4.1《数列的概念》（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.1《数列的概念》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数；能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，能根据通项公式写出数列的任意一项；能对数列进行分类（有穷数列、无穷数列，递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等），体会数列的离散性和函数思想。 课标分析： 本节课是数列单元的起始课，是学生从连续函数思想走向离散函数思想的重要转折。课标强调“通过实例”和“了解”，教学中应从具体情境（王芳身高数据、斐波那契数列等）出发，引导学生观察数据的有序排列，抽象出数列的概念。重点在于数列的定义、表示方法（列表、图象、通项公式）以及分类，难点是将数列看作一种特殊的函数（定义域为正整数集的函数）以及由前几项归纳通项公式（不唯一性）。本节课对培养数学抽象、数学运算和逻辑推理素养具有重要作用. . 2、 教材分析 “数列的概念（第1课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第1节内容，是数列学习的开篇。教材从王芳身高数据、一列数（斐波那契数列）等实例出发，抽象出数列的定义：按照确定的顺序排列的一列数。强调“顺序”的重要性，不同顺序构成不同数列。通过类比函数，引出数列的通项公式，并指出数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的函数。教材还给出了数列的分类（按项数、按单调性），并通过例题和练习训练学生由前几项写通项公式和由通项公式写数列的项。本节内容是后续学习等差数列、等比数列、数列求和等内容的基础. 3、 学情分析 学生在初中已经接触过一些有规律的数（如偶数、奇数、平方数等），对“按一定顺序排列的数”有初步感知，但缺乏系统的数学定义。同时，学生已经学习了函数的概念，能理解函数是一种对应关系。但数列作为一种定义域为离散点的函数，学生需要一个适应过程。由数列的前几项归纳通项公式时，学生往往只看到一个规律就下结论，忽略可能的多解性。此外，对于摆动数列、常数列等特殊类型，学生容易混淆。教师应通过丰富的实例和对比，帮助学生建立正确的数列观念. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从王芳身高变化、斐波那契数列等具体实例中抽象出数列的概念，理解数列的“有序”本质。 1. 逻辑推理素养：能根据数列的前几项，通过观察、归纳推理出数列的通项公式，并能验证通项公式的合理性。 1. 数学运算素养：能根据通项公式求出数列的任意一项，能判断某数是否是数列的项并求解对应的项数。 1. 直观想象素养：能通过列表法、图象法表示数列，感受数列的离散性（图象为孤立的点）。 1. 数学语言素养：能准确使用数列的符号（、首项、通项公式等）表达数列的相关概念. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：数列的概念及表示方法（通项公式、列表、图象）；根据数列的前几项写出一个通项公式；数列的分类。 1. 难点：理解数列是一种特殊的函数（定义域为正整数集）；由有限项写出通项公式的不唯一性（只需写出一个即可）；摆动数列的判断与表示. 6、 教学过程 教师活动 1. 展示预习问题： （1）数列的定义：按照______排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的______。 答案：确定的顺序；项。 （2）数列的第 项通常记作______，首项记作______。 答案：；。 （3）数列的通项公式：如果数列 的第 项 与______之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 答案：序号 。 （4）按项数分类，数列分为______数列和______数列；按单调性分类，数列分为______数列、______数列、______数列和______数列。 答案：有穷；无穷；递增；递减；常；摆动。 2. 请学生回答，教师点评并强调数列的“顺序”重要性. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 我们学过哪些有规律排列的数？例如：偶数数列：；奇数数列：。 (2) 学生还能举出其他例子吗？ 2.教师总结：这些按一定顺序排列的数就是今天要学习的数列. 环节三：合作探究 1. 数列的概念（5分钟） 教师展示实例： ① 王芳从小到大每年的身高（单位：cm）： ② 一列数：（斐波那契数列） ③ 商品价格：（不同顺序意义不同） 引导学生发现：每一列数都是按一定顺序排列的，顺序不同则数列不同。 定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。第 项记作 。 强调：数列中的数可以重复，但顺序必须固定。 2. 数列的表示方法（5分钟） 通项公式法：如果数列 的第 项 与 之间的关系能用公式表示，则称该公式为通项公式。 例：数列 的通项公式为 。 列表法：将序号 与项 列成表格。 图象法：在平面直角坐标系中描出点 ，这些点离散分布。 强调：数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集（或有限子集），值域为实数集。 3. 数列的分类（5分钟） 按项数：有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）。 按单调性： 递增数列：对任意 ，； 递减数列：对任意 ，； 常数列：所有项都相等； 摆动数列：从第2项起，有些项大于前一项，有些小于前一项。 举例： 是递增数列； 是递减数列； 是常数列； 是摆动数列. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。 （1）数列 和 是同一个数列。（ ） （2）数列 的通项公式只能是 。（ ） （3）若数列 满足 ，则它是递增数列。（ ） （4）常数列既是递增数列又是递减数列。（ ） 答案：（1）×（顺序不同）；（2）×（还有 当 从0开始等，不唯一）；（3）√（若 确定，则单调递增）；（4）×（常数列既不是递增也不是递减）。 例2：写出下列数列的一个通项公式： （1）； （2）； （3）； （4）。 答案：（1）；（2）；（3）；（4） 或 等。 例3：已知数列 的通项公式为 ，求 的值。 解：；；；。 答案：。 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列数列中，是递增数列的有（ ） A. B. C. D. 答案：A、C（A严格递增；C中 递增；B常数列；D摆动）。 例5：已知数列 的通项公式为 。 （1）求 ； （2）判断 和 是否为该数列的项，若是，指出是第几项。 解： （1）；；；。 （2）令 ，解得 或 ，所以 是数列的项，对应第2项和第3项。 令 ，即 ，解得 或 ，所以 也是数列的项，对应第1项和第4项。 例6：已知数列的前几项为 ，写出它的一个通项公式。 解：观察 ，，，，，所以 。 答案：。 例7：已知数列 的通项公式为 。 （1）求 ； （2）判断 是否为该数列的项，若是，求出 。 解： （1）。 （2）令 ，交叉相乘得 ，即 ，分解得 ，解得 （舍）或 。所以 是数列的第2项。 例8：已知数列 的通项公式为 为奇数为偶数，写出该数列的前5项，并判断该数列的单调性。 解： （奇数）：； （偶数）：； （奇数）：； （偶数）：； （奇数）：。 前5项为 。 从第1项到第2项增加，第2项到第3项增加，第3项到第4项增加，第4项到第5项增加，整体呈现递增趋势，可以论证对任意 有 ，故为递增数列. . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 数列的定义（按确定顺序排列的一列数）及项、首项、第 项的概念。 (2) 数列的表示方法：通项公式、列表、图象。 (3) 数列与函数的关系：数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的函数。 (4) 数列的分类：有穷与无穷，递增、递减、常、摆动。 (5) 由前几项写通项公式的方法（观察规律）。 1. 教师强调： (1) 数列中的数是有序的，顺序不同则数列不同。 (2) 通项公式不一定唯一，只需写出符合前几项的一个即可。 判断数列的单调性时要利用定义（比较 与 的大小）. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第5页练习第1、2题（写通项公式）。 (2) 课外拓展：第9页习题第7题。 1. 拓展作业： (1) 已知数列 的通项公式为 ，写出前5项，并判断该数列从第几项开始为正数。 1. 预习引导： 预习下一节“数列的递推公式”，思考如何用前一项表示后一项. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课从王芳身高变化和斐波那契数列等实例入手，学生较好地理解了数列的“顺序”本质。通过通项公式的归纳练习，学生掌握了由有限项猜通项的基本方法，也认识到通项公式的不唯一性。数列的分类通过大量实例辨析，学生能正确判断。不足之处：部分学生在由前几项写通项公式时仍存在困难，特别是分母有规律变化的数列，需要多引导观察分子分母的序号关系；另外，对摆动数列和常数列的界定，少数学生理解不深。后续教学中应加强变式训练，并逐步引入函数观点分析数列的单调性。整体上，本节课为后续等差数列、等比数列的学习打下了良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $