精品解析：江西南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高二数学 命题人：揭芬芳 审题人：叶淑英 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 在数列中，，则的值为（ ） A. 2+ln99 B. 2+ln100 C. 2+ln101 D. 2. 已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（   ） A. 6或7 B. 7 C. 8 D. 7或8 4. 已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 6. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知过原点的直线与函数的图象相切，则的斜率为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 数列是等比数列 D. 10. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则__________． 13. 已知数列的前项和为，且，，则_______________. 14. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）已知，求. 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； （2）讨论的单调性． 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域； （3）设，证明：． 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 19. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式. （2）求曲线在处的切线方程. （3）若时，函数有三个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高二数学 命题人：揭芬芳 审题人：叶淑英 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 在数列中，，则的值为（ ） A. 2+ln99 B. 2+ln100 C. 2+ln101 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得， 则 . 2. 已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（   ） A. 6或7 B. 7 C. 8 D. 7或8 【答案】D 【解析】 【详解】已知等差数列，，， 由等差数列前项和公式可得， ，解得， ， ，是开口向上的二次函数， 对称轴为， 由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8， 当取最小值时，7或8． 4. 已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】是等比数列，， 对任意的正整数都成立， ，， 是等比数列，是单调递增数列，， ∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件. 5. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知. 6. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由导数的定义，， 已知，故. 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】，∴，∴， ∴． 8. 已知过原点的直线与函数的图象相切，则的斜率为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】由题意设直线为，由，得， 设切点的横坐标为，则， 消去得，整理得，所以， 解得，所以的斜率为. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 10. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B， ，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，求导可得，令可得，所以，即A正确； 对于B，由A可得，则， 所以切线方程为，即，可得B正确； 对于C，易知函数的定义域为，又， 令，可得， 所以当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误； 对于D，由C中分析可知， 即对于任意,恒成立，因此D错误. 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 13. 已知数列的前项和为，且，，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由，可得， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，，又不满足该式， 所以. 14. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【详解】， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即：，得， 设， 当时，函数单调递增， 所以，所以有， 因此实数的取值范围为. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）已知，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）降次作差求解数列的的通项公式即可； （2）根据（1）中的结果先确定数列，再运用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时， 当时，，且， 两式作差得，所以 显然符合上式， ∴ 【小问2详解】 根据（1）中的结果得，， ， 则 . 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增． 当时，在上单调递增，在上单调递减． 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解. 【小问1详解】 ， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． 【小问2详解】 ． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域； （3）设，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，根据极值的定义即可求出答案； （2）根据函数的单调性，即可求出值域； （3）可化为，令，通过求导证明即可证明不等式. 【小问1详解】 已知函数的定义域为， 则， 因，故，令得， 当时，，在单调递增； 当时，， 在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值． 【小问2详解】 由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以， 故在上的最大值为， 因此在上的值域为． 【小问3详解】 因为， 由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系易得，需要检验首项是否符合； （2）利用错位相减法求和即得； （3）将代入并化简不等式，利用求解即可． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 显然也满足， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ①， ②， ①②得， ， 故． 【小问3详解】 把代入， 所以等价于，即， 对任意恒成立，所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以，的最小值． 19. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式. （2）求曲线在处的切线方程. （3）若时，函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并根据极值点处的导函数为0联立方程组可解得，可求出解析式； （2）利用导数的几何意义直接求解即可； （3）求出函数在区间上的单调性，结合图象以及零点个数即可求出的取值范围. 【小问1详解】 易知， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，又， 因此切线方程为，即. 【小问3详解】 易知，令可得或； 因此当时，，当或时，； 所以函数在上单调递减，在或上单调递增， 易知， 画出函数在时的图象如下图所示： 根据函数有三个零点可知函数的图象与有3个交点， 因此可得的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $