圆锥曲线与数列知识点交叉综合训练——2026届高考数学三轮冲刺

圆锥曲线与数列知识点交叉综合训练 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 点列构造 + 坐标递推 + 数列性质 + 定值 、 定点 、 面积 、 不等式证明.用直线与曲线联立得到点坐标递推关系，把坐标关系转化为数列的通项、等差、等比、求和. 2.解题步骤 （1）设点与直线：设 (,)，写直线方程. （2）联立曲线：用韦达定理，不求坐标求关系. （3）对称得下一点： 坐标直接写出. （4）转数列：得到 与 递推式. （5）证等差 / 等比 / 求通项. （6）算面积 / 定点 / 不等式. 3.高频考法 （1）点列经 3 次操作停止 → 常回到顶点 / 关于原点对称. （2）k=−b/a 这类固定斜率 → 面积必为定值. （3）相似三角形面积比 = 相似比平方 → 等比数列求和. （4）递推关系 = + → 平方后化简得倒数关系. 考点1 点列对称构造 1.（江西省2026届高中毕业班二月诊断性考试）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 2.(河南濮阳市2026年高中三年级第二次模拟考试)已知椭圆的离心率为，且经过点，定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去． (1)求的方程； (2)若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求的面积 3.（四川省成都市第七中学2025-2026学年高三下学期4月阶段性测试）已知平面直角坐标系中，为：上的动点，.线段的中垂线与直线的交点为R，记点R的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)设，点为E上一点，构造点列：对，点关于x轴的对称点为点，过作斜率为k的直线，与E的另一交点为（若只有一个交点，记为）. ①试判断以和为邻边的平行四边形顶点是否恒在直线上?若是，求出的方程（用表示）；若不是，请说明理由. ②求证：当，且时，数列满足：对，. 4.（上海市复旦大学附属中学2026届高考限时模拟数学试卷）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5.（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意的正整数，. 考点2 斜率的数列构造 1.（广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二））椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 2.（2025辽宁省名校联盟模拟）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，直线与交于两点，且. (1)求的方程； (2)已知是轴的正半轴上点列，是第一象限曲线上点列），且和重合，与轴垂直，直线的斜率为，记点的横坐标为，设的面积为. （i）写出之间的递推公式； （ii）求证：. 考点3 三角形、多边形面积数列构造 1.（2025江西省十校协作体二模）已知曲线，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)如图1，过曲线外一点（不在轴上）作的两条切线，切点为，过曲线上一点的切线交于点，且 ，把这样的叫做“外切三角形”. ①连接交于点，求证：三点的纵坐标成等差数列； ②如图2，从点出发作出的第一个外切三角形是再过点分别作出2个外切三角形，即和；继续过点分别作出4个外切三角形以此类推，依次作出，个外切三角形.设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并证明. 2.（浙江温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试）已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． (1)求曲线E的方程； (2)已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值 3.（四川遂宁市高中2026届高三二诊考试数学试题）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 4.如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为， (1)求的值； (2)记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； (3)是否存在正实数，使得不等式对一切正整数 5.（河北省衡水市武邑中学等2026届高三4月联考模拟预测）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线与数列知识点交叉综合训练 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 点列构造 + 坐标递推 + 数列性质 + 定值 、 定点 、 面积 、 不等式证明.用直线与曲线联立得到点坐标递推关系，把坐标关系转化为数列的通项、等差、等比、求和. 2.解题步骤 （1）设点与直线：设 (,)，写直线方程. （2）联立曲线：用韦达定理，不求坐标求关系. （3）对称得下一点： 坐标直接写出. （4）转数列：得到 与 递推式. （5）证等差 / 等比 / 求通项. （6）算面积 / 定点 / 不等式. 3.高频考法 （1）点列经 3 次操作停止 → 常回到顶点 / 关于原点对称. （2）k=−b/a 这类固定斜率 → 面积必为定值. （3）相似三角形面积比 = 相似比平方 → 等比数列求和. （4）递推关系 = + → 平方后化简得倒数关系. 考点1 点列对称构造 1.（江西省2026届高中毕业班二月诊断性考试）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）8 【解析】（1）由题意知，则， 所以的准线方程为. （2）由（1）知的方程为， （i）， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）将代入得， 则， 法一： 直线的方程为， 点到直线的距离， ， 的面积. 法二： . 2.(河南濮阳市2026年高中三年级第二次模拟考试)已知椭圆的离心率为，且经过点，定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去． (1)求的方程； (2)若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求的面积 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意得， 又椭圆过，故，解得， 所以. （2）由（1）知，经过3次操作后停止，即有与 关于原点对称，，所以与关于原点对称， 因为与关于轴对称，与关于轴对称， 所以与关于原点对称．设， 则， 即有，解得，所以，故有． （3）由（1）知，，设，则直线的方程为 ，消得 因为，所以． 因为是上述方程的一个根，所以 则有，即， 设直线的方程为 ，消得 因为，所以． 因为是上述方程的一个根， 所以 则有，即， 所以与关于原点对称． 故直线的方程为， 点到直线的距离 又因为，所以 所以． 3.（四川省成都市第七中学2025-2026学年高三下学期4月阶段性测试）已知平面直角坐标系中，为：上的动点，.线段的中垂线与直线的交点为R，记点R的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)设，点为E上一点，构造点列：对，点关于x轴的对称点为点，过作斜率为k的直线，与E的另一交点为（若只有一个交点，记为）. ①试判断以和为邻边的平行四边形顶点是否恒在直线上?若是，求出的方程（用表示）；若不是，请说明理由. ②求证：当，且时，数列满足：对，. 【答案】(1)； (2)①是，；②证明见解析. 【解析】（1）点在上，连接，由R在线段的中垂线上，得， 则，因此动点R的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为4的椭圆， 即长半轴长，半焦距，则知半轴长， 所以曲线E的方程为. （2）①依题意，，，，， 设直线，即的方程为，由消去， 得，则， 即，， 因此，而， 则，在中，， 即，直线斜率恒为， 所以点恒在直线：上. ②由①知，，当时，， 当时，，则， 由在椭圆上，令，对，， ，，， 由，得，则，， 则，对，， 因此，， 由，得， 所以. 4.（上海市复旦大学附属中学2026届高考限时模拟数学试卷）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2) (3)存在，，理由见解析 【解析】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； （3）存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 5.（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意的正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 考点2 斜率的数列构造 1.（广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二））椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，公比为9 (3)证明见解析 【解析】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 2.（2025辽宁省名校联盟模拟）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，直线与交于两点，且. (1)求的方程； (2)已知是轴的正半轴上点列，是第一象限曲线上点列），且和重合，与轴垂直，直线的斜率为，记点的横坐标为，设的面积为. （i）写出之间的递推公式； （ii）求证：. 【答案】(1) (2) （ii）证明见解析 【解析】（1）如下图： 易知，不妨设，则，① 又， 由，得，即， 所以，即，② 将②代入①得，即，又， 所以，由题意知，所以，故的方程为. （2）（i）设，则，又在第一象限，所以. 又直线的斜率，即所以， 即所求递推公式为. （ii）证明：由，两边平方得，即，两边平方得，所以，所以， 又，所以，故，所以当时，， 即，所以， 所以.又，所以， 由题意知， 由得，故 考点3 三角形、多边形面积数列构造 1.（2025江西省十校协作体二模）已知曲线，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)如图1，过曲线外一点（不在轴上）作的两条切线，切点为，过曲线上一点的切线交于点，且 ，把这样的叫做“外切三角形”. ①连接交于点，求证：三点的纵坐标成等差数列； ②如图2，从点出发作出的第一个外切三角形是再过点分别作出2个外切三角形，即和；继续过点分别作出4个外切三角形以此类推，依次作出，个外切三角形.设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并证明. 【答案】(1) (2)①证明见解析 ②，证明见解析 【解析】（1）由题可得，则，故点处的切线方程为,即. （2）①, 则由（1）可知直线为，直线为， 由在上，同时在，可知直线的方程为，， 又由（1）可知直线的斜率为，又 ， ，即，则直线为点横坐标为， 又在上，， 即三点的纵坐标成等差数列. ②由①可知三点的纵坐标成等差数列，则， 又 ，则，可得，且相似比为， 故， 同理可得 如图连接，因，又 ， 则与在底边与底边对应的高相同， 又，则，则， 则， 即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的， 同理每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的 可得 2.（浙江温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试）已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． (1)求曲线E的方程； (2)已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线的斜率为 （ⅱ）9 【解析】（1）设过点的切线为． 联立． 因为是切线，则， 化简得，则， 又取最大值时，为切线，且． . （2）（i）由（1）知椭圆为． 设. 则. 又. 因,则得, 故，即直线的斜率为． (ii)设， . 则． 题目条件为各面积相等，． 当时，设． 记． 则， 设，则， . 又， . 当时，若存在，由得． 又，其余各，这与矛盾． ． 记．则 . 故. 又， . 由柯西不等式，． 又． 又． 取，则满足面积相等， 且． 又对一切满足条件的，都有． 3.（四川遂宁市高中2026届高三二诊考试数学试题）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【解析】（1）由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. （2）（i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧.    4.如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为， (1)求的值； (2)记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； (3)是否存在正实数，使得不等式对一切正整数 【答案】(1)，. (2)是 (3)存在， 【解析】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得， 而点在曲线上，即，解得， 为正三角形，且， 点在曲线上，， 整理得，解得，所以，. （2）是正三角形，点，， 于是点在曲线上， 则，即， 当时，，两式相减得：， 整理得， 则，而满足上式，因此， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 所以是递减数列，所以， 所以使得不等式一切正整数都成立， 则，即，所以， 因为正实数，所以取值范围为. 5.（河北省衡水市武邑中学等2026届高三4月联考模拟预测）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）双曲线中，​，渐近线方程为， 联立渐近线与抛物线， 将代入抛物线得对应交点为， 则​，解得， 故抛物线的方程为. （2）（i）设直线，联立得，则， 弦长，故， 中点到轴距离为，代入得 ， 令，则，根据对勾函数图象和性质可知函数在上函数单调递增， 最小值为，故到轴距离的最小值为. （ii）因为， 所以. 当时，， 所以 ，即； 当时，， 即成立. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $