19.3 二次根式的加法与减法（分层题型专练，6夯基题型+7进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 （分层题型专练） 题型一 同类二次根式 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列二次根式中，能与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识点. 先化简成最简二次根式，被开方数相同则为同类二次根式. 【详解】解：A、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、被开方数相同，是同类二次根式，选项说法正确，符合题意； D、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．请写一个二次根式 ，使它与是同类二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是最简二次根式，被开方数为2， 因此只需写出一个被开方数为2的最简二次根式，例如； 故答案为：（答案不唯一） 4．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 5．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】28 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，根指数相同且被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． 题型二 二次根式的加减运算 1．能与相加得0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的加减，逐项计算判断即可． 【详解】解：A． ，不符合题意； B． ，不符合题意； C． ，符合题意； D． ，不符合题意； 故选C． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并， 选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项D：，正确． 故选D． 3． ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 ；. 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简与加减运算．将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 题型三 二次根式的混合运算 1．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式；使用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则化简并计算即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后算加减法即可． 【详解】解： ． 题型四 分母有理化 1．化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分母有理化，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定． 对于形如的表达式，其有理化因式通常为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，为有理数， ∴的有理化因式是， 故选：D． 3．分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 4．阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： (1)计算：___________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ，即， ， 5．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分母有理数化简即可； （2）根据分母有理数化简即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式= =． 【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键． 题型五 比较二次根式的大小 1．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 2．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 3．比较大小： （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解： ， ， 由于， 所以． 故答案为：． 4．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 题型六 二次根式的应用 1．如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这条边上的高是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：设这条边上的高为， 一个三角形的面积为，一边长为， ， 解得． 故选：A． 2．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 3．据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 故选：B． 4．化简二次根式除了利用二次根式的运算法则外，还可以借助图形解译和验证．如化简，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（    ） A．分类讨论思想 B．从一般到特殊思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】根据数形结合思想的定义进行判断即可． 【详解】显然，在题目描述过程中，构造了相应边长的正方形，将数字变化为图形来进行研究，这样的方法体现了数形结合的思想， 故选：C． 【点睛】本题考查数形结合的思想，理解并熟练运用数形结合的思想是解决数学问题的常用办法． 5．若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是 ． 【答案】/ 【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得． 【详解】解：∵矩形的周长是，一边长是， ∴另一边长为：， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，利用周长求出矩形的边长是解题的关键． 6．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步了解高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空物体下落的速度v（单位：）和下落的高度h（单位：m）近似满足公式，物体下落的速度越大，会对地面的人和物品产生巨大伤害．已知小亮家所住楼层阳台离地面的高度是，假如一枚鸡蛋从小亮家阳台坠落，则鸡蛋落地时的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，根据给定的公式 ，将 和代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 7．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4秒 (2)不正确；理由见解析 (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入题干计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确． （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 8．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 题型一 二次根式混合运算的综合判断 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算法则和性质．根据二次根式的加减法、乘法、除法运算法则，分别对选项中的式子进行计算，判断其正确性． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加法、减法、乘法和除法，二次根式的性质逐一验证各选项即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的乘法，二次根式的加法，二次根式的减法，根据运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需要根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A、是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，所以，不符合题意； B、根据二次根式的除法法则（，），则，符合题意； C、根据二次根式的乘法法则，则，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题关键是掌握同类二次根式才能合并，以及二次根式乘除运算的法则． 5．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘除和加减运算．根据二次根式的性质以及二次根式的乘除和加减运算，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、、被开方数为负数，没有意义，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 题型二 与整数（小数）部分有关的计算 1．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 2．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 3．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 4．若的整数部分是，小数部分是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数，二次根式分母有理化，先估计的范围，求出，，再求． 【详解】解： ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故选：C． 5．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定，代数式求值，提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 根据的小数部分确定的整数部分，再代入表达式计算． 【详解】解：的小数部分， ， 故整数部分，小数部分 代入： 原式 故答案为：． 题型三 已知字母的值求代数式的值 1．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 2．已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式的应用，整式的化简运算，二次根式的代入求值，掌握完全平方公式是解题关键． 先利用完全平方公式展开，再通过合并同类项将代数式化为最简形式，最后代入计算结果． 【详解】解：化简： ， 当时，原式． 4．化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 5．已知，． (1)_____，_____． (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)59 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接将值代入化简即可得出的值，将值代入并利用平方差公式计算即可得出的值； （2）将化为，再将（1）中的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解： ． 6．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 把，代入，得 原式 ． 7．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 8．已知，求下列式子的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解； （2）将，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键． 题型四 已知式子的值求代数式的值 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 当即时， 原式=， 故选：C． 2．若，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是利用对已知和所求式子进行变形． 先对两边平方，得到的值，再对平方并代入计算，最后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为负数， ∴ ． 4．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 题型五 二次根式混合运算中的新定义问题 1．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 2．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 3．用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化等知识，先求出，由是的小数部分，是的小数部分，求得，，再代入即可得出结论． 【详解】解：∵，而， ∴． 又∵，而， ∴． ∴． 故选：A． 4．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 5．新运算※，*规定如下：，． （1） ． （2）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． （1）根据新运算※的定义直接代入计算； （2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可． 【详解】解：（1）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． （2）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． 6．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 题型六 二次根式与秦九韶公式 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键． 把的值代入所给公式即可求解． 【详解】解：将代入公式得， ． 故选：B． 3．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分． 【详解】解： 由题意，， ， 由于， 所以S的整数部分为，小数部分或． 故答案为：或． 4．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ∵， ∴的值为， 故答案为：． 5．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【详解】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 题型七 复合二次根式的化简 1．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 2．计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 3． ． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 1．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 【详解】解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 2．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 3．已知：，则的值为 ． 【答案】 2026 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 4．最简二次根式与是同类二次根式，则 ， ． 【答案】 1 【分析】根据同类二次根式的定义，得，解答即可． 本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 5．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 6．观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化． （1）利用分母有理化的方法进行求解即可； （2）先化简，根据，求得的值，进而代入代数式求解即可； （3）分析所给的式子的特点，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：∵，， 的整数部分是，的小数部分是， ∵，， ∴， ∴ （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 （分层题型专练） 题型一 同类二次根式 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，能与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 3．请写一个二次根式 ，使它与是同类二次根式． 4．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 5．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 题型二 二次根式的加减运算 1．能与相加得0的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3． ； ． 4．计算：． 5．计算：． 题型三 二次根式的混合运算 1．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 2． 3．计算的结果是 ． 4．计算：． 5．计算：． 6．计算：． 题型四 分母有理化 1．化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 2．下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 3．分母有理化： ． 4．阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： (1)计算：___________； (2)若，求的值． 5．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 题型五 比较二次根式的大小 1．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 2．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．比较大小： （填“”“ ”“”） 4．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 5．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 题型六 二次根式的应用 1．如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这条边上的高是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 2．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 3．据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．化简二次根式除了利用二次根式的运算法则外，还可以借助图形解译和验证．如化简，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（    ） A．分类讨论思想 B．从一般到特殊思想 C．数形结合思想 D．类比思想 5．若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是 ． 6．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步了解高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空物体下落的速度v（单位：）和下落的高度h（单位：m）近似满足公式，物体下落的速度越大，会对地面的人和物品产生巨大伤害．已知小亮家所住楼层阳台离地面的高度是，假如一枚鸡蛋从小亮家阳台坠落，则鸡蛋落地时的速度为 ． 7．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 8．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 题型一 二次根式混合运算的综合判断 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 与整数（小数）部分有关的计算 1．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 3．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 4．若的整数部分是，小数部分是，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 题型三 已知字母的值求代数式的值 1．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．已知，求的值 3．先化简，再求值：，其中． 4．化简求值：，其中， 5．已知，． (1)_____，_____． (2)求代数式的值． 6．已知，求的值． 7．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 8．已知，求下列式子的值： (1)； (2) 题型四 已知式子的值求代数式的值 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 3．已知，，求的值． 4．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 题型五 二次根式混合运算中的新定义问题 1．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 2．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 3．用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 4．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 5．新运算※，*规定如下：，． （1） ． （2）的值是 ． 6．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 题型六 二次根式与秦九韶公式 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 3．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 4．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 5．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 题型七 复合二次根式的化简 1．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．计算（   ） A． B． C．5 D．1 3． ． 4．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 5．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 1．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．已知：，则的值为 ． 4．最简二次根式与是同类二次根式，则 ， ． 5．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 6．观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $