2026年数学中考复习——二次函数压轴解答题专练

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以“表达式求解-几何性质应用-动态问题突破”为主线，系统提炼待定系数法、几何辅助线、代数推理等核心方法，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表达式求解|3题|待定系数法（顶点式/交点式）|从坐标条件到函数模型，强化代数表达能力| |几何图形综合|4题|全等/相似判定、图形性质转化|几何直观与代数运算结合，构建数形结合思维| |动态与面积问题|3题|参数表示、二次函数最值、定值推理|动态变化中抽象数量关系，发展数学思维与应用意识|

二次函数压轴解答题专练 1．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且最大值为1． (1)求该二次函数的表达式； (2)若，为该二次函数图象上对称轴同侧的两点，比较与的大小； (3)若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证： 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 4．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接AB．直线y＝－2x＋8过点B交y轴于点C，点F是线段BC上一动点，过点F作轴，交线段AB于点E，交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为m，当EF＝5ED时，求m的值； (3)若抛物线上有一点H，且满足四边形ABFH为矩形． ①直接写出此时线段BF的长； ②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形（点A、B、F、H的对应点分别为、、、），点K为平面内一点，当四边形是平行四边形时，将抛物线沿其对称轴上下平移得到新的抛物线，若新的抛物线同时经过点K和点，直接写出点K的横坐标． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ． (1)求抛物线的解析式； (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． (3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c． (2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线的图象与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C，抛物线上有一动点E，连接，过点E作直线轴于点F，交直线于点H． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知直线与抛物线交于点，，且线段，求t的值； (3)连接，交直线于点Q，当点E在直线上方的抛物线上时，是否存在一点E，使?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线，抛物线交轴于点（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．    (1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式． (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接与相交于点． ①作轴，垂足为，当时，求点的横坐标． ②请求出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数压轴解答题专练》参考答案 1．(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．(1) (2)当时，；当时， (3)见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）分，同在对称轴左侧和右侧两种情况，根据二次函数的性质解答即可； （3）由点在函数的图象上可得，点，关于直线对称，不妨设，则，即，则，计算，，故可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，，且最大值为1， 二次函数的图象的对称轴为直线， ， 该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为 函数的最大值为 ， 解得 ， 该二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的开口向下，对称轴为直线，为该二次函数图象上对称轴同侧的两点， 有两种情况： ①当，同在对称轴左侧时，即，即时， 随着的增大而增大， ； ②当，同在对称轴右侧时，即时， 随着的增大而减小， ； 综上，当时，；当时，； （3）证明：点在函数的图象上， ， 由（1）知，点，关于直线对称， 不妨设，则，即，则． ， ， ． 3．(1) (2)， (3)h的值为或 【分析】（1）待定系数法求解； （2）利用二次函数解析式求出抛物线与轴的交点坐标，确定的取值范围，然后利用正方形的性质列出方程求解； （3）利用待定系数法求出相关函数的解析式，求出相关点的坐标，然后利用相似三角形的判定和性质，列出方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线的函数表达式为， ∴时，， 解得：，， ∴，， ∵点是抛物线在轴下方的一个动点，点的横坐标为， ∴． 设， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∵矩形是正方形， ∴，即． 解得：，； （3）解：设与抛物线的对称轴交于点，直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴对称轴为直线， ∵对于直线，当时，， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， 对于抛物线，当时，， ∴， 如图，当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）； 如图，当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 综上所述：的值为或． 4．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）将点坐标代入即得b、c的值； （2）由题意可知点F、E、D的横坐标相同，首先由求出直线的解析式，继而可得点F、E、D的坐标，再根据，得到F、E、D的纵坐标关系，从而求得m的值； （3）①根据矩形对边平行且相等求出直线的解析式，再求出点H的坐标，根据两点间距离公式可求出的长，即为的长；②首先求出点F的坐标，设矩形沿射线方向平移的距离，得出点的坐标，再根据平行四边形的性质，可得点的坐标，再设，即得点的坐标． 【详解】（1）将代入得， 解得 ∴ （2） ∴ ， 解得 ∵ ∴ （3）①∵四边形为矩形 ∴且 解得： ②由①易得F(3,2),设矩形沿射线方向平移 则 ∵四边形为平行四边形 ∴ 设 将代入 ， 解得 ∴ 【点睛】本题考查二次函数和一次函数、矩形、平行四边形的结合和图形移动的问题，把几何问题转换成解方程的思想是本题重点． 5．(1)抛物线的解析式为： (2)，C的最小值为 (3)最大值为 【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论； （2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论； （3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵   ∴ ∵    ∴， 将、的坐标代入 得：   ∴ ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由， 令，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当时，的最小值为； （3）如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于， 设直线解析式为：， 由(1)得：， 将， 分别代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， ，故的横坐标，代入，得：， ， ， 设，则， ， 轴于点，轴， ， ， ， 将、分别看作、为底边，则它们的高相同， ， ， 时，有最大值，最大值为 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值． 6．(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；②证明见解析；(2)存在这样的点A，A(﹣，) 【分析】(1)①由点A(﹣2，1)得到C(0，1)，利用待定系数法即可求解； ②作DE⊥x轴于E，交AB于点F，利用顶点坐标及点C的坐标求得DF＝，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，得到DF＝OC，即可证得结论； (2)由题意知顶点坐标D(﹣1，c+1)，设点A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，作如图的辅助线，证得△ANF∽△AMC，结合已知＝，求得，利用比例线段即可求解． 【详解】(1)①∵AC∥x轴，点A(﹣2，1)， ∴C(0，1)， 将点A(﹣2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1； ②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F， ∵AC∥x轴， ∴EF＝OC＝c， ∵点D是抛物线的顶点坐标， ∴D(，)， ∴DF＝DE﹣EF＝＝， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝OB，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∵∠AFD＝∠BCO＝90°， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴DF＝OC， ∴＝c， 即b2＝4c； (2)如图2， ∵b＝﹣2． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴顶点坐标D(﹣1，c+1)， 假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形， 设点A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)， 过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F， ∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝BO，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴AF＝BC，DF＝OC， 过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N， ∴DE∥CO， ∴△ANF∽△AMC， ∴＝， ∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c＝c﹣＜c， ∵AM∥x轴， ∴点M的坐标为(0，c﹣)，N(﹣1，c﹣)， ∴CM＝c﹣(c﹣)＝， ∵点D的坐标为(﹣1，c+1)， ∴DN＝(c+1)﹣(c﹣)＝， ∵DF＝OC＝c， ∴FN＝DN﹣DF＝﹣c， ∵＝， ∴， ∴c＝， ∴c﹣＝， ∴点A纵坐标为， ∴A(﹣，)， ∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等，求得D的坐标是解题的关键． 7．(1) (2)（2，4） (3)（5，）或（-3，）或（3，） 【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可； （2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可； （3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，-m+4）， ∴， ∴ ， ∴当时，△BEC的面积有最大值， 设点E到BC的距离为h， ∴， ∵BC是定值， ∴当△BEC面积最大时，h有最大值， ∴当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）； （3）解：设点P的横坐标为（n，）， 如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴（平行四边形对角线中点坐标相同）， ∴n=5， ∴点P的坐标为（5，）； 同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时， ∴， ∴n=-3， ∴点P的坐标为（-3，）； 如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时， ∴， ∴n=3， ∴点P的坐标为（3，）； ∴综上所述，点P的坐标为（5，）或（-3，）或（3，） 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键． 8．(1) (2) (3)存在点或，使 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）联立，得，设，，则，是关于x的一元二次方程的两根，根据根与系数的关系得出，，根据，利用两点间距离公式得出，得出，求出t的值即可； （3）先求出直线的函数表达式为，根据，得出，证明，得出，求出，设，则，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：联立，得， ∵直线与抛物线交于点，， ， ， 由题意可设，，则，是关于x的一元二次方程的两根， ，， ∵线段， ， ， ， ， 即， 解得：． （3）解：存在点或，使． 理由如下：由题易知，， 设直线的函数表达式为，代入，，得： ， 解得， 直线的函数表达式为， ∵， ， ∵， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ∵， 存在点或，使． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 9．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用抛物线经过的点以及对称轴，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，进而表示出与的长度，得到，是等腰直角三角形，的长度，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一可得的长，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）分点在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴交于、两点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． （2）解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点作于，则点是的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边上的高的最大值为． （3）解：当点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 当点位于下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点与点重合， ， 综上所述：或． 10．(1)，； (2)①P的横坐标为；②的最大值为：． 【分析】（1）根据中心对称的性质可得的表达式，再令，求解，的坐标即可； （2）①如图，连接，设，而，求解直线为，可得，，再利用建立方程求解即可；②作于，而，可得，可得，再建立二次函数的模型解题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． ∴抛物线为：， ∴， 当， 解得：，， ∴，； ∵， 当时，， ∴， 设为， ∴， 解得：， ∴为； （2）①如图，连接，设， 而， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴，，    ∵， ∴ ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴P的横坐标为； ②作于，而， ∴， ∴， ∴，    ∵，， ∵，， ∴， ∵，， ∴当时， 的最大值为：． 【点睛】本题考查的是中心对称的性质，求解函数的解析式以及交点坐标，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题的计算量大，难度大，熟练的计算是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $