精品解析：江苏淮安市清江浦区2026年九年级质量调研数学试卷(1)

九年级质量调研数学试卷（1） （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解： 的相反数为． 故选：A． 2. 下列四款人工智能模型的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的判断标准是解题关键． 根据轴对称图形的定义对选项依次判断． 【详解】解：选项：图案是不对称的曲线，没有对称轴； 选项：图案是旋转对称的交织结构，没有对称轴； 选项：图案是正六边形内的对称结构，有对称轴，是轴对称图形； 选项：图案是不规则的点线结构，没有对称轴． 故选：． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵ 科学记数法要求，原数， 将小数点向左移动11位，得到， ∴ ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可． 【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项运算错误； B、，，此项运算错误； C、，，此项运算错误； D、，此项运算正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟记各运算法则是解题关键． 5. 我国古代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”这首诗的意思是说：“如果一间客房住七个人，那么就剩下七个人安排不下；如果一间客房住九个人，那么就空出一间客房．”根据诗句提供的信息，设来店住房的客人有x人，客房有y间，则可列出关于x，y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设来店住房的客人有x人，客房有y间，根据如果一间客房住七个人，那么就剩下七个人安排不下；如果一间客房住九个人，那么就空出一间客房列二元一次方程组即可求解． 【详解】设来店住房的客人有x人，客房有y间，由题意得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 6. 如图，六边形为正六边形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，平行线的性质等知识，掌握这些知识是关键； 过B作，则，从而有，从而得 ；再由正六边形知，从而可求解． 【详解】解：如图，过B作，则， ∴， ∴， ∴； ∵六边形为正六边形， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 7. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得为的中位线，得，在中，根据勾股定理得求解． 【详解】∵M，N分别为，的中点， ∴． 在中，，， ， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和勾股定理，关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边一半的性质． 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 10. 数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.75左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据弧长公式计算即可． 【详解】连接OB、OC， 由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=120°， ∵⊙O的半径为2， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 12. 、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地， ∴后这列火车离地的距离为， 当时，，得：， ∴与之间的函数表达式为． 13. 已知圆锥的底面圆半径为，其母线长为，则它的侧面积等于_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积求解方法求解即可； 【详解】解：它的侧面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长公式，正确计算是解体的关键． 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，P为反比例函数（）图象上的动点，线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的对称性，当为直线与反比例函数在第一象限的交点时，线段长度取得最小值，联立方程求得点坐标后，利用两点间距离公式计算长度即可． 【详解】解：根据题意，当为直线与反比例函数的交点时，线段长度最小， 联立方程得解得或， 因为，所以舍去负解，得点坐标为， 由两点间距离公式得． 16. 如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点的定义及勾股定理得，，继而得到，证明得，求得，，可得答案． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：﹣（π﹣1）0﹣sin30°； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）1＜x≤2 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、零指数幂、三角函数值，再计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式＝3﹣1﹣， ＝； （2） 解不等式4x﹣8≤0，得：x≤2， 解不等式＞3﹣x，得：x＞1， 不等式组的解集为1＜x≤2． 【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟记三角函数值、和0指数幂，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，； 【解析】 【分析】先按照分式运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：， ＝， ＝， ＝， ＝． 把代入，原式＝． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是依据分式运算法则正确化简，代入数值准确计算． 19. 如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 20. 在国务院印发的《新一代人工智能发展规划》（以下简称《规划》）中，提出了面向2030年我国新一代人工智能发展的指导思想、战略目标、重点任务和保障措施，部署构筑我国人工智能发展的先发优势，加快建设创新型国家和世界科技强国．人工智能（AI）在教育中的应用主要包括：（A）智能教学系统；（B）个性化学习内容的推荐；（C）自动批改作业；（D）虚拟实验室．将以上四种应用分别书写在材质、大小完全相同的四张卡片上，背面朝上后洗匀． （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到（A）智能教学系统的卡片的概率为______． （2）从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用画树状图法或列表法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从四张卡片中随机抽取一张，抽到（A）智能教学系统的卡片的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果有4种， ∴． 21. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135； 补全统计图如下所示： （2）450人 （3） 解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵； 由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系． （1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图； （2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数； （3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为人， 补全统计图略 【小问2详解】 解：估计用私家车接送孩子的家长人数为人； 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】（1） 如下直线l即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 23. 景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】（1） （2）70或80元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据“销售利润=单个利润×销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解． 【小问1详解】 解：设，代入，， 则． 解得 ． 【小问2详解】 解：． 解得，， 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 与相切； 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明； （2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD＝BC＝3，根据勾股定理得：，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系、圆周角定理，三角形的面积公式，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 25. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【解析】 【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵的长为，高为， ∴． ∴在中，()． ∵，， ∴． ∴． ∴设． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键． 26. 【问题情境】如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O转动过程中，与交于点E，与交于点F，记两个正方形重叠部分的面积为S． （1）【独立思考】“乘风”兴趣小组发现在正方形绕点O转动过程中，两个正方形重叠部分的面积S是一个定值．设两个正方形的边长为m，请你写出这个定值并证明 （2）【问题解决】在图1中，若，，求的长． （3）【深入探究】如图2，在正方形中，的顶点P在对角线上，且，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与和交于点E，F．在的旋转过程中，求与存在怎样的数量关系． 【答案】（1） 定值为，理由如下： 证明：在正方形和正方形中， ，，， ，， ∴ ， 在和中， ，，， ∴， ， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积S是定值． （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）在和中,利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，由此得到正方形边长为4，过点O作于H，得，求出，利用勾股定理求出，即可得到； （3）过点作于点，于点，利用相似三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴， 过点O作于H， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作于点，于点 四边形是正方形， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的对称轴与顶点纵坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧部分保持不变，组成新图形． ①若，过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点．若线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围； ②点在图形上，点在抛物线上．（点、不与原点重合）当，若为与无关的定值，求的值． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点纵坐标为 （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）代入点得，消元后用对称轴公式求对称轴，再将对称轴代入抛物线方程，结合化简求顶点纵坐标即可； （2）①确定图形表达式，写出、坐标，得到的长度，分类讨论的正负性，结合函数图像解答即可； ②由得 ，设，则 ，那么，当时，代入，得到，那么可得，同理讨论当的情况即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入可得：， 整理可得：， ∵抛物线的对称轴为：， ∴把代入可得：， ∴抛物线的对称轴为：； 把和代入可得：， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，则， ∴， 由（1）可得：对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， ∴把抛物线沿轴翻折后的顶点坐标为， 又∵翻折后图象和抛物线的开口大小相等，方向相反，且， ∴翻折后图象为：， ∵过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点， ∴在翻折后图象上，即；点直线上，即； ∴线段的长度， 当时，得， ∵， ∴，即， 此时，开口向上，对称轴为， ∵在上随的增大而增大， ∴， 解得：，符合题意； 当时，得， ∵， ∴，解得， 此时，开口向下，对称轴为， ∵在上增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 综上，的取值范围为：或； ②由得 ， 设，则 ， ∵点在上， ∴， 分两种情况讨论： 当时，点在原抛物线上，代入得 ： ， ∵，两边同除以整理得 ：， ∵是与无关的定值， ∴等式对任意成立时，需满足， 化简得：， 解得，； 当时，点在翻折后的图形上， 代入得： ， ∵ ，两边同除以整理得 ：， ∵是与无关的定值， ∴等式对任意成立时，需满足， 化简得：， 解得：，， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级质量调研数学试卷（1） （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 下列四款人工智能模型的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”这首诗的意思是说：“如果一间客房住七个人，那么就剩下七个人安排不下；如果一间客房住九个人，那么就空出一间客房．”根据诗句提供的信息，设来店住房的客人有x人，客房有y间，则可列出关于x，y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，六边形为正六边形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________． 11. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，则的长为_______． 12. 、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___ 13. 已知圆锥的底面圆半径为，其母线长为，则它的侧面积等于_______ 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是______． 15. 在平面直角坐标系中，P为反比例函数（）图象上的动点，线段长度的最小值是______． 16. 如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：﹣（π﹣1）0﹣sin30°； （2）解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，．求证：． 20. 在国务院印发的《新一代人工智能发展规划》（以下简称《规划》）中，提出了面向2030年我国新一代人工智能发展的指导思想、战略目标、重点任务和保障措施，部署构筑我国人工智能发展的先发优势，加快建设创新型国家和世界科技强国．人工智能（AI）在教育中的应用主要包括：（A）智能教学系统；（B）个性化学习内容的推荐；（C）自动批改作业；（D）虚拟实验室．将以上四种应用分别书写在材质、大小完全相同的四张卡片上，背面朝上后洗匀． （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到（A）智能教学系统的卡片的概率为______． （2）从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用画树状图法或列表法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 21. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 23. 景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 25. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 26. 【问题情境】如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O转动过程中，与交于点E，与交于点F，记两个正方形重叠部分的面积为S． （1）【独立思考】“乘风”兴趣小组发现在正方形绕点O转动过程中，两个正方形重叠部分的面积S是一个定值．设两个正方形的边长为m，请你写出这个定值并证明 （2）【问题解决】在图1中，若，，求的长． （3）【深入探究】如图2，在正方形中，的顶点P在对角线上，且，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与和交于点E，F．在的旋转过程中，求与存在怎样的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的对称轴与顶点纵坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧部分保持不变，组成新图形． ①若，过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点．若线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围； ②点在图形上，点在抛物线上．（点、不与原点重合）当，若为与无关的定值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $