精品解析：四川宜宾市叙州区第二中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

叙州区二中2025一2026学年下期高2025级阶段一考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列复数中，是实数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 7. 已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若向量，满足，则或 B. 若非零向量与相等，则B，C重合 C. 在平行四边形ABCD中， D. 若与是共线向量，且，则 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 11. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B. 若复数满足，则复数 C. 复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D. 对复数，若，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是虚数单位，则的值为__________. 13. 设的内角的对边分别为，若，点在边上，为的角平分线，则______. 14. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知向量，，满足，，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数k的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角的对边分别为，向量，且 （1）求角的值； （2）若是边上的中线，，求的面积． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，便得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若，且，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叙州区二中2025一2026学年下期高2025级阶段一考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列复数中，是实数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】四个选项中只有选项C 的复数的虚数单位的系数是零，因此只有是实数. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量作基底的条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】能作为基底的向量不可以是共线向量， 对A：，，，故//，不可作基底，故A错误； 对B：，，，故//，不可作基底，故B错误； 对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确； 对D：，，，故//，不可作基底，故D错误； 故选：C. 3. 若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以. 又因为直线b（集合）在平面（集合）内，所以. 所以.故选项B正确. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台侧面积公式列式求解. 【详解】设圆台较小底面的半径为， 由圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，得该圆台较大底面的半径为， 由母线长为7，圆台的侧面积为，得，解得，经验证符合题意， 所以圆台较小底面的半径为3. 故选：D 7. 已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合向量共线定理证明三点共线，建立平面直角坐标系，求表达式，再求其最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 根据向量共线定理，三点共线， 设的中点为，以为坐标原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为， 因此的最小值为. 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角整理可得，然后结合和差公式、基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，整理得， 由正弦定理边化角得， 若，则，不满足题意，故. 又， 所以， 整理得， 则 ， 易知，若，则，不合题意； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若向量，满足，则或 B. 若非零向量与相等，则B，C重合 C. 在平行四边形ABCD中， D. 若与是共线向量，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，向量满足，只说明向量的长度相等，而它们的方向是任意的， 因此向量不一定相等，也不一定互为相反向量，A错误； 对于B，非零向量与相等，则向量与的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点重合，B正确； 对于C，在中，向量与的长度相等，方向相同，因此，C正确； 对于D，当与同向时，，当与反向时，，D错误. 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 11. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B. 若复数满足，则复数 C. 复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D. 对复数，若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A项，设，则， 由可得，，所以满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误； 对于B项，设，则， 由可得，， 根据复数相等的条件可得，解得， 所以，故B项正确； 对于C项，由复数的模的定义知C正确； 对于D项，令，则，，所以，但是，故D错误. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 13. 设的内角的对边分别为，若，点在边上，为的角平分线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出边，再根据结合三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，由余弦定理知， 即，解得或（舍去）， 因为为的角平分线， 所以， 即，解得. 14. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】## 【解析】 【详解】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 已知向量，，满足，，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用数量积的运算即可求解； （2）由，即存在实数，使得，对应系数相等解出即可. 【小问1详解】 由题意有 ， 所以； 【小问2详解】 由有存在实数，使得， 即，解得. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 18. 在中，角的对边分别为，向量，且 （1）求角的值； （2）若是边上的中线，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模长公式得到，代入数量积的坐标公式，然后边化角得到角的三角函数式，求出角； （2）利用向量中线公式得出边的长，根据面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，便得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案. （2）由正弦定理得，根据两角差的正弦公式、辅助角公式，可得的表达式，根据条件，可得角B的范围，结合三角函数的性质，计算求解，即可得答案. （3）由题意，结合数量积公式、面积公式，可得的值，根据余弦定理，可得的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以，即， 又， 所以， 由，得， 所以，则. 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则 则周长的取值范围是. 【小问3详解】 因为是的“费马点”，所以， 又， 则， 所以， 则， 即， 则，解得， 由余弦定理得，解得， 所以的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $