精品解析：山东烟台市莱州市2025-2026学年下学期适应性检测 九年级数学

2026年春适应性检测九年级数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是， 的相反数是2． 2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项符合题意； C. 既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，负指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】A．合并同类项，，故选项A错误； B．，故选项B错误； C．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故选项C错误； D．，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，负指数幂运算，同底数幂相乘：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘，解决本题的关键是熟练掌握这些运算法则． 4. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看是： 5. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 6. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可． 【详解】 由图①知，， ， 故图①能说明； 由图②知射线是的平分线，不能说明； 由图③知，不能说明； 由图④知是的垂直平分线， ． 中， ， 即． 故图④能说明． 故选：B 【点睛】本题主要考查了尺规作图法，和三角形三边之间的关系．初中阶段常考的尺规作图有：做一条线段等于已知线段，做一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，做一条线段的垂直平分线．熟练掌握以上尺规作图的方法，并且懂得其中的原理是解题的关键． 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 8. 如图，在四边形中，和相交于点，，，、、分别是、、的中点，连接、、，，，，则的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】由得到，再证明得到，由此即可证明四边形为平行四边形，由为平行四边形得到，结合已知条件得到，进而得到与均为等腰三角形，结合为中点得到，为斜边上的中线求出；过点作于，求出，再证明四边形为平行四边形得到，最后将、、相加即可求解． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， 四边形为平行四边形． 点、分别为和的中点， 是的中位线， ； 四边形为平行四边形， ，， 又， ， 与均为等腰三角形， 又为的中点，连接， ， ， 又为的中点， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知： ； 过点作于，连接，如图所示： 由等腰三角形的三线合一可知：， ， 在中，由勾股定理可知， 为中点，为中点， 为的中位线， ，即， 且， 四边形为平行四边形， ， ． 9. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 10. 如图，二次函数的图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，3，与轴交于点，下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图像上点的特征、勾股定理及其逆定理分析解答即可． 【详解】解：其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为和3，则函数的对称轴为直线， ∵开口向上，与轴交点在原点下方， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； 由图象知，当时，，故③正确； 当时，， ∵， ∴，，故④正确； 依题意，函数的表达式为：， 则点A、B、D的坐标分别为：， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形，故⑤正确． 二、填空题（本题共6个小题） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0得到关于x的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则满足：， 解得：且． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可． 【详解】原式 . 故答案为． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 13. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出和 ，并利用 α 满足方程进行化简． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，方程的解，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ α, β 是方程 的两根， ∴． ∴ ，即 ． ∴ ． 故答案为：0． 14. 如图，在正五边形中，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，若．则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图连接，则由题意可知为等边三角形，再根据五边形为正五边形，则可计算出，进而可计算出，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图连接， 则为等边三角形， ∴， ∵五边形为正五边形， ∴其内角和为：， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，弧长公式，多边形的内角和，能够根据多边形的内角和计算正多边形的内角度数是解决本题的关键． 15. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，角平分线的性质，正方形的判定和性质等，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点，由角平分线的性质可得，即可得四边形是正方形，由勾股定理得，由对称可得，，设，则，，可得，，即得，可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点， ，，， ∴四边形是矩形， 平分，，， ， 又平分，，， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点，， ∴，， ∴在中，， 由对称可得，，， 设，则，， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为： 16. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解；分式的分子分母能因式分解的进行因式分解，同时将除法变成乘法，约分后得到最简结果；然后解不等式组求出不等式组的整式解，得到m的值，再代入计算即可． 【详解】解： ； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为或或0或1， ∵，， ∴， 当时，原式． 18. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人： （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）40；36； 补全条形图如下： （2）70；70；66.5 （3）280 （4） 【解析】 【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得； （2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可； （3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得； （4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 本次抽取的学生人数是（人）， 扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是， 故答案为40人、36°； B等级人数为（人）， 【小问2详解】 由条形统计图可知众数为：70 由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70 平均数为： 【小问3详解】 等级达到优秀的人数大约有（人）； 【小问4详解】 画树状图为： ∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况， ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比． 19. 四边形为菱形，为对角线，在对角线上任取一点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，点的对应点为点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于（和除外）． 【答案】（1）证明：四边形为菱形， ， 把线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， 在与中， ， ， ． （2）；；；； 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论． （2）证明，结合全等三角形的性质，可得结论． 【详解】解：（1） 略 （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20. 南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． （1）求电线杆的高度； （2）已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）8 （2） 解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 【解析】 【分析】（1）在中，根据正切的定义求解即可； （2）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，然后比较即可． 【小问1详解】 解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； 【小问2详解】 略 21. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元． （1）求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． （2）为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元． （2）当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元． 【解析】 【分析】（1）因为已知两种售卖组合的营收，所以可设甲、乙两种汴绣的售价分别为未知数，根据给出的两个营收条件列二元一次方程组，再用消元法或代入法求解方程组． （2）首先设购进甲种汴绣的数量为未知数，根据总数量表示出乙种的数量；因为乙的数量不超过甲的​，所以可据此列出不等式，确定未知数的取值范围；然后根据进价和售价，列出利润关于该未知数的一次函数表达式；最后根据一次函数的增减性，结合未知数的取值范围求出最大利润及对应的进货方案． 【小问1详解】 设甲种汴绣工艺品每件的售价为x元，乙种汴绣工艺品每件的售价为y元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元． 【小问2详解】 设购进甲种汴绣工艺品m件，全部售出后的总利润为w元． 根据题意，得． ∵， ∴m≥48． 又∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝48时，w取得最大值，最大值为，此时购进乙种汴绣工艺品（件）． 答：当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元． 22. 如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线； （2）连接．解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算． 24. 如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在．理由：∵直线与x，y轴分别相交于点D，E， ∴当时，，解得， ∴点D的坐标为． ∵解，得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的表达式为解方程组得， ∴点F的坐标为． 连接，过点P作轴，垂足为M， 由题知轴，，，， 设点P的坐标为， 当时，，解得，（舍）， 点P的坐标为． 【解析】 【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点为，从而可得，求出、的值即可得解； （2）求出直线的表达式为解方程组得，从而可得点F的坐标为．连接，过点P作轴，垂足为M，由题知轴，求出 ，设点P的坐标为，则当时，，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题知，抛物线的顶点为， ∴ ∴，， 解得：，， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春适应性检测九年级数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 6. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，和相交于点，，，、、分别是、、的中点，连接、、，，，，则的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 9. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 10. 如图，二次函数的图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，3，与轴交于点，下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共6个小题） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 分解因式：_____． 13. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 14. 如图，在正五边形中，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，若．则弧的长为______． 15. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 16. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 18. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人： （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 19. 四边形为菱形，为对角线，在对角线上任取一点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，点的对应点为点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于（和除外）． 20. 南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． （1）求电线杆的高度； （2）已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 21. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元． （1）求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． （2）为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 22. 如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 24. 如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $