圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、中点弦问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、中点弦问题专项训练 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、中点弦问题专项训练 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 中点弦问题 考点一 轨迹方程问题 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，进而得到点，求出直线，的方程，再化简即可． 【详解】解：设，则，且，，不失一般性， 圆与轴交于点，，则，， 直线，的方程分别为，， 相乘得，所以， 即点的坐标满足. 例2．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 例3．（2026·广东中山·模拟预测）设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【详解】如图： 不妨设在平面内投影为，则， 设直线与平面的距离为， 则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设 则到的距离为，到的距离为， 所以到直线的距离为， 所以，即，故轨迹为双曲线． 例4．（2026·新疆·模拟预测）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【分析】分别设，建立相关点之间的关系，代入求解. 【详解】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·四川成都·期末）已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为，若，则动点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，切线方程为，此直线和抛物线联立方程组，得到的一元二次方程，由切线是抛物线的切线，得到，得到，此方程的两个根为和，利用韦达定理得到和，将整理，从而通过计算得到动点的轨迹方程. 【详解】设，切线方程为， 与联立得， 由，整理得，则方程的两个根为和， 则，，由，即， 得，即，所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 例6．（25-26高二上·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 【答案】 【分析】设动点的坐标，根据题目条件列出等式即可求出点坐标，再根据等量关系即可求解轨迹方程. 【详解】设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 变式1．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：使用两点间距离公式结合条件可得的轨迹为圆，进而可得轨迹所围成的面积；法二：由题意得的轨迹为存在一条直径位于轴上的圆，由此求出圆的端点，进而可得半径与面积. 【详解】法一：因为，，设，由得， 平方并整理得，化简并整理得， 故点的轨迹是圆，其半径为，故其面积为. 法二：因为，，，所以的轨迹为一条直径位于轴上的圆， 设此直径的端点坐标为，则或 所以或，所以的轨迹所围成的面积为. 变式2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【详解】 圆的标准方程为，则圆心，半径， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段上，且是圆的半径， ， 定点间的距离为， ，满足椭圆的定义， N点的轨迹为椭圆． 变式3．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果. 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入得，， 因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得；令，得， 则，，则，所以，， 代入得，即， 变式4．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】设，可得坐标，根据题意，列出等式，化简计算，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为， 所以，即， 则，即，且， 整理得，即. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·福建厦门·月考）双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】设，利用点差法即可求解. 【详解】设， 由，则， 两式相减得， 故， 即，即． 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 考点二 离心率问题 例1．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】计算，再计算的面积和周长得出即可求出. 【详解】令，其中，则，得， 因为，所以， 则由双曲线的定义可知，， 则的面积为， 周长为， 则，则， 则的离心率为. 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为是上的两点．若四边形是面积为的平行四边形，且点在轴上的投影为的一个顶点，设的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点坐标，再计算平行四边形面积整理得到离心率的关系式求解即可. 【详解】如图 由题可知左右焦点，满足，离心率， 渐近线方程为. 因为在轴上的投影是双曲线的顶点，所以的横坐标为， 代入渐近线方程得，即. 四边形是平行四边形，对角线交于原点（中点为原点）， 可得平行四边形面积（底，高为点纵坐标绝对值），因此， 两边平方得，代入得， 两边同除以，令， 得，取正根， 即. 例3．（25-26高三下·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，， 又，则， 则，则， 在中，，故， ，则， 综上，双曲线的离心率的取值范围为. 例4．（2026·湖南永州·三模）已知椭圆，，为的左、右焦点，过的直线交于，两点，的面积为，的内切圆与相切于点，若，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用三角形面积可求得为椭圆短轴端点，再利用切线线相等的性质可求得，再结合椭圆的定义可求得，最后利用椭圆的第二定义推导的焦半径公式来表达相等关系，即可求得离心率. 【详解】由的面积， 代入椭圆方程得，即为椭圆短轴端点， 不妨取， 由椭圆的定义可得 ​的周长为， 根据内切圆切线长性质：， 由椭圆的定义得：，，， 则， 由得，即， 直线过)和，方程为， 联立椭圆方程，代入可得：， 解得点横坐标， 由椭圆右焦半径公式， 再代入可得：， 所以解得. 例5．（2026·云南昆明·二模）已知正六边形，双曲线以为焦点，且，四点在上，则的离心率为__________. 【答案】 【详解】设正六边形的边长为1，中心为，以所在直线为轴，以为原点，建立直角坐标系，则， 在中，由余弦定理得， ，， ， . 例6．（2026·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】由，得，结合基本不等式和椭圆的性质有，可求离心率的取值范围. 【详解】由，得， 由椭圆的定义得，又，所以， 设，则有，， 点在椭圆上，有，所以， 则时，有最大值， 时，有最小值， 所以有， 由，有，所以， 由，有， 可得，解得（舍去）或， 因为，综上可知的离心率的取值范围为． 变式1．（25-26高三下·甘肃武威·期中）已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的一条渐近线的斜率为，所以， 所以的离心率. 变式2．（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆定义和切线长定理求各边长，再根据勾股定理求解即可. 【详解】根据椭圆定义得​的周长为. 根据三角形内切圆切线长性质，得， ，（为内切圆与的切点）. 设，由得，周长满足 ， 代入，得. 因此，进一步得各边长， ，，， . 观察三边：， 故​是直角三角形，，即， 对​用勾股定理，代入， 化简得​，故离心率. 变式3．（25-26高三下·江西·月考）已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，，故最小等价于最大， 由双曲线定义，在上， 设双曲线方程为，将代入得： ， 由得，故. 变式4．（2026·吉林白山·模拟预测）已知双曲线C：（a，），以其左右焦点为直径的圆与其渐近线交第一象限于点A，若直线的斜率为，则双曲线C的离心率为____________. 【答案】 【分析】结合题干写出圆的方程，利用渐近线方程和圆的方程联立求解的坐标，进而利用斜率公式建立方程求解、、的关系，再利用离心率公式求解离心率. 【详解】过且以为直径的圆方程为，双曲线的渐近线方程为， 将代入， 得， 因A在第一象限，故，得，即； 直线的斜率，即， 两边平方代入，可得， 则，由， 消去得， 所以. 变式5．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线C：（，）上任意一点P到其两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为_________. 【答案】或 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式求点到两渐近线的距离的积，由条件可得，化简方程可求，再结合离心率定义求结论. 【详解】设，因为点在双曲线上，所以. 由已知双曲线的渐近线的方程为， 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 所以，即， 即，解得或， 故双曲线的离心率或. 变式6．（25-26高三下·安徽淮南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的左、右两支分别交于两点，若四边形为矩形，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】方法一：由平面几何知识证明，，结合双曲线定义可得，由此可求离心率， 方法二：联立方程组求的坐标，根据关系列方程，化简可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】方法一：因为直线的方程为， 所以直线的斜率为，倾斜角为， 所以， 因为四边形为矩形， 所以， 所以， 所以，即，又，， 所以，， 由双曲线定义可得， 所以的离心率. 方法二：显然直线与交于原点O， 由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则， 设点，而 由得，解得， 则， 则，化简得，即，， 解得， 则. 考点三 中点弦问题 例1．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据点差法求得，再结合即可求得的轨迹方程为，并检验直线的斜率不存在时点满足，再根据方程即可求得，最后根据距离公式求解得. 【详解】设， 因为为的中点，所以，， 因为，，两式作差得， 所以，当直线的斜率存在时，， 因为四点共线， 所以，即（），整理得（）， 当直线的斜率不存在时，点的坐标为，满足方程， 所以，点的轨迹方程为，即 所以， 所以， 由方程得，即，解得， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 例2．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】设点、，可得，，利用点差法可求得直线的斜率，根据可得出的值. 【详解】设点、，易知直线的斜率存在，且，， 若直线轴，则线段的垂直平分线为轴，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零， 则，作差得， 故直线的斜率为， 因为，且，所以，解得. 例3．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案． 【详解】设，，为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， ∴， 同理可得，， 而， 即，解得，则的最大值为1. 例4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为的中点．若直线为线段的垂直平分线，则______． 【答案】或 【分析】首先确定，，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示点的坐标，根据垂直关系，列式求解. 【详解】因为双曲线的离心率，所以，， 设过点，倾斜角为的直线为，由题意知显然不为0， 设，， 联立，得， 由条件可知，，解得：， ，则， 又，所以， 解得：，所以或 例5．（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 例6．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 【答案】 【分析】利用点差法即可求得答案. 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设弦的端点坐标，利用椭圆方程作差结合中点坐标，运用点差法求出中点弦的斜率. 【详解】设以为中点的弦的两个端点为， 则，代入椭圆方程中得 ，两式相减得，， 因式分解， 将代入(1)， 因为弦的斜率， 所以整理(1)可得， 故选： 变式2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 变式3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 变式4．（25-26高三上·云南·月考）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为__________． 【答案】 【分析】设，，坐标，根据直线的斜率为，求得，将，代入双曲线方程得出，，利用点差法求直线斜率. 【详解】设，，，因为，是上的两点， 是的中点，为坐标原点，且直线的斜率为， 所以①，②，③，，， 所以②-③得，即， 整理得，即， 所以. 故答案为： 变式5．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为_________. 【答案】 【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果. 【详解】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·河南·月考）已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则________. 【答案】1 【分析】设，代入抛物线方程中，利用点差法得出的表达式，结合中点公式以及直线两点的斜率公式计算即可. 【详解】设， 因为两点在抛物线上， 所以，① ，② ②①得：， 即， 由题意知， 又的中点坐标为，所以， 所以， 此时，抛物线方程为，直线与抛物线的交点为， 点在抛物线内，直线和抛物线相交. 故答案为：1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、中点弦问题专项训练 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、中点弦问题专项训练 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 中点弦问题 考点一 轨迹方程问题 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东中山·模拟预测）设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 例4．（2026·新疆·模拟预测）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 例5．（25-26高三上·四川成都·期末）已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为，若，则动点的轨迹方程为__________． 例6．（25-26高二上·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 变式1．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 变式3．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为__________. 变式5．（25-26高三上·福建厦门·月考）双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是______． 变式6．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为______. 考点二 离心率问题 例1．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为是上的两点．若四边形是面积为的平行四边形，且点在轴上的投影为的一个顶点，设的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三下·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·湖南永州·三模）已知椭圆，，为的左、右焦点，过的直线交于，两点，的面积为，的内切圆与相切于点，若，则的离心率为__________． 例5．（2026·云南昆明·二模）已知正六边形，双曲线以为焦点，且，四点在上，则的离心率为__________. 例6．（2026·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 变式1．（25-26高三下·甘肃武威·期中）已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·江西·月考）已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·吉林白山·模拟预测）已知双曲线C：（a，），以其左右焦点为直径的圆与其渐近线交第一象限于点A，若直线的斜率为，则双曲线C的离心率为____________. 变式5．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线C：（，）上任意一点P到其两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为_________. 变式6．（25-26高三下·安徽淮南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的左、右两支分别交于两点，若四边形为矩形，则的离心率为__________． 考点三 中点弦问题 例1．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 例3．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为的中点．若直线为线段的垂直平分线，则______． 例5．（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 例6．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 变式1．（25-26高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 变式4．（25-26高三上·云南·月考）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为__________． 变式5．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为_________. 变式6．（25-26高三上·河南·月考）已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $