数列、导数、解三角形、圆锥曲线-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦高三数学核心模块，精选武汉、南京模拟题，以分层难度题组构建知识应用逻辑链，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|7题|等比证明、通项求法、求和及不等式证明|从递推关系到通项公式，再到求和与放缩，形成完整推理链条| |导数|5题|极值求解、单调性讨论、零点问题|以导数工具为核心，连接函数性质分析与参数范围探究| |解三角形|5题|边角互化、面积计算、角平分线应用|基于正余弦定理，构建三角形元素间的定量关系模型| |圆锥曲线|4题|椭圆方程、轨迹方程、面积最值|从几何条件到代数表达，体现解析几何的模型构建思想|

高三数学三轮冲刺数列、导数、解三角形、圆锥曲线（武汉、南京试题） 保温争分专项训练 一、数列 1．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【难度】0.72 【详解】（1）， 所以，又，所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以，可得. （2）由（1）得为等比数列，设数列的前项和为，，所以，构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 2．（2026·江苏·模拟预测）已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. (1)当时，记集合，求中元素之和； (2)求的最小值. 【难度】0.66 【详解】（1）当时，由，得，所以，解得， 所以，则，由，得，因为，所以，所以中元素之和为； （2）由，得，所以，所以， 令，则，所以，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为8. 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【难度】0.65 【详解】（1）因为，所以，即，所以，由题意知，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，故， 即，又因为时，，满足该式，所以. （2）因为，所以 ，因为，所以，所以. 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 【难度】0.57 【详解】（1）解：设首项为，公差为根据题意可得方程组，所以解得． 所以 （2）（i）解：因为，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列．所以 ， 设， 所以，两式相减得： 所以． （ii）由题得．所以 化简得．因为，，所以． 5．（2026·湖北随州·三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)已知，求. 【难度】0.64 【详解】（1）当时， 当时，，且，两式作差得，所以显然符合上式，∴ （2）根据（1）中的结果得，，，则 . 6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【难度】0.65 【详解】（1）因为，即：．①当时，， 又，所以．当时，，②由①－②整理得：． 整理得，由累乘法得：，代入比值：， 当时，，符合上式，所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ，所以，为偶数， 由恒成立，得，是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数，， 所以，为奇数，由恒成立，得，又在上单调递增，所以当时，有最小值1，所以．综上，实数的取值范围是 7．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【难度】0.65 【详解】（1）当时，，即，当时，，解得， 当时，，，则， 由可得：，即，因为，满足公比为， 所以数列是首项，公比为的等比数列，故数列的通项公式为. （2）由题意得，则设，则， ，， 即，化简得．故数列的前n项和. 二、导数 8．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【难度】0.53 【详解】（1）当时，，所以.令，得， 且当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）.当时，，因为，所以在上单调递减. 当时，，由，令，得. 当，即时，，所以在上单调递增.当，即时， 当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 9．（2026·江苏徐州·三模）已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 【难度】0.52 【详解】（1）因为，则，可得，， 所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即. （2）因为，则，可得，令，则，可得， 原题意可转化为有两个零点，则， 因为，则，若，则，可得，可知在上单调递减，所以在上至多一个零点，不合题意；若，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 当趋近时，趋近正无穷，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 若有两个零点，则，令，则在上单调递增，且，则不等式的解集为；所以实数a的取值范围为：. 10．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【难度】0.52 【详解】（1），求导可得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的极小值为，无极大值. （2）因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以，设，求导可得， 设，求导可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为，所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 11．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【难度】0.65 【详解】（1）．  当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得．故当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，，，，． 令，，而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立；当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 12．（2026·湖北孝感·一模）已知函数（），且． (1)求在点处的切线方程； (2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 【难度】0.65 【详解】（1）因为且，所以，所以，所以，所以，所以切线方程为，即为； （2）由条件可知，，因为，令， 因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以，所以函数在上的值域为. 三、解三角形 13．（2026·江苏盐城·模拟预测）在中，，． (1)求； (2)若为的中点，且，求△的面积． 【难度】0.72 【详解】（1）因为，所以 ．                 因为，所以． （2）因为，且， 所以．由正弦定理可得．  因为为的中点，且，所以， 由余弦定理知，所以． 设将其代入得，解得.         所以，所以 . 14．（2026·江苏·二模）记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 【难度】0.65 【详解】（1）因为，所以，因为是锐角，所以，所以， 所以；因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以，因为，所以， 所以由正弦定理得； （2）由余弦定理得，解得，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积. 15．（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【难度】0.65 【详解】（1）由正弦定理得，又因为， 所以，所以. 因为在锐角中，所以. （2）因为，，所以，因为，所以，所以，所以，，由正弦定理，得，， 所以的周长为. 16．（2026·湖北武汉·二模）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求，； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 【难度】0.5 【详解】（1）由题 ， 由函数的图象关于点中心对称，则， 即， 即 ，所以，解得； （2）由（1）知，又，所以， 即，所以.又，所以，又，所以，又，∴，又，所以，所以或，∴或，又，所以或. 17．（2026·湖北·三模）内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【难度】0.51 【详解】（1）由，可得．  由正弦定理可得．   故．  由余弦定理可得．   化简得． （2）因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以，所以，所以为锐角， 则，  当且仅当即时取等号．   此时最大，且．  所以．  解得． 四、圆锥曲线 18．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的短轴长为4，离心率. (1)求的标准方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，求的值. 【难度】0.71 【详解】（1）由题意得，即，又，解得， 则的标准方程为. （2）设，，，由题意设的方程为，由消去，可得，由，得，且，. 又，同理，所以， 即为定值12. 19．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【难度】0.65 【详解】（1）设点．因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ，化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．设直线的方程为，联立消去可得．所以 所以中点坐标．因为点在直线上，所以．因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，即直线不能经过点， 若直线过点，则，若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ．所以，即， 化简得，①．因为点在直线上，所以②． 由①②消得，．因为，所以， 所以． 20．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 【难度】0.62 【详解】（1）依题意焦点坐标为 椭圆方程为 （2）设联立得由得且点到直线的距离为 设 令，则（舍去）或，当，， 故在上单调递增，在上单调递减，面积的最大值为 21．（2026·湖北恩施·二模）已知椭圆与直线交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若上存在关于原点对称的两点，使得与的面积相等，求这两点的坐标． 【难度】0.67 【详解】（1）将点代入椭圆方程得，将代入直线方程得，解得或（舍去），所以椭圆的方程为. （2）连接，如图，因为与的面积相等，则直线，设直线的方程为，由（1）可知，直线，所以．.由，消去，整理得关于的方程，解得，所以这两点坐标为与． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学三轮冲刺数列、导数、解三角形、圆锥曲线（武汉、南京试题） 保温争分专项训练 一、数列 1．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【难度】0.72 2．（2026·江苏·模拟预测）已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. (1)当时，记集合，求中元素之和； (2)求的最小值. 【难度】0.66 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【难度】0.65 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 【难度】0.57 5．（2026·湖北随州·三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)已知，求. 【难度】0.64 6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【难度】0.65 7．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【难度】0.65 二、导数 8．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【难度】0.53 9．（2026·江苏徐州·三模）已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 【难度】0.52 10．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【难度】0.52 11．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【难度】0.65 12．（2026·湖北孝感·一模）已知函数（），且． (1)求在点处的切线方程； (2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 【难度】0.65 三、解三角形 13．（2026·江苏盐城·模拟预测）在中，，． (1)求； (2)若为的中点，且，求△的面积． 【难度】0.72 14．（2026·江苏·二模）记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 【难度】0.65 15．（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【难度】0.65 16．（2026·湖北武汉·二模）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求，； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 【难度】0.5 17．（2026·湖北·三模）内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【难度】0.51 四、圆锥曲线 18．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的短轴长为4，离心率. (1)求的标准方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，求的值. 【难度】0.71 19．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【难度】0.65 20．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 【难度】0.62 21．（2026·湖北恩施·二模）已知椭圆与直线交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若上存在关于原点对称的两点，使得与的面积相等，求这两点的坐标． 【难度】0.67 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $