天津市红桥区2025-2026学年高三二模数学试卷

高三数学 参考答案 一、选择题 每题5分 题号 1 2 3 5 6 > 8 9 答案 B 9 0 C 二、填空题 每题5分 10.1 11.-1 12.2V5 13. 2(2分)：23分) 2 1452分)号3分 ·2 15.(5,3+e] 三、解答题 (16)（本小题满分14分) 解：（I)已知3(a-c)2+2ac=3b2整理得a2+c2-b2= C,2分 所以cosB=a+c2-b22 4分 2ac (I)①因为sinB=V1-cos'B=V5 5分 且、4 b …6分 sin A sin B 若5a=3b,则sin4=5 4…8 ②因为cosA=1-cos'A=-25 9分 则cos2A=1-2sin2A=3 …10分 5 4 sin 24=2sin AcosA=. 11分 所以sm(24-孕=sn2Acos年-c0s21sin 4 13分 …14分 10 (17)(本小题满分15分) 解：(I)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2)；1分 ↑2 B 所以AB=(2,0,0),AD=(0,4,0),AP=(0,0,2),CD=(-2,0,0), 因为CD·AD=0,所以CD L AD, 2分 CDAP=0,CD⊥AP,且AD∩AP=A,3分 CD⊥平面PAD,CDC平面PCD, …4分 所以平面PCD⊥平面PAD;… 5分 (IⅡ)设平面ACE的法向量n=(x,y,z), nEA=0 「-2y-z=0 则 ,即 nEC=0'12x+2y-z=0 不妨令y=1,可得n=(-2,l,-2),7分 又设平面PCD的法向量m=(x,y,z), 则 m·PC=0m「2x+4y-2z=0 ,即 m·PD=0 4y-2z=0 不妨令y=1,可得1=(0,1,2)，… 9分 2 n.m 于是cos(nm)同 = 5 .11分 5 所以平面EAC与平面PCD夹角的余弦值为5 1 (Ⅲ)因为'E-A8c 5 SMBCXIZE,… 3 13分 1 4 ×4×1= 15分 (18)（本小题满分15分) 解：(I)设等比数列{an}的公比为q,由a1=1,a3=a2+2可得q-q-2=0, 因为q>0,则解得q=2,所以an=20-, 3分 设等差数列bn}的公差为d,由a4=b+b,a5=b+2b。可得 b+3d=4 g=1所以6.=， d=1 36+131=16'解得 6分 (I)@(1)可得S,=1-9）-2”-1, 8分 1-q 则T,=22-n=21-n-2,… …10分 i-11 ②因为+b26-2*1-k-2+k+2)k。k:21 2+2 2+1 12分 (k+1)k+2) (k+1)k+2) (k+1)(k+2)k+2k+1 流格谷引层引器》 14分 242 n+2 15分 2装旅冷 。-2(neN*)成立. (19)（本小题满分15分) 解：(1)依题意可得a+F- 2c. 2分 且a2=b2+c2，… 3分 则a=V2c, 所以椭圆C的离心率e=S-V2 294分 (Ⅱ)由(I)可得 2 =1,A(-√2b,0) b2b2 设直线AE的方程为x=my-√2b,… 6分 联立方程组{ 262+6=1 x=my-√2b 得m2+2少2-2√2mby=0,7分 则yE= 5m5 9分 m2+2 联立x=V26 x=m-V26'解得P26,2V2 ）y10分 m 22b 2v2mb m2+2 n ®B为20，周22h- 2 m2+2 所以kOp…kBE=-1,I1分 则OP⊥BC,垂足为H,因此△OBH的外接圆是以|OB=√2b为直径，OB的中点为圆心的 圆，设圆心为C2, 所以圆T的标准方程为：x-V2+y广= 12分 2 设40的中点为G20,则7G=26. 2 连接MT,由题意知MT⊥GM,|TG=OB=2TM|, 所有∠MGT-名由对称径可知∠MGV=了IGMHGNI, 6 则△MGN是等边三角形，13分 GM= √6b 2 因此S 3V6b233 14分 GMN4 2 8 解得b2=1, 所以椭圆C的标准方程为 之+y2=l. 15分 20.(本小题满分16分) （I)解：函数f(x)=二十lnx的定义域为(0，十o0),… 1分 11 则f'(x)=- x+x 2分 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 函数f(x)的单调增区间为(1，十0)，单调增区间为(0,1)…4分 (I)解：依题意gN=C_飞-k1nx,x∈(O,+∞)， 则g'(x)=x-e-) 5分 x2 当k≤时，当x>1时，g'(x)>0,则g(x)在x=1处不可能取得极大值，6分 当k>e时，当1<x<lnk时，g'(x)<0,当0<x<1或x>lnk时，g'(x)>0, 则g(X)在X=1处取得极大值，7分 所以函数g(x)在X=1处取得极大值，实数k>;… 8分 (m)由(I)可知f(x)=-+1, r3+, 曲线y=f(x)过点(a,b)有三条不同的切线，切点为(xf(x,),i=1,2,3, 于是f(化)-b=f'(x,)x,-a),方程f(x)-b=f'()x-a)有3个不同的根，…9分 整理得+mx-b=一(x一)， 楼-x-a-h+6,到-c-ox- 若0<a<2,当0<x<a或x>2时，h'(x)<0,当a<x<2时，h'(x)>0, 则函数h(x)在(0，a),(2,+oo)上单调递增，在(a,2)单调递减， 显然函数h(x)有3个不同零点x,<x2<x3,且0<x,<a<x2<2<x3, 则hla=-1-lna+b<0,且2)=-9-ln2+b<0, a 4 即g+ln2<b<+lna, 10分 a 又l)=1-a+2+0 -lnx+b=0, 设t=1>0,则()化简为n0=1-(a+2t+at2+lnt+b, 则n()有3个不同的零点t,t2,t3,且t1>t2>t3,又n(t1)=n(t3), 即(a+24-5)-a(6,+1)%,-t3)-ln1=0, 则a(t,+t3)-(a+2)+ Int-In =0, t1-t3 t+1 化简得（+g-0++i)+n上×=0,1分 2 1 a"44-1 6 要证1+2-0<1+122-4 24x x a 24 即证2+2-0<1，+4，< 42-a 12 12 则6+5，-1+2,2g+4-2+2马<0， 12分 24 a24 划%+-0+后%6-+24x22爱<0， a24 +1 即证+4，)2-1+2X,+,)+n上×专<0， a )fat34-1 +1(1 +222)02×2-12-12 则nx> 24 a24 a a -+2, 34-1 72()3 a 记p()=u+)ln ,以>1， A-1 13分 则p'(4)=， 1 (4-1)2 u-1-2n, 设F()=- 1-2lnμ， 则F'(四）=1-？>0，则F(四在L,+∞)上单调递增，F(0>F0=0, 于是p'()>0,则p()在(1，+0)上单调递增， 2 令=，2=m,则=3之>l,即S>m>1, ’a t3 x1 a 2+12- 2 故只需证ln2×g>日 -+2, a 2 -16×()2 a 7 即证1nm-2m-)_(m-1) 之0,15分 m+16m2(m+1) 设om)=1nm-2m-D_m-1) m+16m20m+Dm>1, 则om）=m-1)'(3m+>0,om在1，+0上单调递增， 3m3(m+1)2 所以0(m)>o(I)=0得证。 16分 8高三数学 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！ 第1卷 注意事项： 妙 照 1、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。 O 2.本卷共9题，每小题5分，共45分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1)已知集合A={-1,0,1},B={x|x=2a,a∈A,则集合A∩B= O 蟹 A{0,-2 ®) 扇 (©{2,0,2} D){0,2 (2)已知a,b∈R, “a>b>0”是=g>1”的 b (A)充分不必要条件 B)必要不充分条件 蜜 (C充要条件 D)既不充分也不必要条件 O (3)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 解 (A)y=x2+1 (B)y=sin 2x (C)y=e* (D)y=cos2x O (4)为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出 100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残 缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的颜率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中 位数大约是 高三数学第1页共8页 频率/组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 LA 2025 30 354045年龄/岁 (A)31.6岁 B)32.6岁 (C33.6岁 D)36.6岁 (5)已知a=log2亏b=h2,c=1og2e,则 (A)a>b>c B)c>b>a (C)b>c>a D c>a>b (⑥)下列结论中正确的结论个数为 ①命题：x∈(0,2)，3>x3的否定是3x∈(0,2)，3≤x; ②诺直线1上有无数个点不在平面a内，则1∥a: ③若随机变量5服从正态分布N(1,σ2)，且P(5<2)=0.8,则P(0<5<1)=0.2: ©诺黄机变量5~Bmp),且E(6=12,D(⑤=号则p 2 (A)0个 B)1个 (C2个 D3个 ,?)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PAD是等边三角形，且侧面 PAD⊥底面ABCD,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为 3 (B) 3 28 32 (©3π D) (8)已知函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,o>0,0<p<元)在一个周期内的图象如图所示， 其中图象最高点、最低点的横坐标分别为 π7元 2、12 图象在y轴上的截距为√3，则下列 高三数学第2页共8页 结论正确的是 红 12 12 A)f(x)的最小正周期为2π ⑧)f(x)的最大值为√ (C)f(x)在区 [ 5ππ 上单调递增 四)f(x+石为偶函数 )设B分别是双曲线子岩 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，离心率为e,过E的直 线交双曲线的左支于M,N两点，若△MF,N是以M为直角顶点的等腰直角三角形， 则e2= (A5-2W2 B)2W5-2 (©5+1 ①)5+2W2 第川卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. (10)已知复数z=1+, 3-i 是纯虚数（其中i是虚数单位，a∈R)，则z的虚部为一 (1)已知二项式(a-马0的展开式中的常数项为252，则实数a=一 (12)已知抛物线.C:y2=8x的焦点F,准线与x轴的交点为M,点A在抛物线上，且 |AM=√2|AF,则|OA_·(O为坐标原点) 高三数学第3页共8页 (13)一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个红球，若采取有放回的抽样方式， 从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为；若采取不放回的抽样方 式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的 概率为一，一· (10已知O是△ABC内的-点，乙408=40C=150,o网=网=5，od-=20 则可A+O丽=_一：若OC=mOa+nO丽，则”- e+92,x≤0 (15)设函数f(x)= x+4-3,x>0'若y=f(国-a有四个不同的零点，从小到大依次为 1,x2,X3,x4,则x1x2十x3+X4的取值范围为 三、解答题：本大题共5个小题，共75分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分14分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知3(a-c)2+2ac=3b2. (I)求cosB的值： (Ⅱ)若5a=3b ①求sinA的值； ②球如(24-孕的值 蝙 高三数学第4顶共8页 (17) (本小题满分15分) 如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2, O BC=4,E是PD的中点 (I)求证：平面PCD⊥平面PAD: (Ⅱ)求平面EAC与平面PCD夹角的余弦值： O (Ⅲ)求三棱锥E-ABC的体积. 霉 郡 O E O 簧 都 B C 黛 O 御 O 荞 O 高三数学第5页共8页 (18)(本小题满分15分) 设数列{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn,色}是等差数列，已知a1=1, a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6 (I)求{a,}和色n}的通项公式： (Ⅱ)设数列Sn}前n项和为Tn, ①求Tn: @证明之☒：+b42边-22 -2(neN*), 后(k+1)(k+2)n+2 高三数学第6页共8页 (19)(本小题满分15分) 已知椭圆C,之+ =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,上顶点为D,左、右焦 a2 b2 点分别为R、R,則D非 2 |FE2 (I)求椭圆C的离心率； (Ⅱ)点E在椭圆C上（异于椭圆左、右顶点），直线AE与直线x=a交于点P,线段OP 与线段BE交于点H,过OA中点G作△OBH的外接圆的两条切线，切点分别为M、 N,且△GMN的面积 3V5 求椭圆C的标推方程。 高三数学第7页共8页 (20)(本小题满分16分) 已知函数四=上+hx,g闪=g-时，keR. O (I)求函数f(x)的单调区间： (Ⅱ)若函数g(x)在x=1处取得极大值，求实数k的取值范围； O (Ⅲ)已知a,b∈R,曲线y=f(x)在不同的三点(：1，f(x),(x2,f(x2),(x,f(x)》 处的切线都经过点(a,b),且1<x2<x3· O 证明：若0<a<2,则1+2-0<1+1<2_2-a 24为x3a24 O 些 O 踪 高三数学第8页共8页