4.1数列的概念（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.1 数列的概念（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节课先通过生活实例（如王芳1到17岁的身高数据，K90泥板上记录的表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数，2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、...）引入数列概念，明确数列是按一定顺序排列的一列数，强调其 “有序性” 核心特征；接着讲解数列的表示方法，重点介绍通项公式，即反映项与项的位置序号关系的式子，能通过通项公式求数列特定项，也能由前几项归纳通项（难点）；还揭示数列与函数的内在联系，指出数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数，可从函数视角分析数列性质；最后结合日常时间、消费等生活中的数列实例，帮助学生深化对概念的理解，为后续学习数列性质奠定基础. 2.内容解析 采用 “实例引入 — 概念建构 — 深化理解 — 应用巩固” 的逻辑链，从生活实例（天坛支柱数、流量用量）切入，降低抽象概念的理解门槛，再逐步深入到数列定义、通项公式及与函数的关系，符合学生认知规律.既突出数列 “有序性” 的核心特征，又建立数列与函数的联系，将数列定位为 “定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数”，为后续从函数视角研究数列性质（如单调性、周期性）埋下伏笔，实现知识的纵向衔接.明确 “由数列前几项归纳通项公式” 为难点，通过 “求特定项” 与 “归纳通项” 的对比教学，强化对通项公式的理解；同时结合生活实例（日常时间、消费）巩固概念，兼顾知识掌握与应用能力培养. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解数列 “有序性” 特征与通项公式本质，能求特定项、尝试归纳通项. 1.教学目标 (1) 能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念；知道数列的一般表示，并能说出表示的具体含义；能用函数的观点解释数列，知道是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数；通过数列概念的抽象，发展数学抽象素养； (2) 能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识. (3) 能说明数列通项公式中各个量的含义；能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法，其本质就是数列的函数解析式；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 2.目标解析 （1）该目标聚焦数列概念的抽象形成与本质理解，要求学生从具体实例归纳共性以抽象概念，掌握表示方法并关联函数视角.既锻炼归纳抽象能力，又搭建数列与函数的知识桥梁，直接指向数学抽象素养的发展，为后续学习奠定概念基础.​ （2）此目标围绕数列表示方法展开，要求类比函数表示掌握三种方法，明确各自优势并对比异同.通过类比迁移深化知识联系，不仅让学生掌握实用技能，更能帮助其从表示层面理解数列与函数的关联，加深对数列本质的认知.​ （3）该目标聚焦通项公式，要求明确量的含义、认识其核心地位与函数本质，还需具备应用能力.既强化对通项公式的理解，又渗透特殊与一般思想，为后续运用通项公式解决问题筑牢根基. 学生已系统学习函数的定义、三种表示方法（解析式、图象、表格），能分析简单函数的变量关系，这为理解数列与函数的关联提供基础.但多数学生对 “有序性” 的数学意义认知模糊，易将数列与数集混淆；归纳推理能力较弱，仅能处理规律明显的数序，对复杂数列（如分式、符号交替型）的通项归纳存在障碍. 预估困难及解决办法： 困难1：难以建立 “数列是特殊函数” 的认知，混淆数列与函数的定义域、图象特征.​ 解决方法：通过对比表格呈现函数（y=2x）与数列（aₙ=2n）的定义域、对应关系、图象（函数是直线，数列是孤立点），结合实例直观辨析差异与联系.​ 困难2：由数列前几项归纳通项公式时，找不到项与序号的关联，或归纳不全面.​ 解决方法：提供阶梯式案例（先等差、等比，再分式、符号交替型），引导学生先观察项的 “变与不变”，再分析项与序号的和、差、积、商关系，总结归纳步骤. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解数列作为特殊函数的本质，及从数列前几项准确归纳出通项公式. 情境引入 观察：观察图片，发现了什么？ 预设：一列数：0，1，1，2，3，5，8，13，......① 思考：从上往下第3个数是多少？第14个数是多少? 预设：1、233 追问：这列数有顺序吗？ 预设：有 教师：恭喜你，总结出了今天我们要学习的数列的概念：按照确定的顺序排列的一列数称为数列.  设计意图：借斐波那契数列图片引数，通过提问促思考，让学生自主感知 “有序性”，自然推导数列概念，降低抽象度. 教学建议：可补充数列在花瓣、蜂巢中的实例；追问时引导学生对比数集与数列，强化 “有序性” 认知，增强互动性. 教师：同学们，平时要有意识地用数学的眼观去看世界，数列在我们生活中，无处不在！我来举几个例子，稍后你来举例子. 例子1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．② 思考：此例中的第6个数是什么?它的实际意义是什么?163是第几个数?它的实际意义是什么? 学生：观察数据，独立思考，然后得出正确答案：116，它表示王芳6岁时身高为116cm；15，它表示王芳15岁时身高为163cm 追问：75和168能交换位置吗? 为什么? 预设：不能交换位置，位置不同的数表示含义不同 思考：第6个数是116，第17个数是168，可否用通俗易懂的一个数学符号来表示？ 预设：记王芳第岁时的身高为，那么，. 追问：表示排在第几位的数？他的实际意义是什么？ 预设：第14位的数，第14岁的身高为162cm 设计意图：引导学生分析这一列数中的每一个数的值是由排列顺序中的序号所确定的,引入一个与序号相关的符号来表示数列中的数. 例子2：在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数（把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示）：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．③ 要求：记第天月亮可见部分的数为,那么. 预设：，. 例子3：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 归纳：上面四个例子的共同特征是什么? ① 0， 1， 1，2， 3， 5，8，13， 21，34，...... ② 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. ③ 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ④ 2，4，8，16，…… 预设：都是一列数，都有确定的顺序 定义：数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列 项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 项数：数列中的项的个数叫做这个数列的项数， 首项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项.常用符号a1表示 第2项：数列的第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示 第n项：第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 数列的一般形式是 ，，…，，…，简记为． 牛刀小试： 练1：3，3，3，3，3，3，3，......是数列吗？ 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 预设：是，数列中的数可以重复 练2：以下两个数列是同一数列吗？ 2，4，6，8，10，12 2，4，8，6，10，12 预设：若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列 练2：由2，3，周杰伦，5，奥特曼，6，这几个元素能构成数列吗？ 预设：不能，数列的项是一个确定的数值 思考：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 易知，那么， 追问：能否以函数的观点来理解序号与项之间的关系？ 预设：由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 结论：数列是一个特殊的函数，自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为： 练习：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④，则 教师：这种数列的表示方法叫做“解析式法” 通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 练习：写出下列三个数列的通项公式： （1）所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，...... （2）所有奇数构成的数列：1，3，5，7，9，...... （3）数列：-1，1，-1，1，-1，...... 预设：（1）；（2）；（3） 思考：由第（3）小题的结果，你能得出怎样的结论？ 预设：一个数列的通项公式不唯一 练习：所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，.....的通项公式： （1） 答案：316 思考：有什么结论？ 预设：结论：通项公式可以用来求数列指定项 （2）是不是该数列的项？答案：, 所以37不是该数列的项 思考：有什么结论？ 预设：结论：通项公式可以用来判断某数是否为数列的项 练习：数列：1，7，108，36，72，.....的通项公式什么？ 思考：有什么结论？ 预设：结论：不是所有数列能写出它的通项公式 思考：函数有表格，图像，解析式三种表示方法， 数列作为一种特殊的函数，你能表格法和图象法表示数列②吗？ 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 数列的第二种表示方法：表格法 预设：表格法如表4.1-1： 数列的第三种表示方法：图象法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的图象法：如图4.1-1： 数列的分类： 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列：项数有限的数列； (2) 无穷数列：项数无限的数列. 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). (2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). (3) 常数列：各项都相等的数列； (4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 解：（1）当通项公式中的时，数列的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示． （2）当通项公式中的时，数列的前项依次为．图象如图4.1-2(2)所示． 师生：学生计算、画图.教师利用电子表格计算、画图（图2、图3),结合表格、图象,请学生回答这两个数列是否是递增数列. 设计意图：本例是对通项公式的直接运用,并要求学生描点作图,使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识数列. 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律． （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为 ． 师生：学生回答,教师进行引导:解答第(1)题时,可以先思考第(1)题与下列两个数列(1) (2)的关系;对于第(2)题,可以考虑在的每一项上加1,也可以对例1(2)中数列的每一项取绝对值后乘以2.教师同时强调,通过数列的前几项归纳得到的数列的通项公式,可能是不唯一的. 例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． 解：令，解这个关于的方程，得（舍去），或． 所以，120是数列的项，是第10项． 师生：教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得.我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或. 教师：因为n是正整数，所以要舍掉.因此，120是这个数列的项，并且是第10项.在这道题讲解后，总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号. 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型一：由数列通项公式求指定项 例题：（1）已知数列的通项公式，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 解析：因为数列的通项公式，所以. 故选：B （2）若已知数列的通项公式是，其中． 则 ， ． 解析：数列的通项公式是，则； 将代入计算，得到. （3）已知数列的通项公式为，则（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 解析：．故选：D. 题型二：判断某数是否为数列项 例题 （1）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（   ） A．18 B．20 C．32 D．66 解析：因为，所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． （2）已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（     ）项． A．9 B．10 C．11 D．12 解析：由数列的通项公式为，令， 即，可得，解得或， 即，所以是数列的第项. 故选：B. 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型三：观察法求数列通项公式 例题：（1）数列为，则不能作为通项公式的是（     ） A． B． C． D． 解析：对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. （2）写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； 解析：(1)先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. （2）数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1. 考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． 方法总结：此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解. 具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(−1)^n或(−1)^n+1处理. 1．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 解析：观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为 . 故选：A. 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 解析：对于A项，数列，，，与数列，，，中顺序不同，不是同一数列，故A项错误； 对于B项，若通项公式是，则，故B项正确； 对于C项，数列，，，，…，它的一个通项公式为：，故C项错误； 对于D项，，得， 则此数列为递增数列，故D项正确，故选：BD 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知数列的一个通项公式为，且，则（   ） A．1 B．2 C．26 D．80 解析：因为，代入通项公式可得：，解得，所以， 所以，故选：D 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列，则是这个数列的（     ） A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 解析：令. 故由题可得是这个数列的第20项. 故选：D 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）（多选）已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 解析：，可得：， ， 所以数列是递增数列， 又，， 所以恒成立， 所以ACD正确，B错误， 故选：ACD 1．数列的相关概念 （1）数列：按照 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 ，各项依次称为这个数列的第1项（ ），第2项…… （3）项数：组成数列的 称为数列的项数 答案： 确定的顺序 项 首项 项的个数 2．数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 ． 答案：正整数 通项 通项公式 3．数列与函数的关系 事实上，数列可以看成定义域为 的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取 时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的 ．这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的 来直观地表示． 答案：正整数集 正整数值 解析式 点 4．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 无穷数列 项与项间的大小关系 递增数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 递减数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 常数列 【答案】 项数有限的数列 项数无限的数列 大于 小于 各项都相等 巩固作业：教科书第5页练习第1、2题； 拓展作业：教科书第9页习题第7题.  4.1 数列的概念（第1课时） 1. 数列概念：有序性 2. 重要概念：①项、②项数、③首项、④第4项、⑤第n项 3. 数列与函数的关系： 4. 通项公式： 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课通过斐波那契数列图片情境引入，有效激发学生兴趣，多数学生能自主感知数列 “有序性”，顺利理解数列概念，达成数学抽象素养培养目标.在通项公式应用环节，学生能根据公式写出前几项，但由前几项归纳通项时，部分学生仍难发现项与序号的关联，说明难点突破力度需加强.此外，虽通过对比函数与数列强化特殊函数认知，但互动形式较单一，后续可增加小组合作探究，让学生结合生活实例自主举例，进一步深化对数列本质的理解，提升课堂参与度与知识应用能力. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $