精品解析：四川省泸州市合江县马街中学校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

马街中学高2023级高二下期中考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为. 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再由导数定义可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再由解方程即可求得. 【详解】由，可得， 又由，则得， 即，解得. 故选：A. 4. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式推导出与公比的关系，再结合已知条件求出的值. 【详解】∵，∴. 故选：B. 5. 设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可. 【详解】由图象可知，当时，， 所以函数在上单调递减，A错误； 当时， 所以函数在上单调递增，B正确，C错误； 函数在处取得极小值，D错误． 故选：B 6. 等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果 【详解】∵等差数列中，， ∴，即．又， ∴的前项和的最小值为． 故选：B 7. 若实数数列：，，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列求出公差，求出，，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】解：由数列：，，7成等差数列得，，∴， 从而，，则曲线方程为：， ∴， ∴， ∴. 故选：D 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数可判断偶函数在单调递增，即可分类求解. 【详解】由得，故函数在单调递增， 又是定义域为的奇函数，是定义域为的奇函数， 故是定义域为的偶函数， 所以函数在单调递减， 结合，故当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上可得的解集为， 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A,，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 10. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件变形，先求的通项公式，再判断选项 【详解】由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列， ，则．故B，C正确，A错误 , , 两式相减得：，故D错误． 故选：BC 11. 如图，在边长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 存在满足 D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面平行判定定理可知当平面时，的轨迹为线段，其长度为，即A正确；再由线面垂直性质可知的轨迹是半径为1的圆弧，可得B正确；利用可判断C错误；求得三棱锥的外接球的球心和半径即可判断D正确. 【详解】对于A，如图，取，中点，且连接，， 因为分别是棱，的中点，由中位线定理得，， 所以，而，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 而面， 所以面平面，又是正方形内的动点， 且平面，平面和平面与平面相交，是交线， 所以的轨迹为线段， 由勾股定理得，故A正确， 对于B，如图，若，此时平面， 所以，由勾股定理得， 所以的轨迹为在面内，以为圆心，1为半径的圆弧， 所以的轨迹长度为，故B正确， 对C：如图： 因为，且，， 所以不存在满足，故C错误； 对于D，如图，取的中点，的中点，连接， 因为是棱的中点，分别是棱，的中点， 所以，由勾股定理得， 而，所以，所以， 而，所以点到的距离相等， 因为，由正方体性质得平面， 所以平面，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设球心为，，则，又，， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 在直角三角形中，由勾股定理得， 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于确定三棱锥的外接球的球心位置，并根据勾股定理计算出外接球的半径，即可求得其表面积. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 曲线在处的切线的方程为_______ 【答案】 【解析】 分析】利用求导得到导函数，代入得到切线斜率，再求出切点坐标，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】由题意，，所以，则， 因为当时，，所以在处的切线的方程为：，即. 故答案为：. 13. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】. 【解析】 【详解】分析：先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立，下面只要二次函数的根的判别式△≤0即可求得a的取值范围； 详解：f′（x）=ex[x2+（-a+2）x-a+2]，考虑到ex＞0恒成立且x2系数为正，∴f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立．∴（-a+2）2-4（-a+2）≤0， ∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2] . 点睛：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力．属于基础题． 14. 若两个等差数列，的前项和分别为，，若对于任意的都有，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出． 【详解】由等差数列的性质可得：． 对于任意的都有， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16. 设数列的前项和为，． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若和分别是等差数列的第二项和第六项，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知求出.当时，由的关系推得，即可得出证明.进而根据等比数列的通项公式，即可得出答案； （2）根据（1）的结果结合已知条件，可得出首项、公差，进而得出的通项公式.裂项求得，相加即可得出答案. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时， 有， ， 两式作差可得，， 整理可得，. 又， 所以，数列为首项为2，公比为2的等比数列， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以，，. 设的公差为， 则， 解得，， 所以，. 所以，， 所以，数列的前项和 . 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在四棱锥中由勾股定理计算可证明，，结合线面垂直判定定理可得出结论； （2）建立空间直角坐标系分别求出平面和平面的法向量，设，再利用二面角的余弦值解方程可得. 【小问1详解】 在四棱锥中， 由，，，， 得，， 则，， 又，且，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 可得，，， 设（），则， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面的法向量为， 由，解得，令，，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 18. 已知函数. （1）当时，求的图象过点的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调性. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 设函数的图象过点的切线的切点为， 显然点不在函数的图象上，则，解得， 则切点为，，故所求切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，由，得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，的最小值， 要证，只需证，只需证， 设，求导得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 函数在处取最小值，， 因此，故得证. 19. 人教版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：. （1）求的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； 【小问2详解】 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即， 两式相减得 【小问3详解】 由（2）可知 ， 得 恒成立， 令 ， 则 ， 可得 ； 当 时，，当时，， 所以的最大值为， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 马街中学高2023级高二下期中考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 4. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 5. 设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 6. 等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ） A B. C. D. 7. 若实数数列：，，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 11. 如图，在边长为4正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 存在满足 D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 曲线在处切线的方程为_______ 13. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 14. 若两个等差数列，前项和分别为，，若对于任意的都有，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 设数列的前项和为，． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若和分别是等差数列的第二项和第六项，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求． 18. 已知函数. （1）当时，求的图象过点的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 19. 人教版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：. （1）求值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$