精品解析：四川泸州市合江县2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

泸州市合江县2025—2026学年高2024级高二下学期期中考试 数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页.试卷满分150分，考试时间共120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 5. 在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（ ） A. 2 B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递减，在上单调递增 C. 的最小值为1，且无最大值 D. 若，且，则 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的首项，公差，则的值为__________. 13. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________. 14. 若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值. 16. 已知等比数列的前项和为，公比，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为的中点. （1）若，求证：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在两个极值点，试证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市合江县2025—2026学年高2024级高二下学期期中考试 数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页.试卷满分150分，考试时间共120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式得到集合，然后利用交集，补集的定义运算即得． 【详解】，解得，即， ，解得，即， ，． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则和求复数的模长公式，化简已知条件，得到复数z，再求复数z的共轭复数，得 【详解】因为，所以， 则，则 故选：B 3. 已知函数，则在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出在处的导数即可 【详解】，. 4. 设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 5. 在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面角的定义得到直线在平面的夹角，再利用直角三角形即可求出该角的正弦值. 【详解】如图所示，连接，交于点，连接. 因为正方体底面是正方形，所以； 又平面，平面，故， 又因平面,故平面. 就是直线与平面所成的角. 正方体棱长为，则，. 在中：. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 6. 记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量运算求得通项，进而求得，再根据分组求和，裂项相消求和得解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为， 由，得，所以，解得， 所以， ， 所以 . 7. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以，令得， 解得或，即或， 或， 因为，所以. 二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，令，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】根据判断A选项；将看作一个整体，利用正弦函数单调递增区间判断B选项；因为正弦函数在对称轴处取最值，可将代入判断C选项；利用平移法则可判断D选项． 【详解】A选项：根据题意，该函数的最小正周期，故A错误； B选项：令，，解得，； 当时，，故在区间上单调递增，故B正确； C选项：因为，故的图象关于直线对称，C正确； D选项：将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误． 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递减，在上单调递增 C. 的最小值为1，且无最大值 D. 若，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数定义域要求确定的定义域，以此判断选项A；对求导，根据导数在不同区间的正负判断单调区间，以此分析选项B；结合单调区间找到极值点，进而确定最值情况，判断选项C；利用函数单调性构造函数，通过函数值的大小关系推导变量间的不等式，判断选项D； 【详解】选项A，对数要求真数，因此的定义域为，A错误. 选项B，对求导得：， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，B正确. 选项C，由B的单调性可知，在处取得最小值：， 当时，，因此无最大值，C正确. 选项D，不妨设，要证，即证. 因为在单调递增，只需证. 构造函数，求导得：， 因此在单调递减，得，即， 故，得，即，D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的首项，公差，则的值为__________. 【答案】11 【解析】 【详解】. 13. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接由椭圆的几何性质计算可得. 【详解】因为椭圆的焦距为，得且， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 因此实数的值为或. 14. 若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为对于任意，不等式恒成立，即， 令，， 当时，，所以在上单调递增， 所以，恒成立， 当时，令，所以， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 令，， 所以在上单调递减，又因为，所以，不满足恒成立. 综上,.所以实数的最大值为. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 又，所以， 则， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以. 16. 已知等比数列的前项和为，公比，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的前项和的定义及等比数列性质可得； （2）由（1）知，进而再用错位相减法求数列的前项和可得. 【小问1详解】 由已知得： ， ，两式相减得：，即， 所以，又因为，，解得， 代入得： ，即， 又因为，所以，解得， 因此数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则①， 两边同时乘得：②， 由得： 因此. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为的中点. （1）若，求证：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为底面，底面，所以， 又因为底面为矩形，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，分别以､､所在的方向为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，又，可得，， 又为的中点，所以， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，解得，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，所以，令，解得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即所求锐二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1)由离心率为可得关系式；将代入方程，再根据求得椭圆的标准方程； (2)设直线方程，需要注意斜率是否存在的情况；联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到坐标关系，利用找出直线参数之间的关系，结合弦长公式和距离公式计算面积的最大值． 【小问1详解】 由椭圆的离心率，得：， 又因为，所以， 椭圆的方程可化为， 将点代入椭圆方程得：，解得，则； 因此椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设； ①当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程得：， 则；由得： ，解得， 此时； ②当直线l的斜率存在时，设l：， 联立，消去y得：； ；解得：； 由韦达定理得：，； 由得：， 又因为， 代入得： 将韦达定理结果代入得：； 化简得：； 所以， 代入化简得，得： 原点O到直线l的距离， 因此：； 化简：； 由基本不等式可得：，当且仅当：时，“=”成立； 即，因此，当且仅当时取等号， 综上所述，，故面积的最大值为． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在两个极值点，试证明：. 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间 （2） （3） 证明：存在两个极值点，，等价于有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 因此当时，有两个不同实数根，且在单调递增，在单调递减，单调递增. 由，得：， 令，，， 所以在上单调递增，，即，令，则， 因为，所以， 注意到在，时，在上单调递减，故，即，故.因为在单调递减，所以. 要证，将放缩后只需证. 令，求导后，因为，所以，故在单调递增， 即，代入得， 原式得证. 【解析】 【分析】(1)求导后构造辅助函数，通过二次求导来分析的符号. (2)利用这个特殊值，将恒成立问题转化为导数符号问题. (3)极值点等价于导数为零的根，利用构造辅助函数确定，最后根据的单调性将原不等式放缩后得证. 【19题详解】 当时，，的定义域为， ，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故，即，当且仅当时取等号，因此在上单调递增， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. 【20题详解】 ，令，则， 当时，，故在上单调递增，即， ①当时，即，在上单调递增，故，符合题意； ②当时，，因为当时，，故存在唯一，使得. 当时，，单调递减，此时，与题意矛盾，故舍去， 综上所述，实数a的取值范围为； 【21题详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $