甘肃徽县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 2025-2026学年徽县一中高一下期期中数学试卷，以复数、向量、立体几何等核心知识为载体，通过仿射坐标系、三棱台存在性等创新情境设计，考查数学抽象、空间观念与推理能力，适配高一下学期阶段性素养评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数纯虚数判定、向量垂直、双曲线离心率|基础概念与运算结合，如第1题复数纯虚数考查数学抽象| |多选题|3/18|复数几何意义、单位向量性质、几何体体积比|多维度辨析，如第10题单位向量运算培养推理意识| |填空题|3/15|向量数量积、三角形面积、四边形存在性|情境开放，第14题平面凸四边形存在性考查空间观念| |解答题|5/77|仿射坐标系应用、三棱台线面角、向量模最小值证明|综合探究，第16题仿射坐标系创新情境发展创新意识，第17题线面角探究培养逻辑推理|

参考答案 2 4 5 6 7 9 10 11 A A D ACD BD BC 1.答案：C 解析：复数(2-ai)(3+i)=6+2i-3ai-ai2=6+a+(2-3a)i, [2-3a≠0 因为是纯虚数，所以6+4=0解得 a=-6 2.答案：D 解析：因为a=(2,4),b=(1,),所以a+6=(3,4+),3a-6=3(2,4)-(1,)=(5,12-t), 由(a+b)"(3ā-)，所以3(12-t)-5(4+)=0,解得1=2： 3.答案：A 解析：对于复数z=1+i,其共轭复数为z=1-i, 故2z=(1+i0(1-i)=12-i2=1-(-1)=2. 4.答案：A 解析：FP:PO=1:2,设PE=x,则PQ=2x,IQE=3x, 由双曲线的定义可得PF=2a+x,|QF=3x-2a, 因为as∠R0R-号 在△QFE中，由余弦定理有FE=OE+№F-2№FQF卧cos∠FQF, 即=6+6x-2a-2x3x6x-2axf,0 在△PQE中，由余弦定理有PF=Pg+|№FP-2 pol-of,引cos∠FQE, 即(2a+=(6x-2a+2P-23x-2a2)x号，② 8 由②可得x=30,代入①可得c=9a2,即c=3a 所以C的离心率为：e=￡=3， a 故选：A 5.答案：C 解析：由梯形A'BC"D'的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形ABCD, 如图所示，其中AB=2A'B'=2,BC=B'C=1, 所以AC=VAB2+BC2=V4+1=V5 故选：C. B D 产X 6.答案：C 解析：~M是4D的中点BM=)+BD, 2 又BD=DC,:BD=}BC 从而得到-+C进面可刻2-分-+4 4 4 7.答案：C 解析：由题设有b2+4a2-4a.b=12,a.b-2a2=0, 故62-4a-6=8,a-6=2,故=16，即=4. 8.答案：D 解析：正n边形的n条边相等，故这n个向量的模相等.故选D. 9.答案：ACD 架对A为数：以时--，A正 2 51 所以，-对应的点为 2?2位于第四象限，故B错误； 1,3 对于C,因为复数z= 22 对于D西为数： 似+1（台号]分9-1=0数D正晚 10.答案：BD 解析：由题意得a-6=0所以a+-(a+万-2+2a-6+62=+-1+1-2, 所以a+-2,故A错误： 由（ā+）(a-)a2-2=-=0,所以(a+)1(a-),故B正确： xa.c=a-(2a+B)-2a2+a.B-2a2=2, 所以=(2a+)=42+4a.万+=4a+=5,所以-5， c.a225 cos6,a=同5x1方放C错误： 日-式=严-2a.a+a--2 dalcos(..+-f-l+1-（间+， 当问-时-小水5所以归-d的最小值为9放D正德 11.答案：BC 解析：如图设点5在底面A8C内的射影为点连接CH,则Ch=2x×居-2 23 ’SH=V5c-Cm=2Sac=5 ×(25)2=35, 4 则4c-eS1=25. 正三棱锥 4Bc的国积为3ac=号252-25） =35, S-ABC 设正三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,外接球的半径为R,则O在直线SH上， 由2-RP+22=R2,得R=2设正三棱锥S-ABC内切球的半径为R',则 3×235-1 R'= 3VS-ABC SAABC+3SASBC 3(3+V15)2 2W3-6 对于A:圆柱00的体积为xN2}×2W2=4N2元'4N2元4元，A错误： 35316_31 对于B:圆柱QQ,的侧面积为2元x2×22=8x,8元<8元2元乞，B正确： 对于C:圆柱00，外接球的半径R=V(W2)2+(W2)2=2=R,C正确： V5-1 对于D:圆柱内切球的半 R 2 5-1,5-1D错误 0,02 R,=2’R,=2=22>3 故选：BC, 12.答案：2 解析：设b=(x,y),a-26=(1-2x,V3-2y). :a1(a-2b),.a.(a-2b=1-2x+V3(W3-2y)=0,即x+V3y=2. a.b=x+√3y=2. W3 13.答案：3 解析：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. bsinC+csinB 4asinBsinC, 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4 sinAsinBsinC, 由于0<B<元，0<C<元， 所以sinBsinC≠0， 所以sin1=2则A-或西 1 6或6 由于6+c2-a2=8>0故1为锐角所以4= 61 由cosA=+c2-a2 2be 22c解得bc=8 ,得38 3, 所以Sac=号bcsin=2 3 14.答案： 6 解析：在△ABD中，由余弦定理可得BD=AB+AD-2AB·ADcos A =1+4-2x1x2×1=3」 2 所以BD=V3, 52+12=22, .△ABD是直角三角形，AB⊥BD, sin∠DBC=sinB- 2 =-cosB=3 6, 2 √33 sin B 6 6 如下图，设点D到BC的距离为d,d=V5sin∠DBC=V5.5_! 62,要想构成平面凸 四边形ABCD, 必有CD≥ 2, C 当CD =2,满足条件的平面凸四边形4BCD恰好只有1个， 如下图，当)CD<5,满足条件的平面马四边形CD有1只有2个，舍去， d C C2 如下图，延长AD交BC于F,由图可知DC<DF, D sin(A+∠ABF)=sin Acos∠ABF+sin∠ABF cos A, =5x5331 -X- -X- 2662 331 124 sinF=sin(r-A-∠ABr)=sin(A+∠ABn)=v3E_1 124 AF 1 由正弦定理得：sin∠ABF sin∠F AF=- 1V3311+V33 计算得“√33164， 124 DF-1+3-2-3+3 4 4 DC<DF=3+33 4’ 5sDC<3+33 4 象上5达：心的取意司哭卧[34国 15.答案( 倍+kez @(别 a(88 解析1)当0=时，f(=m2+别 令2+名红keZ得=晋+eZ 6 做爵数y=了句的对称中心为音+红0小keZ: (2)因为f(x)为偶函数，所以p= +低ke乙， 因为0<0<π所以@=号则f()=sm2x+引-o2x, 则w-/r+8=o2r-of2x+）-es2r-3ms2x+ -sin 2x 2 sin2x+cos2x-sin 者引2x+[]则m2x+}[ 因为不等式-小+引-<2在x引上恒成之 甜2me引2*m-f+引- 得-1<m<故文数m的取值范国为 (3)因为f过点剖，所以()sm仔+p1, 因为0<p<x所以写+骨<誓则9+得 +<4 即-sm2x+8 因为4e引斯以2西后e[后得则)[剖 因为对仟点的5[D小[0，部有g6)f化)<3 所以8(G)<[3+(】=3-， -22, 则对任意的x∈[0，n],都有2sin2x+3 acosx-4< 2, 则4c0s2x-6ac0sx+9>0, 令t=cosx∈[-l,,则42-6at+9>0对任意的t∈[-l,恒成立， 若t=0,则9>0恒成立； 若0<t51则6a<4+9 , 9 因为少=4+在(0，]上单调递减， 所以y=4+9=13则6<13即0 6, 若-151<0则6a>4+9 , 9 因为y=4+在[-1,0)上单调递减， 所以=4-9-13则6a3-13即a> 6, 1313 综上，实数a的取值范围是-6,6 16.答案：(1)0A-0B=(3,-2),20A+0B=(6,2) 2[别 9 解析：(1)由0A=(3,0),0B=(0,2),0C=(3,2)可得 0A-0B=3E-2e2=(3,-2);20A+0B=6+22=(6,2); 1 (2)若9-骨则6=2 设A0=元AB=元(0B-0A=2g,-3E,(0≤1<1)， 00=0A+A0=3C+2g,-3g=(3-3)g+22E, QC=0C-00=3e+(2-2)e2, QB=0B-00=(31-3)+(2-22)E, 0c丽-[3据+2-2a)a][06a-3g+2-2)]-7a2-82+1=7&--9 05As1c丽[ (3)由OA-10821对1∈R恒成立，即(O1-0B)≥1恒成立： :(OA-10B=(3E-2e,)}=9e2-12eξ，+4te=412-12cosa+9, 4t2-12 tcosa+921对t∈R恒成立， 即4t2-12 tcosa+820对t∈R恒成立， △=(12cosa)2-128≤0， 即cos2a≤S 8.2√2 scosas2 2W2 9 3 3,所以cosa的最大值为 17.答案：(1)见解析 (2) 5 10 解析：(1)如图取AC中点O,连接OB,OD,因为四边形ACCA为等腰梯形，且D为 AC中点，所以AC⊥OD. D B .B 又△ABC为正三角形，所以AC⊥OB OB,ODC平面BOD,OB∩OD=O,所以AC⊥平面BOD 又BDC平面BOD,所以AC⊥BD (2)设AC中点为E,连接OE,则OE⊥AC, 又侧面ACCA1底面ABC,侧面ACCA∩底面ABC=AC,OEc侧面ACCA, 所以OE⊥底面ABC. 又AC,OBC底面ABC,所以OE⊥AC,OE⊥OB. 又OB⊥AC,所以OA,OB,OE两两垂直， 故可以O为原点，OA,OB,OE所在的直线分别为x,八，2轴建立如图空间直角坐标系. 因为三棱台ABC-ABC两底面间的距离为5，即OE=V5, 又三角形ABC为正三角形，且AC=2AC,=4, 则B(0,25,0),C(-20,0),C(1,03),设D(a,05)-1≤a≤)， 则BD=(a,-25,5),CB=(2,25,0,cC=(1,0,5) 元1CB[元.CB=2x+23y=0 设平面CCB的法向量为n=k,)测a1CG{a-CC=x+5z=0 可取i=(5,-1,-, 设直线BD与平面BCCB所成的角为O, 历Bd N3a+23-V3 则sin0=cos(元，BD) 3xa+1 BD5xVa2+12+3V5×va2+15 丰品晋-err5sv0 所以3a+1a-)=0,放a-1或a=号（因为-1≤a≤1故舍去）此时D,0V)与 A点重合， v15 所以当D与4点重合时，直线BD与平面BCC,B所成角的正弦值为10， 18。答案：证明当6与a+b(2eR)垂直时，b-a+b)=0,所以1=- b2. a+ab=va'b2+2Aa.b+a 当=-a时a+2取得 b2 最小值，所以b与a+b(元∈R)垂直时，la+的值最小。 解析： 19.答案山8-号 (2)2. 解析：()由正弦定理得(b+c)b-c)=(a-c)a, 即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理可得cosB=a+C2-bac1 2ac 2ac2 因为B∈(O,), 所似8等 ②由已知5c-osn8=3 1 ,所以ac=3 因为而=2C,所以-号C, 可得0-A+而-+号0-+号+C-+C, 所以(BD=(Ba°+（8c+2(BA.Bc) 4 2 1d2+408 -accosA-2t号h 9 9 9 9 3 ,2 ≥2 3 02 当且仅当a=6 ’c=V6时取等号， 所以BD的最小值为V2. 绝密★启用前 2025-2026学年徽县第一中学高一下学期 期中考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知i为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数a等于(      ) A. B.2 C. D.6 2．已知,,若,则实数(      ) A. B. C.1 D.2 3．已知复数,则(      ) A.2 B. C.0 D. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为(      ) A.3 B.2 C. D. 5．如图所示,梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图,,则平面图形中对角线的长度为(      ) A. B. C. D.5 6．在中,D是上一点,满足是的中点,若,则(      ) A. B.1 C. D. 7．已知向量，满足，，，则(      ) A.2 B. C.4 D. 8．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为，则这n个向量(      ) A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于复数（i为虚数单位）,下列说法正确的有(      ) A. B.复数对应的点在第二象限 C. D.复数z是方程的一个根 10．已知为两个互相垂直的单位向量,则下列说法正确的是(      ) A. B. C.若,则 D.若,则的最小值为 11．已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则(      ) A.正三棱锥与圆柱的体积的比值为 B.正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于 C.正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D.正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，则____________ 13．的内角的对边分别为.已知,则的面积为__________. 14．平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知函数,（）. （1）当时,求函数的对称中心; （2）若为偶函数,不等式在上恒成立,求实数m的取值范围; （3）若过点,设,若对任意的,,都有,求实数a的取值范围. 16．（16分）如图,是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系为仿射坐标系,若在仿射坐标系下,则把有序数对叫做向量的仿射坐标,记为.已知在仿射坐标系下,,. （1）求向量,的仿射坐标; （2）若点Q是线段上的动点（含端点）,当时,求的取值范围; （3）设,若对恒成立,求的最大值. 17．（17分）如图,三棱台中,侧面四边形为等腰梯形,底面三角形为正三角形,且,设为棱上的点. （1）若为棱的中点,求证; （2）若三棱台两底面间的距离为,且侧面底面,试探究是否存在点,使直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由. 18．（14分）若是两个非零向量,求证:当时, 最小. 19．（18分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若的面积为，且，求的最小值. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $