精品解析：2025年江苏省淮安市清江浦区中考一模数学试题

九年级质量调研数学试卷（1） （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用铅笔填涂在答题卡位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 下列几款新能源电动汽车的车标对称性和其它3幅不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《哪吒2》的票房成绩斐然，预计全球票房会突破160亿元人民币，挺进全球影史票；榜前四，成为首部跻身此列的亚洲电影．这一成绩不仅是中国动画工业的一次飞跃，是中国文化自信与科技自信的双重胜利.160亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面内，正方形A的边长为，矩形的两边长为和，将正方形A在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图，矩形 中，，以A为圆心，1为半径作．若动点 在上，动点在 上，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 在实数范围内分解因式：______． 10. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是___________． 11. 和互为相反数，那么_______． 12. 《九章算术》“方程”篇中有这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半（注：太半，意思为三分之二）而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为_________． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______ ． 14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体侧面积为_____________． 15. 如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线 对称：②关于 的不等式的解是 或；③当时，关于 的方程有四个实数解；④当 时函数的 值随 值的增大而减小．其中正确的是______（填出所有正确结论的序号）． 16. 如图，在矩形 中，，点 为 边上的一个动点，把 沿 折叠，当点 的对应点刚好落在矩形 的对角线上时，则到的距离为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算或解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 18. 先化简再求值：，其中 满足，请选一个合适的 的整数值代入求值． 19. 如图，在 中，点 、 在对角线 上，且．求证：． 20. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从全校学生中随机抽取部分学生的测试得分进行整理和分析． 收集数据 从全校分别随机抽取40名学生分成甲乙两组，每组20人，统计两组的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 整理数据 将抽取两组学生成绩分别进行整理，分成五组（用 表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组： ．其中甲组20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；乙组20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75． 根据统计数据，绘制成如下统计图． 分析数据 甲乙两组的学生比赛成绩的各统计量如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 81 82 86 8.8 乙组 81 86 9 根据上述信息，解答下列问题： （1）请直接写出上述图表中的______， ______； （2）若此次比赛成绩不低于90分为优秀，请估计全校1800人中优秀的人数； （3）你认为甲乙两组中哪个组学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可） 21. 《西游记》作者吴承恩是淮安人，淮安的自然风光和文化氛围为吴承恩提供了丰富的创作灵感．《水浒传》作者施耐庵长期客居淮安，并在淮安完成了《水浒传》的创作．小艾从2张《西游记》人物卡通卡片（A．唐僧；B．孙悟空）中随机抽取一张，再从3张《水浒传》人物卡通卡片（C．宋江；D．武松；E．林冲）中随机抽取一张． （1）小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是_____； （2）用树状图或列表的方法求小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率． 22. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 23. 如图1，在中，为 边上一点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在 上找一点 ，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求 的长． 24. 如图，在 的边 上取一点，以为圆心， 为半径画 与边 相切于点 ，若 与边交于点 ，且． （1）求证：是 切线； （2）若，求 的半径． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． （1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标； （2）若 ，函数图象与 轴有两个交点，且，求证：； （3）若函数图象经过点，当时，；当时，，求 的值． 26. 某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． （1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． （2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 27. 综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形 中，点分别在边上，且 ，则线段 与 之间的关系是______． （2）如图2，在矩形 中，，点 是上的动点，连接 ，过点 作于点 ，交于 ．问题：当 为中点时，求 的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形 中，，点 为 上一点，连接 ，过点作交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ． 问题：若，且，求 的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在 中，，点 是 上一动点，将沿 翻折，使点落在点 处，连接 ．问题： ①当时，求 的长度； ②当 最小时， 的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级质量调研数学试卷（1） （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用铅笔填涂在答题卡位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数计算即可． 本题考查了倒数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵的倒数是， 故选：B． 2. 下列几款新能源电动汽车的车标对称性和其它3幅不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、不是轴对称图形，是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形； 故可得选项B与其他图形的对称性不同，符合题意． 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，整式的加减，同底数幂的除法，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：，原计算错误，故A不合题意． ，正确，故B合题意． ，原计算错误，故C不合题意． ，原计算错误，故D不合题意． 故选：B． 4. 《哪吒2》的票房成绩斐然，预计全球票房会突破160亿元人民币，挺进全球影史票；榜前四，成为首部跻身此列的亚洲电影．这一成绩不仅是中国动画工业的一次飞跃，是中国文化自信与科技自信的双重胜利.160亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵亿， 故选：C． 5. 如图，在同一平面内，正方形A的边长为，矩形 的两边长为和，将正方形A在这个平面内移动的过程中，矩形 被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键；由题意易得当正方形A完全进入矩形B中，S有最小值，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：当正方形A完全进入矩形B中，S有最小值，即为： ； 故选A． 6. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故选B． 7. 如图，已知点A与点 分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点 分别在反比例函数与的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 8. 如图，矩形 中，，以A为圆心，1为半径作．若动点 在上，动点在 上，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以 为轴作矩形 的对称图形以及对称圆，连接交 于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以 为轴作矩形 的对称图形以及对称圆，连接交 于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形 中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；此题可根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 10. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得． 故答案为：． 11. 和互为相反数，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据相反数的性质，得，整理，得，代入求值即可． 本题考查了相反数的性质，求代数式的值，熟练掌握相反数的性质，整体计算是解题的关键． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：1． 12. 《九章算术》“方程”篇中有这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半（注：太半，意思为三分之二）而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙原本各持钱x、y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=80，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意， 得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔 到 的距离为，则小孔 到的距离为______ ． 【答案】20 【解析】 【分析】设小孔 到的距离为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，列式解答即可． 本题考查了跨学科综合，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设小孔 到的距离为，根据光学原理，得到， 故， 故， 故， 解得． 故答案为：20． 14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体侧面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了三视图． 由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，再利用圆锥侧面积公式求出即可． 【详解】解：由三视图知：几何体是圆锥，其中圆锥的母线长为4，底面半径为2， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 15. 如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线 对称：②关于 的不等式的解是 或 ；③当时，关于 的方程有四个实数解；④当 时函数的 值随 值的增大而减小．其中正确的是______（填出所有正确结论的序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据函数的特征可知图象关于直线 对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于 的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当 时，， 由图象可得：当 时，关于 的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由函数图象可知，当 时，函数的 值随 值的增大而减小．故④正确，符合题意． 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 16. 如图，在矩形 中，，点 为 边上的一个动点，把 沿 折叠，当点 的对应点刚好落在矩形 的对角线上时，则到 的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形与折叠问题、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键；分两种情形：当点落在线段 上．当点落在线段 上，分别求解即可． 【详解】解：当点落在线段 上，如图所示；连接 ，过点作于点F． ∵四边形 是矩形，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点落在线段 上，过点作于点G，如图所示， ∵在矩形 中，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当点 的对应点刚好落在矩形 的对角线上时，则到 的距离为或； 故答案为或． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算或解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂、特殊三角函数值、二次根式的运算及一元一次不等式的解法，熟练掌握负指数幂、特殊三角函数值、二次根式的运算及一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值可进行求解； （2）根据一元一次不等式的解法可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简再求值：，其中 满足，请选一个合适的 的整数值代入求值． 【答案】，当 时， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特别要注意 的值必须使所求的代数式有意义． 先把括号内的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由于 不能取，所以可把 入计算． 【详解】解：原式 ， ∵，且 为整数， ∴ 可能取的整数值为， 又 ∵， ∴ 能取， 当 时，原式． 19. 如图，在 中，点 、 在对角线 上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后通过证明可进行求证． 【详解】略 20. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从全校学生中随机抽取部分学生的测试得分进行整理和分析． 收集数据 从全校分别随机抽取40名学生分成甲乙两组，每组20人，统计两组的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 整理数据 将抽取两组学生成绩分别进行整理，分成五组（用 表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组： ．其中甲组20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；乙组20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75． 根据统计数据，绘制成如下统计图． 分析数据 甲乙两组的学生比赛成绩的各统计量如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 81 82 86 8.8 乙组 81 86 9 根据上述信息，解答下列问题： （1）请直接写出上述图表中的______，______； （2）若此次比赛成绩不低于90分为优秀，请估计全校1800人中优秀的人数； （3）你认为甲乙两组中哪个组学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可） 【答案】（1）30；76 （2）405人 （3）甲组学生比赛成绩更好，理由： 因为从中位数来看甲组大于乙组，从方差来看，甲组的方差小于乙组的方差，说明甲组的成绩更为稳定． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图与条形统计图、中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握扇形统计图与条形统计图、中位数、众数、平均数及方差是解题的关键； （1）甲组在E组的人数可得所占百分比，然后可得m的值，进而根据中位数的求法可得N的值； （2）根据题意得出成绩不低于90分的人数，然后问题可求解； （3）根据中位数、众数及方差可进行求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：E组在扇形统计图中所在百分比为， ∴， ； 故答案为30；76； 【小问2详解】 解：由题意得： （人）； 答：全校1800人中优秀的人数为405人． 【小问3详解】 略 21. 《西游记》作者吴承恩是淮安人，淮安的自然风光和文化氛围为吴承恩提供了丰富的创作灵感．《水浒传》作者施耐庵长期客居淮安，并在淮安完成了《水浒传》的创作．小艾从2张《西游记》人物卡通卡片（A．唐僧；B．孙悟空）中随机抽取一张，再从3张《水浒传》人物卡通卡片（C．宋江；D．武松；E．林冲）中随机抽取一张． （1）小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是_____； （2）用树状图或列表的方法求小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率． 【答案】（1） （2）小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据列表法可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是； 故答案为； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： 宋江 武松 林冲 唐僧 √ √ √ 孙悟空 √ √ √ 由表可知：小艾任取两张的可能性有6种，其中恰好抽中唐僧和宋江的可能性只有1种，所以小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率为． 22. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】（1）某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 （2），，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． 【小问2详解】 解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 23. 如图1，在中，为 边上一点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在 上找一点 ，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求 的长． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析出在 上找一点 ，使，就是以为边尺规作图作等边三角形，延长 ，以点 为圆心、为半径画弧，交射线 于点 ，使，再以点 为圆心、 为半径画弧，交边 于点 ，在中，，，即可得到； （2）过点 作，如图所示，在和，结合直角三角形性质及勾股定理求出相关角度及边长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，若，如图所示： ，且， 即在 上找一点 ，使，就是以为边尺规作图作等边三角形， 点 即为所求； 【小问2详解】 解：过点 作，如图所示： 在中，，，则， 设， 在中，，则， 由勾股定理可得， ，， ，解得， 则． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-作等边三角形、含的直角三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握尺规作图-作等边三角形、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 24. 如图，在 的边 上取一点 ，以 为圆心， 为半径画 与边 相切于点 ，若 与边 交于点 ，且． （1）求证： 是 切线； （2）若，求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ， 在和 中， ， ， ， 又 ∵ 是 的切线，点 是切点， ∴，即， ∵ 是半径， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接 ，证明得到，由切线的性质可得，由此即可证明 是 的切线； （2）勾股定理求得，进而可得，设 的半径为，解求出，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是 的切线， ， 在中，， ， ∴在中，， 在中，， 设 的半径为， ， ， ， ， ， ∴ 的半径为． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． （1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标； （2）若，函数图象与 轴有两个交点，且，求证：； （3）若函数图象经过点，当时，；当时，，求 的值． 【答案】（1） （2） 证明：若，则二次函数为， ∴抛物线开口向上． 又图象与x轴有两个交点，且， ∴当时，， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最大值m，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得：①， ∵当时，；当时，， ∴函数图象在时取得最大值m，即②， ∴， ∵在的右侧， ∴当时，，即③， 由①②③解得． 26. 某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． （1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． （2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 【答案】（1）甲机器人速度5（米/秒），乙机器人速度3.5（米/秒），甲机器人表演的时长4秒； （2）当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，熟练掌握函数图象，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据图象得出甲乙机器人的路程和时间，然后计算即可； （2）结合图象分为甲机器人表演前、表演时、到达终点时三种情况，分别计算即可． 【小问1详解】 解：甲机器人速度：（米/秒）， 乙机器人速度：（米/秒）， （秒）， ∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒． 【小问2详解】 当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0， 当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，， 当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时， 乙机器人的函数表达式：， 甲机器人的函数表达式：（）， 当时，得， 当，， 所以， 答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米． 27. 综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形 中，点分别在边上，且 ，则线段 与 之间的关系是______． （2）如图2，在矩形 中，，点 是 上的动点，连接 ，过点 作于点 ，交 于．问题：当 为 中点时，求 的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形 中，，点 为 上一点，连接 ，过点 作交 的延长线于点，交 的延长线于点 ． 问题：若，且，求 的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在 中，，点 是 上一动点，将沿 翻折，使点 落在点 处，连接 ．问题： ①当时，求 的长度； ②当 最小时， 的面积为______． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论． （2）根据四边形 为矩形，，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，当 为 中点时，，在中，勾股定理求出，即可求解． （3）如图，过点 作 的垂线，交 于点 ．由题意知四边形为矩形，证明，得出，在中，勾股定理求出 ，即可求解． （4）①如图，连接 交 于 ，作于 ．在中，勾股定理求出 ，当时，得出，根据等面积法求出 ，根据轴对称可得，证明是直角三角形，， 垂直平分线段 ，根据等面积法求出 ，即可求出 ，在 中，勾股定理求出 即可． ②根据轴对称可得，得出点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图，根据图象可得，即可得当点三点共线，即点E在边 上时， 最小，此时，如图，过点E作交 于点 ，在中，得出，在中，即可得，求出，设，表示出 ，在中，根据，求出 ，再根据求解即可． 【详解】（1）解： 四边形 是正方形， ， ， 在和 中 ， ， ，， ∵， ， ∴的夹角为 ， 即， 综上所述：线段 与 之间的关系是且． 故答案为：且． （2）解：∵四边形 为矩形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 当 为 中点时，， 在中，， ， ∴． （3）解：∵四边形 为矩形， ， 如图，过点 作 的垂线，交 于点 ． 由题意知四边形为矩形， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． （4）①如图，连接 交 于 ，作于 ． 在中， ∵ ，， ， 当时，， ， ， ， 根据轴对称可得， ∴点 在 的垂直平分线上． ， ∴点 在 的垂直平分线上，是直角三角形，， ∴ 垂直平分线段 ， ∵， ∴， ∴， 在 中，． ②根据轴对称可得， ∴点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图， 根据图象可得， ∴当点三点共线，即点E在边 上时， 最小， 此时， 如图，过点E作交 于点 ， ∵在中，， ∴在中，， 解得：， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称图形的性质、解直角三角形、圆相关知识点等，牢记全等三角形的判定定理及性质、相似三角形的判定定理及性质、勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $