庆·专题练习）如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 16．（25-26八年级下·湖南·月考）如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 17．（2026·江西上饶·二模）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称．如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接． (1)求的度数． (2)判断的形状，并证明． 18．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，求的度数． 重难点三 利用特殊平行四边形的性质与判定求面积 1）分图形类型套用公式（矩形面积=长×宽；菱形面积=底×高=对角线乘积的一半；正方形面积=边长²=对角线乘积的一半）； 2）若图形不规则，可通过分割、补全法，转化为特殊平行四边形或三角形，再结合判定定理验证图形关系，代入公式计算。 19．（2026·四川绵阳·二模）如图，菱形中，，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 21．（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 22．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，在正方形中，点是该正方形的中心，点，分别在边，上，点是的中点，连接，若，正方形的面积为，则的面积等于_____． 23．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 24．（2026·云南红河·一模）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 25．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 26．（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形 为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 重难点四 特殊平行四边形的证明题 遵循“判定定理+性质”的思路，先明确要证明的图形（矩形、菱形、正方形），选择对应判定方法，结合平行四边形的性质、全等三角形、等腰三角形等知识，逐步推导证明；注意证明过程的逻辑性，先证平行四边形，再证特殊类型。 27．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接． (1)求证：； (2)若．试判断四边形的形状，并证明． 28．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图在正方形中，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，求证：． 29．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 30．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，正方形中，对角线、交于点．点、分别在线段、上，且． (1)求证：； (2)求与的关系并证明． 31．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 重难点五 特殊平行四边形的折叠问题 1）折叠的核心是“轴对称”，折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等； 2）确定折叠前后的对应点、对应边、对应角，利用特殊平行四边形的性质，结合勾股定理、全等三角形，建立方程求解线段长度、角度等； 3）注意折叠后重合部分的等量关系，避免遗漏隐含条件。 32．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 33．（25-26八年级下·四川自贡·月考）如图，在长方形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则的长是______． 34．（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 35．（25-26八年级下·云南曲靖·期中） 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 36．（2026·甘肃平凉·一模）观察发现 (1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 (2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 (3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 37．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 重难点六 特殊平行四边形中的旋转 1）旋转前后图形全等、对应点到旋转中心距离相等、旋转角相等； 2）确定旋转中心、旋转角和对应点，利用特殊平行四边形的性质（如正方形的边长相等、内角为90°），结合旋转性质构造全等三角形，推导边、角关系，进而求解相关问题； 3）注意旋转方向（顺时针、逆时针）对图形位置的影响。 38．（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 39．（2026·河南平顶山·一模）如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 40．（2026·河南商丘·一模）如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 41．（2026·江苏盐城·一模）问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 42．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵，∴，点共线． 易证______其判断理由是______，可得． (2)类比引申如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当与满足什么等量关系____时，仍有，并说明理由． (3)联想拓展如图3，在中，，，点均在边上，且．则满足_____，若，则的最小值是_____． 43．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知矩形中，，，将绕点A旋转得到． (1)如图1，当点E落在上，连接，求线段的值． (2)如图2，在旋转过程中，设点M，N分别为，中点，连接，当为正整数时，请直接写出的值． 44．（2026·山东聊城·一模）如图1，正方形的边与正方形的边重合，直线交直线于点H，连接． (1)图1中线段与的数量关系是______，与的关系是______； (2)如图2，正方形绕点B顺时针旋转角度α（），当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由； (3)如图3，若，，连接，正方形绕点B顺时针旋转角度α（），当点F落在对角线上时，请直接写出此时的面积． 45．（2026·甘肃庆阳·一模）如图1，在正方形的边上任取一点E，作交于点F，取的中点G，连接，， (1)写出线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． (3)如图3，将绕点B逆时针旋转，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由． 重难点七 特殊平行四边形的动点存在性问题 1）确定动点的运动轨迹和运动范围，分情况讨论动点在不同位置时的图形状态，结合特殊平行四边形的判定定理和性质，列出方程或不等式，验证满足条件的动点位置是否存在； 2）注意分类讨论的完整性，避免漏解，同时关注动点运动过程中线段长度、角度的变化规律。 46．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图①，动点以每秒的速度沿长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图②所示，若，则的值为_____． 48．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 49．（25-26八年级下·四川南充·月考）如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． (1)当t= s时，四边形的面积为； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (3)当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 50．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 51．（25-26八年级下·上海·月考）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 重难点八 特殊平行四边形的最值问题 结合特殊平行四边形的性质，将最值问题转化为“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”等常见最值模型；通过转化线段、构造对称点等方法，确定最值的取值情况，注意最值取得时的动点位置或图形状态，验证合理性。 52．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 53．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 54．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，正方形的边长为12，点、分别为、上的点，且，，是对角线上的一个动点，则的最小值是_____________． 55．（2026·四川达州·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ． 56．（2026·河北石家庄·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 57．（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 重难点九 特殊平行四边形中探究线段之间的关系 1）通过观察、猜想线段之间的关系（相等、和差、垂直、平行）； 2）利用特殊平行四边形的性质、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识进行证明； 3）可通过作辅助线（如连接对角线、延长线段、构造全等），将分散的线段集中，简化探究过程。 58．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 59．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 60．（25-26九年级下·北京顺义·月考）如图，在正方形中，P是边上的一动点（不与点D，C重合），，点D关于直线的对称点为E，连接，连接并延长交射线于点F，连接． (1)根据题意补全图形，并直接写出的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 61．（2026·山东聊城·一模）【模型建立】 (1)如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 (2)如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 重难点十 特殊平行四边形与中点、中位线结合 1）牢记三角形中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），先利用中点构造中位线，结合特殊平行四边形的性质，推导线段平行、相等关系，进而求解线段长度、角度或证明结论； 2）注意中位线与特殊平行四边形边、对角线的关联，灵活转化图形关系。 62．（2026·云南昭通·一模）如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 63．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 64．（25-26八年级下·陕西安康·月考）结合图形，解答下列各题： 问题提出： (1)如图1，在四边形中，对角线，，E，F，G，H分别是各边的中点，连接，，，，求证：四边形是正方形． 问题解决： (2)如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元米，经测量，，，设计要求四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 65．（25-26八年级下·江西赣州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． (4)如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 重难点十一 特殊平行四边形与一次函数综合 1）根据一次函数解析式求出相关点的坐标，结合特殊平行四边形的性质（如对角线互相平分、顶点坐标特征），确定图形的顶点坐标，进而求解线段长度、面积、判定图形类型等； 2）注意坐标系中线段长度的计算方法（勾股定理），以及函数与几何图形的结合点，建立代数与几何的联系。 66．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为（，）． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 67．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，点，其中，直线：交直线于点，点坐标为，是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当周长最小时，求出点的坐标及的面积； (3)在（2）的条件下，将线段沿轴左右平移，平移后点，点的对应点分别为点、点，平面内有一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 68．（25-26九年级下·广东中山·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 69．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 70．（2026·湖南怀化·一模）除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，线段相交于点O，若， 证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在线段上，且． ①求的长； ②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 特殊平行四边形的性质与判定综合 重难点一 利用特殊平行四边形的性质与判定求长度 1）根据题意判定图形类型（矩形、菱形、正方形）； 2）运用对应性质（矩形对边相等、对角线相等；菱形四边相等、对角线互相垂直平分；正方形兼具矩形和菱形所有性质），结合勾股定理、全等三角形、线段垂直平分线等知识，直接或间接求解线段长度； 3）若题干未明确图形类型，需先通过判定定理确定，再计算。 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，先证明是等边三角形，可得，则，利用所对的直角边等于斜边的一半得的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】先根据正方形的面积求出边长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，最后利用勾股定理求出． 【详解】解： ， ， ， ， 点M是斜边的中点， ， 在中，由勾股定理得：． 4．（2026·四川南充·一模）如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出 的长，进而求出 ，根据矩形的性质可得 且 ，从而得出 为边上的高，利用面积公式即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 在中，，， ∴由勾股定理得：． ． 四边形是矩形， ，． ， 的长即为平行线与之间的距离． 点在边上， 点到的距离等于． ． 即 ． ． 5．（2026·四川达州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的面积以及中位线的性质，可求出、的长度，再结合勾股定理得出的长度，即可得出结果． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 6．（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】先根据画图过程得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，，在中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：根据画图过程得到垂直平分， ， 矩形， ， 设，则，， 由勾股定理得， 故， 解得， 故． 7．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理可求出的长，利用直角三角形的性质得到，则可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质，求出的长，证明四边形为矩形，进而得到即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴. 9．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：连结， 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 10．（2026·湖南长沙·二模）如图，在矩形中，点和点在边上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 11．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作分别交，于点H，F．点G为的中点，连接． (1)若，则_________，_________； (2)如图2，连接，．求证：且； 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出； （2）可证得，从而，进而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ． （2）证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 重难点二 利用特殊平行四边形的性质与判定求角度 1）判定特殊平行四边形类型； 2）根据其内角特点（矩形、正方形四个角为90°；菱形对角相等、邻角互补），结合平行线的性质、三角形内角和、等腰三角形性质等，推导所求角度； 3）注意利用对角线的性质（如菱形对角线平分内角）简化计算。 12．（2026八年级下·云南·专题练习）在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【答案】或 【分析】根据菱形对角线互相垂直的性质，可得，结合点在菱形边上的不同位置，分两种情况分类计算即可． 【详解】解： 四边形是菱形，对角线、相交于点， 菱形对角线互相垂直，即， ， 分两种情况讨论： ① 当点在边上时，在内部， ； ② 当点在边上时，在外部， ． 综上，的度数为或． 15．（2026八年级下·重庆·专题练习）如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级下·湖南·月考）如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 17．（2026·江西上饶·二模）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称．如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接． (1)求的度数． (2)判断的形状，并证明． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）证明出四边形是平行四边形，得到，然后设，则，根据平行线的性质表示出，可知是等腰三角形，再根据全等图形的性质得到，即，可知，即是等边三角形． 【详解】（1）解：∵五个菱形全等 ∴ ∴， ∵ ∴； （2）解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵B，C，D，E 四点在同一条直线上， ∴ ∵四边形是菱形 ∴设，则 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵五个全等的菱形， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴是等边三角形． 18．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，求的度数． 【答案】 【分析】连接，可得是等边三角形，由菱形的性质可得平分，继而可得． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 重难点三 利用特殊平行四边形的性质与判定求面积 1）分图形类型套用公式（矩形面积=长×宽；菱形面积=底×高=对角线乘积的一半；正方形面积=边长²=对角线乘积的一半）； 2）若图形不规则，可通过分割、补全法，转化为特殊平行四边形或三角形，再结合判定定理验证图形关系，代入公式计算。 19．（2026·四川绵阳·二模）如图，菱形中，，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，根据菱形的性质求出，进而得到，利用面积公式求解即可. 【详解】解：连接交于点， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴. 20．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 21．（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 22．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，在正方形中，点是该正方形的中心，点，分别在边，上，点是的中点，连接，若，正方形的面积为，则的面积等于_____． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于G，过F作交延长线于H，即，由正方形的性质可得，点O在上且，，再运用三角形中位线可得、；易证四边形是矩形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于G，过F作交延长线于H，即 设正方形的边长为，则，，，即， ∵在正方形中，点是该正方形的中心， ∴，点O在上且，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为． 23．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形. （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 24．（2026·云南红河·一模）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 25．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 26．（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形 为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)36 【分析】本题考查了中位线，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合中位线的性质，得出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形为平行四边形，然后证明结合一个内角是90度的平行四边形是矩形，即可作答． （2）由（1）得得出，得出四边形的面积，又因为四边形的面积等于的面积，故的面积． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形 为矩形； （2）解：由（1）得， 四边形为矩形, ∴， ∵， ∴ ∴四边形的面积， ∵四边形的面积等于的面积， ∴的面积． 重难点四 特殊平行四边形的证明题 遵循“判定定理+性质”的思路，先明确要证明的图形（矩形、菱形、正方形），选择对应判定方法，结合平行四边形的性质、全等三角形、等腰三角形等知识，逐步推导证明；注意证明过程的逻辑性，先证平行四边形，再证特殊类型。 27．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接． (1)求证：； (2)若．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，证明，即可得证； （2）由（1）得：四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，证明如下： 连接，交于点，   由（1）得：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 28．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图在正方形中，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】可先证明四边形是矩形，根据矩形的性质，可得．要证，可转化为证明，所以需要证明．根据正方形的性质用全等判定定理，可证，进而得到，注意书写顺序即可完成证明． 【详解】连接， ∵四边形是正方形， ∴ ，． ， 又∵， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． ∴ ． 29．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质结合（1）中结论即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ， ，， ， ； （2）证明：由（1）知， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形． 30．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，正方形中，对角线、交于点．点、分别在线段、上，且． (1)求证：； (2)求与的关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)且 【分析】（1）正方形中，先推导出，继而证明，得到，则，即可解答； （2）延长交于点M，先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：且，理由如下： 延长交于点M，如图 ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴且． 31．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴四边形是菱形． 重难点五 特殊平行四边形的折叠问题 1）折叠的核心是“轴对称”，折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等； 2）确定折叠前后的对应点、对应边、对应角，利用特殊平行四边形的性质，结合勾股定理、全等三角形，建立方程求解线段长度、角度等； 3）注意折叠后重合部分的等量关系，避免遗漏隐含条件。 32．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 33．（25-26八年级下·四川自贡·月考）如图，在长方形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则的长是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由矩形的性质得到各边的长度和直角，根据翻折的性质得到对应边相等，先在中利用勾股定理求出的长度，再设，用表示出和，最后在中根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由翻折的性质可知：，， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， 的长为． 34．（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理进行求解； （2）设，根据正方形的性质得出直角和相等的边，表示出相关线段的长度，根据翻折的性质得出相等的边和角，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得； （2）解：设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为． 35．（25-26八年级下·云南曲靖·期中） 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质以及翻折的性质进行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 36．（2026·甘肃平凉·一模）观察发现 (1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 (2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 (3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2或8 【分析】（1）根据折叠的性质可得垂直平分，再构造十字架模型证即可； （2）连接，，，易证，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O． 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵由（1）有， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵，， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 37．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的判定定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【详解】（1）解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠，得，， . . 又， 四边形是平行四边形； （3）解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠，得， ， 同理可得， ， 设，则，， 在中，， 即，解得， ， ， ， ， 由（1）知， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为. 重难点六 特殊平行四边形中的旋转 1）旋转前后图形全等、对应点到旋转中心距离相等、旋转角相等； 2）确定旋转中心、旋转角和对应点，利用特殊平行四边形的性质（如正方形的边长相等、内角为90°），结合旋转性质构造全等三角形，推导边、角关系，进而求解相关问题； 3）注意旋转方向（顺时针、逆时针）对图形位置的影响。 38．（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可知，然后根据旋转的性质可知，，最后利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，， ∴，， ∴． 39．（2026·河南平顶山·一模）如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则．根据正方形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，因此，证得，得到，，，根据勾股定理在中求出即可．②当点P在边上时，与①同理可求解． 【详解】解∶分两种情况讨论： ①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． ②当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，线段的长为或． 40．（2026·河南商丘·一模）如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①，证明见解析；②的值为或 【分析】（1）连接，证出即可； （2）①延长，交于点，先证出，再证出即可； ②设的两直角边长分别为，则，过点作于点，则四边形是矩形，再分两种情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接， ∵在中，，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： 如图2，延长，交于点， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②由题意，设的两直角边长分别为， 则， 由旋转的性质得：， 如图3，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （Ⅰ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； （Ⅱ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； 综上，的值为或． 41．（2026·江苏盐城·一模）问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理，等角的余角相等，解题关键是根据旋转证明三角形全等. （1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧和点，在的异侧，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形与四边形都是矩形， ∴， ∴， 即， 根据旋转的性质可得：， ∵，， ∴， ∴． （2）如图：连接，    根据旋转的性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴，，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，当点，在的同一侧时，    根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， 当点，在的异侧时，如图：    同理可得， ∴， 综上，的值为或． 42．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵，∴，点共线． 易证______其判断理由是______，可得． (2)类比引申如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当与满足什么等量关系____时，仍有，并说明理由． (3)联想拓展如图3，在中，，，点均在边上，且．则满足_____，若，则的最小值是_____． 【答案】(1)， (2) (3)；的最小值为 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．当时，，由，然后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1， ， ，点、、共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：时，；理由如下： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ，， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， ， ， （3）解：猜想：．理由如下： 把绕点逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ．，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 当时，， ， ， ， 当时，的最小值， 的最小值． 43．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知矩形中，，，将绕点A旋转得到． (1)如图1，当点E落在上，连接，求线段的值． (2)如图2，在旋转过程中，设点M，N分别为，中点，连接，当为正整数时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)1或或或 【分析】（1）利用勾股定理求出，再结合旋转的性质推出，最后再次利用勾股定理求解，即可解题； （2）连接，根据三角形中位线性质推出，由旋转的过程可知，，进而推出，再结合为正整数分析求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理，并结合图形添加适当的辅助线． 【详解】（1）解：矩形中，，， ， 将绕点A旋转得到， ，， ，， ； （2）解：连接， 点M，N分别为，中点， ， 由旋转的过程可知，，， ， 即， ， ， 为正整数， 的值可以为或或或． 44．（2026·山东聊城·一模）如图1，正方形的边与正方形的边重合，直线交直线于点H，连接． (1)图1中线段与的数量关系是______，与的关系是______； (2)如图2，正方形绕点B顺时针旋转角度α（），当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由； (3)如图3，若，，连接，正方形绕点B顺时针旋转角度α（），当点F落在对角线上时，请直接写出此时的面积． 【答案】(1)； (2)；，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）结合正方形的性质，证明即可； （2）根据正方形，正方形的性质证明，得到，证明，即可得到答案． （3）由可得重合，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形，正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）解：；，理由如下： 正方形，正方形， ， ， ， ， 正方形， ， ， 即； （3）解：连接，连接与交于点， ，， ， ， 在上， 重合， ． 45．（2026·甘肃庆阳·一模）如图1，在正方形的边上任取一点E，作交于点F，取的中点G，连接，， (1)写出线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． (3)如图3，将绕点B逆时针旋转，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)， (3)，，理由见解析 【分析】（1）延长和交于点，连接、，根据正方形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，通过证明，得到，，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论； （2）延长和交于点，同理（1）的方法证明，得到，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论； （3）延长交于点，连接、，同理（1）的方法证明以及，进而推出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图1，延长和交于点，连接、， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，； （2）解：如图2，延长和交于点， 由（1）得，是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，； （3）解：，，理由如下： 如图3，延长交于点，连接、， 由（1）得，是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， 由旋转的性质得，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，． 重难点七 特殊平行四边形的动点存在性问题 1）确定动点的运动轨迹和运动范围，分情况讨论动点在不同位置时的图形状态，结合特殊平行四边形的判定定理和性质，列出方程或不等式，验证满足条件的动点位置是否存在； 2）注意分类讨论的完整性，避免漏解，同时关注动点运动过程中线段长度、角度的变化规律。 46．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 47．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图①，动点以每秒的速度沿长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图②所示，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】由图②中点及，可得矩形另一边的长度，进而根据纵坐标为的点判断出动点所在的位置，求得相应的的面积即为的值． 【详解】解：观察图②可得：当点运动到点时，运动路程为，运动时间为秒， ∵动点以每秒的速度运动， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵观察图①、②可知， 当在上运动时，， 当在上运动时，， 当在上运动时，， ∴观察图②，即当在上运动时，不变，即． 48．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)秒或3秒 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又 轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 49．（25-26八年级下·四川南充·月考）如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． (1)当t= s时，四边形的面积为； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (3)当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或时， 【分析】（1）用表示、，当点未到达点时，根据条件计算即可； （2）当点未到达点时，根据平行四边形对边相等列出方程求解即可； （3）分和两种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可； 【详解】（1）解： ，，点的速度是，点的速度是， ，， 当点未到达点时，， 解得：， 当时，四边形的面积为； （2）解：当点未到达点时， 四边形是平行四边形， ， 解得：； 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为； （3）解：如图，若，过作， 则，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，即， 解得：； 如图，若，过作， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， 解得：； 当或时，是等腰三角形． 50．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形 (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 51．（25-26八年级下·上海·月考）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②根据点G，H所在边的不同分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点G在上，点在上时，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， 同理可得， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，点G在线段上，同时点在线段上， 即时， ， ， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 如图，点G在线段上，同时点在上， 即时， ，， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 综上所述，四边形的面积是矩形面积的时，的值为． 重难点八 特殊平行四边形的最值问题 结合特殊平行四边形的性质，将最值问题转化为“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”等常见最值模型；通过转化线段、构造对称点等方法，确定最值的取值情况，注意最值取得时的动点位置或图形状态，验证合理性。 52．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长，然后证明四边形为平行四边形，即可求出． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， 是的中点， 是边上的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ，即的最小值为1． 53．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 54．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，正方形的边长为12，点、分别为、上的点，且，，是对角线上的一个动点，则的最小值是_____________． 【答案】 【分析】如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，则当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，进而求得，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ∴，则， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， ∵正方形， ∴， ∴点在边上． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 由勾股定理得，． 55．（2026·四川达州·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ． 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，，进而可得，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，证明四边形为矩形，由矩形的性质易得，，进一步可知，在中，由勾股定理解得的长度，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 56．（2026·河北石家庄·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； （2）解：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： （4）解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 57．（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为； (2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【分析】（）由矩形性质可得，又，则，再证明，然后通过性质即可求解； （）连接，连接，与交于点，根据题意可得，所以当时，最小，从而最小，又四边形是菱形，则，，，通过勾股定理求得，则，然后通过求出的值即可； （）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，由四边形是正方形， 则，，米，再证明四边形是矩形，所以，米，通过勾股定理求出米，证明，则，故有，所以三点共线，且时，最小，即长，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 重难点九 特殊平行四边形中探究线段之间的关系 1）通过观察、猜想线段之间的关系（相等、和差、垂直、平行）； 2）利用特殊平行四边形的性质、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识进行证明； 3）可通过作辅助线（如连接对角线、延长线段、构造全等），将分散的线段集中，简化探究过程。 58．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 59．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得，则可得出答案； （2）正方形的判定问题，若是正方形，则必有对角线，所以为的中点，同样在中，当时，可满足其为正方形； （3）菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而可判断出不可能为菱形，再通过正方形是有一个角是的菱形，进而可判断出也不可能为正方形． 【详解】（1）解：． 理由如下： 是的角平分线， ， 又∵， ， ， ， 同理可得：， ； ． （2）解：当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： 当点运动到的中点时，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 四边形是矩形． 已知，当，则 ， ， 四边形是正方形； （3）解：不可能．理由如下： 如图，平分，平分， ， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形． ∵四边形不可能是菱形， 又∵正方形是有一个角为的菱形， ∴四边形也不可能是正方形． 60．（25-26九年级下·北京顺义·月考）如图，在正方形中，P是边上的一动点（不与点D，C重合），，点D关于直线的对称点为E，连接，连接并延长交射线于点F，连接． (1)根据题意补全图形，并直接写出的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质得到、，根据正方形的性质得到、，据此求解的大小即可； （2）易证得，进而得到，根据得到，从而得到，从而得出结论； （3）连接，过点D作交于点M，根据正方形的性质结合垂线的性质得到，由得到，进而得到，证明，进而得到，利用得到结论即可． 【详解】（1）解：如图， 点D关于直线的对称点为E， 、， 四边形是正方形， 、， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知：、 在和中， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ； （3）， 证明：连接，过点D作交于点M， 四边形是正方形， 、， 、， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 61．（2026·山东聊城·一模）【模型建立】 (1)如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 (2)如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可得，且平分，进而可知均为等腰直角三角形，易得，进一步可得，再证明，由全等三角形的性质可得；证明四边形是正方形，进而可得，， ，即，结合，即可证明结论． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，且平分， ∴，即均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形，是该正方形的对角线， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 重难点十 特殊平行四边形与中点、中位线结合 1）牢记三角形中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），先利用中点构造中位线，结合特殊平行四边形的性质，推导线段平行、相等关系，进而求解线段长度、角度或证明结论； 2）注意中位线与特殊平行四边形边、对角线的关联，灵活转化图形关系。 62．（2026·云南昭通·一模）如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出，从而求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形的面积． 63．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得到，，利用勾股定理求得，从而求得的长，取中点Q，连接，由三角形中位线定理结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点O， ，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 如图，取中点Q，连接， ∴， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 64．（25-26八年级下·陕西安康·月考）结合图形，解答下列各题： 问题提出： (1)如图1，在四边形中，对角线，，E，F，G，H分别是各边的中点，连接，，，，求证：四边形是正方形． 问题解决： (2)如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元米，经测量，，，设计要求四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)符合要求，证明见解析，4000元 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，并结合已知条件可证明，，，可得四边形是矩形，再证明，即可证明结论； （2）连接，，与相交于点O，先证明，可得，，进一步可证，再根据（1）可知，四边形为正方形，即知王师傅的设计方案符合要求；根据三角形中位线定理，可求得米，即可求出答案． 【详解】（1）证明：E，F分别是，的中点， ，， 同理可证， ， ， ，， 同理还可证明， ，，， 四边形是矩形， 同理还可证明， ， 四边形是正方形； （2）解：王师傅的设计方案符合要求； 证明：如图，连接，相交于点O， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是正方形， 王师傅的设计方案符合要求； 米，米，， 由勾股定理得（米）， G，H分别是，的中点， （米）， （元）， 铺设地砖所需的费用为4000元． 65．（25-26八年级下·江西赣州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． (4)如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)④ (3)，证明见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可得答案； （2）只需要四边形是否是正方形即可得到结论； （3）根据定义可得四边形是正方形，则，据此可得； （4）连接，设分别交于点H，点O，可证明，得到，，再证明，得到，由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【详解】（1）解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半； 依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接， 同理可得， 当四边形是平行四边形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是矩形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是菱形时，与不一定相等， 故此时与不一定相等， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是正方形时，， 故此时， ∴四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”； （3）解：，证明如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （4）证明：如图所示，连接，设分别交于点H，点O， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴由（3）可得四边形是“中方四边形”． 重难点十一 特殊平行四边形与一次函数综合 1）根据一次函数解析式求出相关点的坐标，结合特殊平行四边形的性质（如对角线互相平分、顶点坐标特征），确定图形的顶点坐标，进而求解线段长度、面积、判定图形类型等； 2）注意坐标系中线段长度的计算方法（勾股定理），以及函数与几何图形的结合点，建立代数与几何的联系。 66．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为（，）． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析；② (2) 【分析】①连接，交于点，作直线，即可求解； ②根据题意得出，直线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别求得直线经过点的解析式，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①连接，交于点， 四边形是矩形，的中点与坐标原点重合， 轴是矩形的对称轴， 点在轴上， 直线将矩形分成周长相等的两部分； ②， ， ， 设直线的解析式为，代入，得， ， ， 直线的解析式为； （2）设直线对应一次函数为：， 经过点时，即经过和两点， ， 解得：，， 当直线经过点和点 解得：， 综上所述，当时，直线与线段有公共点． 67．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，点，其中，直线：交直线于点，点坐标为，是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当周长最小时，求出点的坐标及的面积； (3)在（2）的条件下，将线段沿轴左右平移，平移后点，点的对应点分别为点、点，平面内有一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，10 (3)点坐标为或或 【分析】（1）将，代入即可求解； （2）先求出，作点B关于直线对称的点，连接，交直线于点D，根据轴对称可得此时的周长最小．根据待定系数法求出直线的解析式，令，得到，根据即可求解； （3）设平移后对应的坐标为，，分三种情况求解：①四边形是菱形，则，根据两点间距离公式列出方程，求出x，得到点，的坐标，根据菱形的性质即可求出点E的坐标，同理可求②四边形是菱形，③四边形是菱形时点E的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：过点，， ∴，解得 ∴直线的解析式为． （2）解：对于直线，令，则， ∴， 作点B关于直线对称的点， 连接，交直线于点D，此时， ，此时的周长最小． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， ∵，， ． （3）解：∵，， ∴， 设平移后对应的坐标为，， 若、、、为顶点的四边形是菱形，共有三种情况： ①如图，若四边形是菱形，则， 则， 解得 当时，，， ∵在菱形中，，， ∴可看作由平移得到， ∴； 当时，，， ∵在菱形中，，， ∴； ②如图，若四边形是菱形，则， 则， 解得 ∴，， ∵在菱形中，，， ∴可看作由平移得到， ∴； ③如图，若四边形是菱形，则 则， 解得 ∴，， ∵在菱形中，，， ∴可看作由平移得到， ∴； 综上，点坐标为或或． 68．（25-26九年级下·广东中山·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)y (3) (4)存在，或 【分析】（1）由点A坐标可得，，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解； （2）利用待定系数法求直线解析式即可； （3）分两种情形：如图中，时，如图中，时，分别求解即可； （4）根据题意可得，过点N作轴交于点Q，求出，结合面积得到即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线 的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：连接，如图中，当时， ∵对角线交y轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图中，当时， ∵， ∴， 又， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，； （4）存在点N，如图4所示： 当时，点P在上运动， ∴， ∵， ∴， 过点N作轴交于点Q， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， ∴， ∴ 解得：， ∴N点的坐标为或． 69．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1)①；②直线表达式为 (2)当的值为或时，的面积为 【分析】（1）由勾股定理得出的长度，即为菱形的边长，可得点坐标，结合点、的坐标，采用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据菱形的性质，证明，即，，由（1）中所求直线表达式得出点的坐标，对点位置进行分类讨论，分别由面积公式或求解出的值即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 令直线表达式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线表达式为． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， 对于直线． 当时，， ∴， 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 综上，当的值为或时，的面积为． 70．（2026·湖南怀化·一模）除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，线段相交于点O，若， 证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在线段上，且． ①求的长； ②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，②存在，点的坐标为或 【分析】（1）证，，进而倒角即可得证； （2）①在中，直接利用勾股定理求解即可； ②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，设、的交点为H，先证H是中点，得到点H坐标，再求直线解析式，然后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：四边形是正方形， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形为“双直四边形”； （2）解： ， 设为， 则， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得 ． ②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”． 如图，设的交点为， 是的中点， ． 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 直线的解析式为， 设， （i）当时，， 点的坐标为； （ii）当时， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 此时点的坐标为； （iii）当时， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得或12， 当时，，此时在第四象限，不符合题意． 当时，，此时在第一象限，符合题意． 综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $