湖北省随州市随县第一高级中学2025-2026学年高三第四次月考数学试题

**基本信息** 高三数学月考试卷注重基础与创新结合，涵盖复数、集合、立体几何等核心知识，通过阿基米德三角形、净化费用等情境考查数学眼光与应用能力，解答题梯度分明，综合检测逻辑推理与问题解决素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数运算、集合子集、样本平均数|基础概念直接考查，如集合非空子集个数| |多项选择|3/18|双曲线离心率、三角恒等变换、分段函数|多角度辨析，如函数性质判断结合递推关系| |填空|3/15|数列求和、函数零点、向量线性表示|小切口深挖掘，如结合几何图形考查向量运算| |解答|5/77|立体几何证明与探索、概率分布、导数应用、椭圆综合|综合性强，如概率题结合超市销售数据，导数题论证不等式，体现数学思维与应用|

2025-2026学年高三第四次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（　　） A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 2．已知集合A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}，则满足B⊆A的非空集合B的个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 3．样本a1，a2，…a10的平均数为，样本b1，b2，…，b10的平均数为，那么样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均数是（　　） A． B．（） C．2（） D．（） 4．日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为，若1吨饮用水的售价为528.4元，要使净化的饮用水可以获得利润，则净化到的纯净度应该低于（　　） A．89% B．90% C．91% D．99% 5．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1：2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则φ的值为（　　） A． B． C． D． 7．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称△QMN为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则△PAB的面积为（　　） A． B． C． D． 8．已知数列{an}满足nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），且{an}中小于0的项有10项，则a1的取值范围是（　　） A．[﹣22，﹣20） B．（﹣22，﹣20] C．[﹣20，﹣18） D．（﹣20，﹣18] 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知双曲线的离心率为，则（　　） A．m＝3 B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若F为双曲线的右焦点，P为双曲线右支上任意一点，则 10．已知，且，tanα＝5tanβ，则（　　） A． B． C． D． 11．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x﹣1），且当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝x（x+1），则下列说法正确的是（　　） A．f（x）有最大值，无最小值 B．存在负数x0，使得 C．当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x D．当x∈（1，2]时，f（x）＝4（x﹣2）（x﹣1） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列{an}中，，则S10＝　 　 ． 13．若函数恰有两个零点，则实数λ的取值范围是　 　 ． 14．在△ABC中，，，，，且AB与DE交于点F，则　 　 （用表示），若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为4的菱形，，PA⊥PD，PA＝2，PC＝4，M是AD的中点． （1）证明：PA⊥CM； （2）若点N为线段AP上动点，是否存在这样的点N，使得直线CN与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由． 16．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＝2sinC，b＝6，． （1）求c； （2）求sin2A和的值． 17．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，s，t∈N*） 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 s t 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设X为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求X的分布列和数学期望． 18．已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x． （1）若a＝2，求函数在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）证明：当a＞0时，． 19．已知椭圆C：． （1）若C的焦距为2，求C的方程； （2）设C的右顶点为A，点M（0，m）在y轴正半轴上． （i）若a＝3，且C上存在一点T，满足，求m的值； （ii）设线段AM的垂直平分线l的斜率为3，且l与椭圆C交于P，Q两点．若∠PMQ为钝角，求a的取值范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B B C B B C 二．多选题 题号 9 10 11 答案 AD BCD ACD 三．填空题 12．195． 13．（2，3]∪（6，+∞）． 14．；． 四．解答题 15．（1）证明：连接AC， 因为四边形ABCD是边长为4的菱形，且， 所以△ACD是边长为4的等边三角形， 又M是AD的中点， 所以，CM⊥AD， 因为PA⊥PD， 所以，∠PAD， 又PC＝4，所以PM2+CM2＝PC2，即CM⊥PM， 又AD∩PM＝M，AD，PM⊂平面PAD， 所以CM⊥平面PAD， 而PA⊂平面PAD， 所以PA⊥CM． （2）解：不存在，理由如下： 以M为原点，MA，MC所在直线分别为x，y轴，作Mz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（2，0，0），，，， 所以，，，， 设平面PBC的法向量为，则， 令y＝1，则x＝0，z＝2，所以， 设， 则， 因为直线CN与平面PBC所成角的正弦值为， 所以|cos，|， 整理得，解得t＝﹣3∉[0，1]， 所以线段AP上不存在满足条件的点N． 16．解：（1）由sinA＝2sinC，根据正弦定理可知a＝2c， 结合余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即4c2＝36+c2﹣12c×（），解得c＝4（c＝﹣3不符合题意，舍去）； （2）根据，可知A为钝角，sinA． 所以sin2A＝2sinAcosA＝2（），cos2A＝cos2A﹣sin2A． 可得sin2Acoscos2Asin． 17．解：（1）由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为． （2）依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量X的可能值为0，1，2， 可得：， ， ， 所以随机变量X的分布为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望． 18．解：（1）当a＝2时，f（x）＝2ex﹣x+4，所以f'（x）＝2ex﹣1， 得f（1）＝2e+3，点（1，f（1））处的切线斜率为f'（1）＝2e﹣1， 所以函数在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（2e+3）＝（2e﹣1）（x﹣1）， 即y＝（2e﹣1）x+4； （2）由f（x）＝a（ex+a）﹣x，得f'（x）＝aex﹣1， 当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，则f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，令f′（x）＝0，得， 当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增． 综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增． （3）证明：由（2）可知，当a＞0时，f（x）的最小值， 要证，只需证， 只需证， 设（a＞0）， 则， 令g'（a）＝0，得， 当时，g'（a）＜0，g（a）单调递减； 当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增， 所以， 所以得证， 即得证． 19．解：（1）根据题可得，b＝1，c＝1，因此a2＝b2+c2＝2， 故C的方程为． （2）（i）如图，作出符合题意的图形， 若a＝3，那么C的方程为， 由于，所以，且m＞0， 将代入，解得． （ii）如图，作出符合题意的图形， 由于AM⊥l，那么，即． 设线段AM的中点为B，那么， 可得直线l为，即． 设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立， 那么可得， 根据韦达定理可得，． 又因为，， 因此 ， 又a＞1，所以解得． 学科网（北京）股份有限公司 $