19.3二次根式的加法与减法知识归纳与题型突破（七题型）2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3二次根式的加法与减法知识归纳与题型突破2025-2026 学年人教版八年级下册（七题型） 知识归纳： 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 知识点2：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 题型突破： 题型一：判断二次根式能否合并 1.下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2.若最简二次根式与是能合并，那么（  ） A． B． C． D． 3.如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 4.若与是可以合并的二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ． 5.下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 题型二：二次根式的加减运算 1.若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 2.计算： ． 3.计算： ． 4.计算：． 5.计算：． 6.计算： （1）；（2）． 题型三：比较二次根式的大小 1．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 3．比较大小： （填，或）． 4.比较大小： ． 5.（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 题型四：整数部分和小数 1.的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 2.实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 3．设为的小数部分，为的小数部分，则的值为 4．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 5.已知的整数部分为，小数部分为，则= ． 题型五：二次根式的化简求值 1.已知，，则的值是 ． 2.已知：，则的值为 ． 题型六：二次根式的规律探索 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 2．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 3．观察规律：，，，…，将你猜想到的规律用一个式子来表示：________． 4.阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 题型七：二次根式的应用 1.高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 2.按国际标准，A系列纸均为长宽比为的长方形．若纸的宽为，则纸的长为 ．（用含根号的式子表示） 3.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 4.如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 5.有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】 19.3二次根式的加法与减法知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版八年级下册（七题型） 知识归纳： 知识点1： 同类二次根式 3. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 4. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 知识点2：二次根式的加减 3. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 4. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 题型突破： 题型一：判断二次根式能否合并 1.下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 2.若最简二次根式与是能合并，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 【答案】D 4.若与是可以合并的二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ． 【答案】（答案不唯一） 5.下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 题型二：二次根式的加减运算 1.若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 2.计算： ． 【答案】 3.计算： ． 【答案】 4.计算：． 【答案】2． 【解答】解：原式＝﹣2+3 ＝2． 5.计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝ ＝． 6.计算： （1）；（2）． 【答案】（1）2； （2）2． 【解答】解：（1）原式＝3﹣3+2 ＝2； （2）原式＝2+2﹣﹣2+ ＝2． 题型三：比较二次根式的大小 1．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 3．比较大小： （填，或）． 【答案】 4.比较大小： ． 【答案】 5.（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 题型四：整数部分和小数 1.的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 2.实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．设为的小数部分，为的小数部分，则的值为 【答案】 4．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【答案】 5.已知的整数部分为，小数部分为，则= ． 【答案】11 题型五：二次根式的化简求值 1.已知，，则的值是 ． 【答案】 2.已知：，则的值为 ． 【答案】 题型六：二次根式的规律探索 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 【答案】 2．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 【答案】 3．观察规律：，，，…，将你猜想到的规律用一个式子来表示：________． 【答案】(n≥1) 4.阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 题型七：二次根式的应用 1.高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 【答案】C． 2.按国际标准，A系列纸均为长宽比为的长方形．若纸的宽为，则纸的长为 ．（用含根号的式子表示） 【答案】． 3.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 4.如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 【答案】解：大正方形边长为，小正方形边长为， ． 5.有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1)(2)(3)5 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 学科网（北京）股份有限公司 $