专题02 二次函数（解答24题压轴题5大题型）（压轴题专练）（上海专用）【上好课】2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 二次函数（解答24题压轴题） 命题预测 · 结合近三年中考真题（2023-2025）、2026年各区二模考情及课程标准要求，2026年上海中考第24题将延续固定结构，同时呈现以下3大趋势，难度与往年持平，侧重基础运算与逻辑推理的结合： · 1. 基础问（第1问）：稳中不变，侧重灵活求解析式 · 2. 中档问（第2问）：强化含参运算，新增细节陷阱 3.压轴问（第3问）：存在性分类讨论，聚焦经典模型+小幅创新 高频考法 第1问：已知抛物线与x轴两个交点+另一点（考频最高） 第2问：线段长度/线段比值（考频最高）；三角形面积（考频中等）；定点问题/含参范围求解（近三年新增） 第3问：直角三角形存在性（考频最高）；平行四边形存在性（考频极高）；直角梯形存在性（近三年热门）；相似三角形存在性（潜在考法）；等腰三角形存在性（基础考法） 典例·靶向·突破 题型01 存在性分类讨论 1．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 2．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 3．（2026·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 题型02 线段问题 4．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 5．（2026·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 6．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 题型03 平移与角度问题 7．（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 8．（2026·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)若点到抛物线的对称轴的距离为2，求的值； (2)若，点为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点的坐标： (3)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线上．如果，求抛物线的解析式． 9．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 10．（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 题型04 面积问题 11．（2026·宁夏·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 12．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 题型05 定点问题 13．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，其顶点为是轴正半轴上一点，直线交抛物线的对称轴于点，已知，连接，，交抛物线的对称轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求的值； (3)作点关于点的对称点，作点关于的对称点，把抛物线沿轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线恰好同时经过点，试探究抛物线和抛物线是否交于某个定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 14．（2026·上海杨浦·二模）已知抛物线，抛物线上有点． (1)当抛物线顶点坐标为，且经过时； ①求抛物线解析式； ②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围． (2)已知； ①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率； ②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围； ③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由． 1．（2026·上海黄浦·一模）已知二次函数的图像经过点、． (1)试用字母的代数式表示； (2)如果二次函数图像上存在点，使得直线垂直平分线段，求此二次函数的解析式； (3)试问：二次函数图像的对称轴是否可能平分线段？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 2．（2026·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为．沿着x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线与x轴的夹角为． (1)如果，，求该抛物线的表达式； (2)已知点N在抛物线的下降部分，且． ①求的值； ②平移抛物线，使新抛物线的顶点落在线段上，且新抛物线与y轴交于点C．已知点M的纵坐标为1，当四边形是以为腰的等腰梯形时，求点的坐标． 3．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 5．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 7．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 8．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 11．（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 12．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数（解答24题压轴题） 01压轴命题透视 结合近三年中考真题(2023-2025)、2026年各区二模考情及课程标准要求，2026年 上海中考第24题将延续固定结构，同时呈现以下3大趋势，难度与往年持平，侧重基础运算 与逻辑推理的结合： 命题预测 1.基础问（第1问）：稳中不变，侧重灵活求解析式 2.中档问（第2问）：强化含参运算，新增细节陷阱 3.压轴问（第3问)：存在性分类讨论，聚焦经典模型+小幅创新 第1问：己知抛物线与x轴两个交点+另一点（考频最高） 第2问：线段长度/线段比值（考频最高）；三角形面积（考频中等）；定点问题/含参范围 高频考法 求解（近三年新增） 第3问：直角三角形存在性（考频最高）；平行四边形存在性（考频极高）；直角梯形存在 性（近三年热门）；相似三角形存在性（潜在考法）；等腰三角形存在性（基础考法） 02压轴题型精讲 典例靶向突破。一 题型01存在性分类讨论 1.(2026上海徐汇一模)如图，抛物线=+x+c与销交于小月两点，与y轴交于点C·已知 A-2,0)、D(4,-6) B D (1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标； 1/101 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将抛物线向上平移，设点D的对应点为点E,射线BE交线段AD于点F, ①如果AD恰好平分∠CAE,求平移之后的抛物线的表达式； ②如果△DEF与△ABD相似，求平移的距离. 【答案1y=号2-2x-6,顶点M2,-8 a0y-2x-2:@0E-5或5 【详解】（a)解将点4机-20，D14-6代入抛物线+bc+c得， ×4-2b+c=0 ×16+46+c=-6 1 b=-2 解得c=-6, 抛物线的表达式为y=-2-6, 对称轴为直线x=2 当x=2时，y=2×4-4-6=-8, 顶点M2,8) 2解：①对于抛物线y=)2-2x-6,令r=0,得v=6 .C0,-6) D4,-6) 则CD∥x轴，且CD=4, 过A作AG⊥DC,交DC延长线于点G, 2/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GC :A-2,0),D(4,6) ∴AG=DG=6, ∠ADG=45°， 由题可知点D向上平移到点E, 则DE∥y轴，即DE LCD, .∠ADE=90°-∠ADC=45°， :AD平分∠CAE, .∠CAD=∠EAD, 在△ACD和△AED中， ∠CAD=∠EAD AD=AD ∠ADC=∠ADE' ∴，△ACD≌△AED(ASA ∴CD=DE=4, '点D向上平移4个单位到点E,即抛物线向上平移4个单位， 平移之后的抛物线的表达式为方-2x-6+4-2x-2。 ②解：设抛物线向上平移了t个单位， :E4-6+) 令-2x-6=0,得x-2政6 .B6,0 设直线AD的表达式为y=mr+n, 3/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [0=-2m+n m=-1 代入A-2,0),D(4,-6)可得-6=4m+n,解得：n=-2, 故直线AD的表达式为y=-X-2, 设直线BE的表达式为y=Cx+d, 6-t C= 代 可得0=6c+d,解得： 2 B6,0),E4,-6+t-6+t=4c+d n=3t-18 故直线G的表达式为y-6x-0, y=-x-2 联立 y=6x-6 2 [32-6t x= 8-t 解得 y=48+8, 8-t 即F /32-6t-48+8t 8-t’8-t 8=40-9408-65e-4m-4296可 32-6t 22t 8-t, ∠ADG=∠DAG=45°DE∥y 轴， CD∥x轴， .∠FDE=∠BAD=45°， 分两种情况讨论： 当△ABD∽△DFE时， 8 6v2 则ABAD,即2√2tt, DF DE 8-t 解得t=5: 当△ABDP△DEF时， 8_6v2 则ABAD,即t2N2t, DEDE 8-t 4/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 解得1=3： 16 综上，平移的距离为5或3个单位. 2.(2026上海松江一模)在平面直角坐标系0中，一条抛物线与×轴交于点4-2,0、点B4,0),与 y轴正半轴交于点C,顶点为点D,且OB=OC. yA 4 34 1 -3-2-,0123456x -2 (1)求该抛物线的表达式和点D的坐标； (2)P是抛物线上位于第一象限内的一点，且∠PAB+∠CAB=90°. ①求点P的坐标： M ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点”，使得四边形 PMQN是平行四边形，求平移的距离， 【答案1+4，p》 5 (2① ②4-2W2或4+2V2个单位长度 【详解】(1)解：：一条抛物线与轴交于点-20)、点B4,0, 设抛物线的解析式为'=a(x+2川x-4) ...OB=OC B(4,0) ∴.OC=OB=4, 抛物线与y轴正半轴交于点C, 5/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,C0,4 把C0,4代入y=ax+2x-4,得a10+20-4到=4，解得a=, y=- x+20x-4到=2++4， 1 .=1 抛物线的对称轴为直线 (2 当x=1时，y= ×I+1+4=9 (2)解：①，∠CAB+∠OCA=90°，∠PAB+∠CAB=90°， ∠PAB=∠OCA, 4-2,0),C0,4) 0A=2,OC=4 an∠0CA=04=1 0C2, tan∠PAB=tan∠0CA= 21 设直线AP与y轴交于点E,则：an∠PAB-OE= 0A 2' .OE=1 点P在第一象限， E(0, 设直线AP的解析式为y=a+1, 把4-20代入，得-2张+1=0：解得k=另 2+1 6/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 y=2x+1 x=3 联立 44 解得x=-2或 5 y=0 y-7 4 A B -32-1,0123456x ②设抛物线向右平移 (h> 个单位，得到新的抛物线， y= 2+x+4=x-12+9 ”2 平移后的抛物线的解析式为=x-1小2+ 2, 9 ,平移后的抛物线的顶点坐标为 M1+h 3+h,2 设m PMON 四边形 为平行四边形， PO,MN 为对角线， 7/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+3+h=m+1+h 55m9 “2+2+2 m=5 1 m=2 起代入y=1+利-51- 解 h=4-22或h=4+2W5 -22.4+2√2 即平移的距离为 或 个单位长度 4 3, E BAN -321 0123 5 67891012x 3.(2026上海崇明二模)在平面直角坐标系0中，已知抛物线”=ar-6a+a<0)与'轴交于 A1,0) 和点B,顶点为D. 8/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 欲 4 3 4-3-2-1回12345 34 (1)求此抛物线的对称轴及点B的坐标； (2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点P是抛物线上横坐标为2的一点，BP与对称轴交于点N,连接 BD ①求5awS8u的值： ②设直线PD与x轴交于点F,过点F作BD的平行线，与'轴交于点E,当四边形BDFE是直角梯形时， 求∠PBO的正切值. 【答案】(I)抛物线的对称轴为直线x=3,B(5,0) √25 (2)①1②2或2 【详解】(1)解：根据题意知抛物线的对称轴为直线x=一 6=3, 2a :抛物线'=r-6ar+ca<0与轴交于 1,0) 和点B, ∴.抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为直线x=3, :点6在对称销的右侧，设点8天0，则-3，解得x=5 :B5,0 (2)①解：如图1， 9/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 都 4 B 4-3-2-1g121 4 -2 图1 :抛物线’=ar-6ar+ca<0)与x轴交于11,0， ÷把110 代入y=ar-6ar+c,得0=a-6a+c,得c=50, :y=ar2-6ar+5a=a(x-3)2-4a D3,-4a ∴抛物线的顶点 ,点P是抛物线上横坐标为2的一点， 2时，y=a2-6a2+5a=-3a 当s 点P2-3 设直线BP的表达式为y=a+n, 「2k+n=-3a [k=a 把P(2,-3a,B(5,0)分别代入，得5k+n=0,解得n=-5a, BP y=ax-5a 直线的表达式为 当x=3时，y=3a-5a=-2a, 点32a) :DN=-4a-(-2a=-2a,MN=-2a S.mow:5.oMw=DN:MN=(-2a):(-2a)=1 ②解：过P作PC⊥x轴于C, 10/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P2-3aB5,0 PC=-2a,BC=5-2=3 tan∠PBo=PC、-3a BC 3 -a DP y=mx+b 设直线 的表达式为 ,与y轴交于G, 把D34a,P23a代入，得 3m+b=-4a m=-a 2m+b=-3a,解得b=-a, .直线DP的表达式为y=-ar-a, 当y=0时，-ar-a=0,解得x=-1:当x=0时，y=-a, F-,o,G0,-a OF=1,0G=-a 设直线BD的表达式为y=hx+t, 把B5,0,D3,4@,代入，得 [5h+t=0 h=2a 3h+t=-4a,解得t=-10a, BD y=2ax-10a 直线 的表达式为 EF BD ∴设直线EF的表达式为 =2ax+p 把F-l,0)代入，得2a+p=0,解得P=2a EF y=2ax+2a 直线的表达式为 11/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=0时，y=2a, E(0,2a) 即0E=-2a 情况一：如图2，当EF⊥DF时，∠EFG=90°， 5 4 3 D G -4-32 123 3 图2 ,∠FOG=∠EOF=90° ∴.∠OFG+∠EFO=∠EFO+∠OEF=90°， ∴.∠OFG=∠OEF, ∴.△FOG△EOF, OF OG 1 -a √2 = ∴.OEOF,即-2a1,解得 2, a<0, as- 2 tan∠P80=-a=V2 ； 情况二：如图3，当EF⊥BE时，∠BEF=90°， 4-3-2 23 图3 ,∠FOE=∠EOB=90°， 12/101 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠OFE+∠OEF=LOEF+∠OEB=90°， ∴.∠OFE=∠OEB. ∴.△EOFABOE, 0E80,即=20 .OF OE -2a5，解得a= 2, a<0, ..a=-V , an∠PB0=-a= 2； 综上，当四边形 BDFE 是直角梯形时，求∠PBO 题型02线段问题 4.（2026上海长宁一模)在平面直角坐标系0中，抛物线”=-+mx+2与轴的负半轴交于点4， xOv 与y轴交于点C. (1)已知an∠AC0= 2 ①求抛物线的表达式。 ②若点B为该抛物线上一点，且△ABC的重心恰好落在x轴上，求点B的坐标. M(0,3)、N(2,3) (2)坐标平面内有点 如果抛物线y=-+mr+2与线段MN有且只有一个公共点，求m 的值或取值范围. 1+17。 【答案】(1)①抛物线的表达式为y=-x2+x+2:②点B的坐标为 2,2 (2)当m=2或m>2时，抛物线y=-x2+x+2与线段MN有且只有一个公共点 ,=0 y=2 【详解】(1)解：①当”时， 故点C坐标为 0,2) ∴0C=2, 13/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :tan∠ACo= 2, OA1 002' ∴OA=1,且A在x轴负半轴上， 点A的坐标为 -1,0) 代入y=-r+mr+2,得0=--1+mx-+2。 解得m=1, 抛物线的表达式为'=-+x+2 ②解：：重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为1：2的线段，若重心在x轴上，则点B一 定在x轴的下方， 令AC中点为D,重心为点G,过点D作DE⊥x轴交x轴于点E,过点B作BF⊥Lx轴交x轴于点F,如下 图所示： C C D G A ■ B A-1,0)C(0,2) 由 得点)的坐标为 假设点B的坐标为 a,-a2+a+2 DE=1, BF=0--a2+a+2=a2-a-2 :∠DGE=∠BGF,∠DEG=∠BFG=9O°， .△DEGP△BFG, 14/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF BG 2 六DEDG1' 即-a-22 1= 得a2-a-2=2, 解得a=1+V7 (图左)或a=1回 2 (图右)· 当a=1+7 2 时， y=-a2+a+2=-2 当a=1-7 2 时， y=-a2+a+2=-2' 1+17 故点B的坐标为 22 (2)解：图象开口向下，且经过点 (0,2) 由此判断当m<0时，函数对称轴为直线x=<0, 2 当x>0时，函数值随x的增大而减小，故不可能会与线段MN有交点， m>0, 当抛物线y=3时，得-x2+mx+2=3, 化简得x2-mx+1=0 要使方程有一个解，且对应的解应在0≤x≤2的范围内， 则A=(-m2-4×1×1=0 解得m=2或m=-2(舍去)， 当m=2时，-x2+2x+2=3, 解得x=-1(舍去)或x=1(满足0≤x≤2)， 故当m=2时，满足抛物线'=-+m+2与 “与线段MW 有且只有一个公共点： 随着m的增大，函数与线段MN有两个交点， 当=0时，函数值’=2，在点M下方， y=2 当x=2时，函数值应在点N上方，即y>3即可满足要求， 15/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得-22+2m+2>3, 5 解得m>2, 综上所述，当m=2或m>之时，抛物线y=-r+m+2与线段N有且只有一个公共点。 5.(2026上海闵行二模)在平面直角坐标系0中，过1-，0)、B(0,-3 两点的抛物线'=x+bx+c (其中b、c是常数)与x轴的另一个交点为C,顶点为D. (1)求这条抛物线的表达式： (2)如果点 E(m,n 在抛物线上，且在第四象限，过点E作EF∥"轴，与抛物线的另一个交点为F,连接 BC EH∥y ,作 轴，交BC于点”，连接FH ④当tan∠FHE=2时，求m的值： 1 ②抛物线'=r+x+C关于直线F对称所得新抛物线的顶点为G,如果点G刚好落在线段FH上，求点 E的坐标 【答案】)r2-2x-3 7-√33 a=e12政g别 （21m=2-或？=之1 【详解】1)解：将4-L0、B0,-3)两点代入y=r+hx+C 1-b+c=0 得：c=-3 16/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=-2 解得：c=-3 y=x2-2x-3 则抛物线的表达式为： (2)①当E在对称轴x=1的左侧， H EDF B(0,-3C(3,0) 由题可知，点 设直线BC的解析式为：y=x+b, b=-3 将点B(0,-3),C3,0),、代入解析式得：3k+b=0, [k=1 解得：b=-3, 则直线BC的解析式为：y=x-3, E(m,n 点 在抛物线上， 则点Emm2-2n-3) 点F2-mm-2m-3到，H川m,m-3) ∴EF=2-2m. EH=m-3-m2-2m-3=-m2+3m 1 .:tan∠FHE= EF 2-2m 1 …EH-m2+3m2 17/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴解得： n= 7-V33 2, 当E在对称轴x=1的右侧， A O H B FDE 点Emm-2m-3) 点F2-mm2-2m-3).Hm,m-3到 EF=2m-2,EH=m-3-m2-2m-3到=-m2+3m tan∠FHE=2 EF 2m-2 1 EH=-m2+3m-2 17-1 ∴解得： 2, 综上所述：m= 7-33 2 或m=7-1 2 ②根据题意可知 18/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D 点Em,m2-2m-3) ,点D1-4 点G,2m2-4m-2 F2-m,m2-2m-3H(m,m-3 设直线FH的解析式为：y=+b, [2-mk+b=m2-2m-3 则将F2-m,m2-2m-3,Hm,m-3代入解析式得km+b=m-3 m2-3m k= 2-2m 解得： b=m-3- m3-3m2, 2-m 则直线 1的解析式为：y=加+m-3应-3m】 2-2m 2-2m, 将点G1,2m-4m-2列代入直线FH解析式 得：2m2-4m-2=m2-3m 2-2m m-3-m3-3m2 2-2m 解得m=2或m=3 132 点E2,-31或39)： 6,(2025上海闵行一模)如图，在平面直角华标系，O中，抛物线C:=式+加+c（人6是常 2 数)经过点A56,对称轴为直线x=1,顶点为8. 19/101 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ! (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标. 2)点M为抛物线C上的动点，过点M作直线=m ①当点M在对称轴右侧时，抛物线在直线x=m右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为2-m,求m 的值： ②当点M不在坐标轴上时，直线=m交抛物线C:”=产-2x- 于点P,过点P作》轴垂线，垂足为点 D,在线段PD的延长线上截取D O=2PD ，连接吧，当抛物线C的顶点B在aPOM MO 内部时，直接写出 m的取值范围。 【答案】C:y=号x+x+ 2 ,B1,2 2@m=2+V5 ②m>1+6威3<m<1-6 【详解】(1)解：对称轴为直线x=1, 6 1 .b=1, “抛物线9：+“经过点45-可， +5+c=-6 3 解得c= 20/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 :抛物线C的函数表达式为y=一2 2+x+ 2 当x=1时，y=2, .B1,2 (2)解：①由题可知 m2+m+ M 当点M在对称轴右侧时，抛物线在直线x=m右侧部分是y随x增大而减小， ∴M点即为最高点， 3 此时2m+m+22-m, 解得m=2±V5 ∴M在对称轴右侧，即m>1, ∴.m=2+√3 ②当m≥1，如图， B 找出临界值，点B在P№上时， 由题可知 m,m2-2m-3) .m2-2m-3=2, 解得m=1+v6或m=1-v6 (舍去)， m>1+√6： MO 点B在线段 上时， 21/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意-2m.m-2m-引，Mm,m2+m+ 设直线M⑨解析式为y=x+p,代入M,Q坐标得： -2mk+p=m2-2m-3 mk+p=- m2+m+ k= -m2+2m+3 解得 2m (p=0 M0解析式为y=-m+2m+3 2m MO 点B在线段 上时，代入B坐标得： -m2+2m+3=2 2m m2+2m-3=0 %=-3 (舍去)， m2=1 综上m>1+V6 当点M在点B左侧时，即m<1,如图， B M 同理可得m<1-V6: MO 点B在线段上时， 由题意Q-2,m2-2m-3引，Mm,)m2+m+ 设直线MQ解析式为y=c+9,代入M,Q坐标得： 22/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2mk+g=m2-2m-3 mk+g=-Im m2+m+ 3, 2 k=-m2+2m+3 解得 21m (9=0 六M0解析式为y=-m+2m+3 , 2m MO 点B在线段 上时，代入B坐标得 -m2+2m+3=2 2m m+2m-3=0 m1=-3,m2=1 (舍去)， -3<m<1-V6 综上， m>1+v6成-3<m<1-V6 或 题型03平移与角度问题 7.(2026-上海虹口一模)如图，在平面直角坐标系0中，已知抛物线’=+2a+a≠0交x轴于 点-3,0 和点B,交'轴于点C,抛物线的顶点为D y (1)直接写出点B的坐标，并用含a的代数式表示顶点D的坐标： (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是B,且与'轴的交点为E,连接AC、AE，如 果△ACE的面积为6，求a的值： 23/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3当点D的坐标为--时，如果点P在抛物线上，且∠ADP=45,求点P的坐标 【答案】B1,0),D(-1,-4a (2)a=-1 435 (3)当∠ADP=45°时，点P的坐标为2,5)或39) 【详解】(1)解：y=r+2ax+ca≠0) 对称轴为直线x= 2a二1， _2a 4-30) .B() 抛物线交x轴于点 A(-3,0) ,9a-6a+c=0,即c=-3a, 将r=-1和c=-3a代入y=am+2r+c,得D-l4a B1,0)D(-1,-4a) (2)解：设平移后的抛物线为广=ax-刂， 新抛物线与V轴的交点为E, E(O,a 抛物线交y轴于点C, :c0,c,即C0,-3a .CE=a-(-3a)=4al -3,0) 24/101 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点A到y轴的距离为3， SACE= 2×4ax3=6la, △ACE的面积为6， :6al=6 解得：a=士1 新的抛物线的最高点为点B, 新抛物线的开口向下， a<0, a=-l: (3)解：D-1-4 a=1,即抛物线开口向上， y=r2+2x-3 A-3,0)D(-1,-4 AD=V-3+12+(0+42=25, 设Ppp+2p-3) 如图，当点P在点A上方时，过点A作AE⊥AD交直线DP于点E,作DF⊥x轴于点F,作EGLx轴于点 G, E B D .AF=2,DF=4, ∠ADP=45°，AE⊥AD, 25/101 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△AED是等腰直角三角形， AD=AE=2V5 '∠DAF+∠EAF=90°，∠DAF+∠FDA=90°， ∠EAF=∠FDA, ∠AFD=∠EGB ∠EAF=∠FDA 与 中， △AFD AEGA AE=AD △AFD≌△EGAAAS) ..AF=EG=2,DF=AG=4, 此时点G与点B重合， E(1,2) k+b=2 设直线DP的解析式为y=c+b,代入E(1,2),D(-1,-4),得-k+b=-4, [k=3 解得：b=-1, y=3x-1 y=3x-1 x=-1 x=2 联立y=x2+2x-3,解得： y=-4(与点D重合，舍去)， y-5, P(2,5) 如图，当点P在点A下方时，过点A作AO L AD交直线DP于点O,作DM上x轴于点M,作ON1x轴于 点N, 26/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M B OG (O PD △AMD≌ONA(AAS) 同理可求： ∴，AM=ON=2,DM=AN=4, .0(-7,-2) 「-7k+b=-2 设直线DP的解析式为y=+b,代入O(-7,-2),D-l,-4),得-k+b=-4, 解得： 13 b=- 3 y= 113 3 3 联立少-113 -x一 3 33,解得：x=-1(与点D重合，舍去)， 35, y=x2+2x-3 y=-4 y= 9 435 当∠ADP=45°时，点P的坐标为2,5)或39 8,(2026-上海金山二模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：y=+(a<0,b≥0经过点 A-1,-3) 27/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若点A到抛物线的对称轴的距离为2，求“的值： BC 25 (2)若a=一2，点B为抛物线上一点，线段4B与x轴交于点c:且AC=24,求点g的坐标： (3)将抛物线1先向右平移m个单位，再向上平移”个单位 m>0,n>0 ,使所得的新抛物线经过原点且顶 点在直线少=-x+3 .如果m+n=3 求抛物线的解析式。 【答案】(1)a=-1 525 22'8 37-1},19-37 6 【知识点】y=ax2+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题（二次函数综合入、其他 问题（二次函数综合） 【详解】(1)解：：y=ar+bx b 抛物线1的对称轴为直线x=一2a, a<0,b≥0 。-力≥0，即抛物线1的对称轴为y轴或在y轴右侧， .2a :点A到抛物线的对称轴的距离为2， 28/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线的对称轴为直线x=-1+2=1, b1 :.2a ∴.b=-2a, 把点A的坐标代入y=r+r得0-b=-3。 a+2a=-3, ∴a=-l: 2)解：当0=时则4：y=-方+加， 1 1 把点A的坐标代入y=一 2+bx得)b=3, b=5 2 1 :y=- 2: 如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BFLx轴于点F,则AE∥BF, B EO .△ACE∽△BCF, BF BC AEAC' BC 25 AC24,A-1,-3),即4E=3” BF 25 3=24 Bp=25 81 25 +2=8, 29/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得X=为=2， 525 点B的坐标为28人： (3)解：抛物线：y=ar+h(a<0,6≥0)经过点4-l,-3) .a-b=-3, ∴.b=a+3, 抛物线的解析式为'=ar+(a+3列x :将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位 m>0,n>0 后得到新抛物线？ 新抛物线的解析式为'=ax-m+(a+3)(x-m)+n b-b2 抛物线l的顶点坐标为2a’4a b -62 +n 抛物线l,的顶点坐标为2 +m,4a 抛物线的顶点在直线 =-x+3 上 ta tn=b -m+3, 2a ,.m+n= +3, 2a 4a m+n=3, bb2 =0 2a 4a b2+2b=0 .b=-2(舍去)或b=0, .a=-3; 30/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 新抛物线经过原点， 0=a0-m)2+(a+3(0-m)+n am2-am-3m+n=0 4-3m+3m-3m+3-m=0 3m2+m-3=0 解得m=37- 6 或m=-37-1 6 (舍去)， 新抛物线2的解析式为)=-3列 6 9.(2026上海奉贤二模)在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样 的点称为“一步点”，例如点0，-、(32) 都是“一步点” 在平面直角坐标系xOy中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为2时， 该抛物线与'轴的交点为 0,5 5 2 1 -5-4-3-2-10 12345 -2 -3 4 -5 (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； y=-2x+4x, (2)已知直线 +4与”轴、'轴分别交于点1、8.将(1)中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果 新抛物线的顶点C还是“一步点”.设点C的横坐标为m. 31/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当点C在△ABO的内部时，求m的取值范围； ②设新抛物线与y轴的交点为D,当∠CDO=∠ABO时，求新抛物线的表达式. 【答案】(1)=r-4x+5(3,2) 2①1<m<3:②y=x2+4x+1 【详解】(1)解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为2时，顶点坐标为2,1， 设抛物线的表达式为y=a(x-2+1 将0,5)代入得，5=a0-2'+1, 解得a=1, 抛物线的表达式为=(x-2+1,即=-4+5， 设抛物线上的“一步点”坐标为x川，则少=-1 将y=x-1代入抛物线表达式得，x-1=x2-4x+5, 解得2七3 当=2时，1，点为21 当=3时，y=2,点为3,2 y=-2x+4 (2)①对于 令x=0,得y=4,B0,4) 令=0，得x=2,12,0), :顶点C是“一步点”，且点C的横坐标为m, ∴.C(m,m-l 若点C在△ABO的内部，则点C在第一象限且在直线AB下方， 32/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m>0 m-1>0 m-1<-2m+4' 解得1<m< 3, .5 ÷m的取值范围是1<m<3: ②由平移性质可知，新抛物线的表达式为y=(x一m'+(m-, 令x=0,得y=m+m-1,D0,m2+m-1, 过点C作CE上y轴于点E,则E0,m-1, :.CE=ml.DE=(m2+m-1)-(m-1m 在RtACED中， an∠CDE=CE=m1 ΓDEm2m, 在RAB0中，an∠AB0=OA-2-1 OB42· :∠CDO=∠ABO, 11 m2,解得m=2, 当m=2时，y=x-2+1=r-4r+5,与原抛物线重合，不合题意，舍去， 当m=-2时，y=(x+2)2-3=x2+4x+1 六新抛物线的表达式为》=r+4红+1。 10.(2026·上海浦东新·二模)定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个 点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”. 33/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )已知y=r+bx+ 是一次函数”=-+3的一条“贯轴抛物线”，求5、「的值： (2)已知一次函数y=-x+n(其中n为常数，n>0)的图像与x轴、y轴分别交于点A、点C，,它的一条 “贯轴抛物线”y=+mx+”与”轴的另一个交点为B,顶点D在第一象限，如果在'轴上存在点E, 使得四边形BCDE是平行四边形，求n的值； B)一个二次函数既是一次函数1=-+2k+又是一次函数为=(2+)x+2+1(其中人为常数，>0 )的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与x轴分别交于P、Q两点（点P在点Q的左边），与y轴交于 点M.如果二次函数图像上始终存在点N,且V在第四象限，使得∠PMN=75°，求满足条件的k的取值 范围。 b=-4 【答案】(1)c=3 (2)n=3 0sf<3-1 (3 2 【详解】(1解：令=0，得直线'=-x+3与'轴的交点为0,3)， 令y=0,得直线y=-x+3与x轴的交点为 ,0 由题意知点 3,0,(0,3)在抛物线y=r+hr+c上 分别把x=3,y=0和x=0,y=3代入得： [9+3b+c=0 c=3 34/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [b=-4 解得：c=3. (2)解：直线y=-x+”与轴，'轴分别交于点 A(n,0)C(O,n) 点g0 在抛物线y=-x+m+n,① -n2+mn+n=0 ,n>0,∴.n=m+1. 令少0 代入①式，得： -x2+n-1)x+n=0 -15=n -1,0 B点坐标为 ,四边形BCDE为平行四边形， 2x-1-8=1 ,解得m=2. .n=3」 (3)解：：一次函数片=-x+(2k+ 当x=0y=2k+1 1,当=0，则x=2k+1, 同理：由一次函数4=(2+)x+2+可得 当x=0,y=2k+1 +1,当=0，则=， 结合题意知：P-1.0),M(0,2k+,Q(2k+1,0) OM=00=2k+1 ∠0MQ=∠OQM=45° 35/101 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点N在第四象限且∠PMN=75°时，则∠PMQ>75°， 在△PMQ中，，∠PMQ>75°，∠PQM=45°， ∠MPO<60° 如图， 当∠RP0=60 时，R0=PO.tan60°=V5 当∠TP0=45°时，TO=P0=1, 在△PM0中，：M0=2k+1>1=P0(k>0), ∠MPQ>45° 45°<∠MP9<60° .1<2k+1<V5 :0<f<3-1 2. 题型04面积问题 y=x+4 11.(2026宁夏一模)如图，在平面直角坐标系中，直线”=+4与轴、》轴分别交于4、8两点，抛 物线少=-x+br+c 经过A、B两点，并且与轴交于另一点C(点C在点A的右侧)，点P是抛物线上一 动点 36/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B C (1)求抛物线的解析式： 2若点”是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作 轴交A PD∥y B于点D,设点'的横坐标为'，请 用含t的代数式表示出PD的长度： (3)在(2)的条件下，当三角形ABP的面积为6时，求点P的坐标. 【答案】()少=-r-3x+4 PD=-12-4t 2 P(-1,6)(-3,4) (3) 或 【详解】(1)解：对于少=x+4 当x=0时，y=4；当y=0时，x=-4, A(-4,0)B(0,4) 代入抛物线少=-r+bx+c 得 [0=-16-4b+c 4=c b=-3 解得c=4, ÷y=-2-3x+4 37/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （2)解：设P,-1-3+4,Du1+ PD=yp-yo=-t2-3t+4-(t+4)=-t2-4t AP.BP (3)解：如图，连接 B D SmX01xP0=方x4xPD=2--刻=6 1 解得t=-1或t=-3, 故P(-1,6)或(-3,4)」 12.(2026上海虹口.二模)已知抛物线"=ar+x+c(a≠0) 备用图 (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时 a和c之间的数量关系： -1 … 2 2 (2)已知点C为抛物线与y轴的交点，点A、B在抛物线上，连接OA、AC、CB和OB. ①如果四边形OACB为正方形，那么b的值是-，a和C之间的数量关系是_： ②如图，当a<0时，已知四边形OACB为菱形，cot∠AOC=2.点P在抛物线上且横坐标为2，连接PA、 PC,如果△PAC的面积为12，求抛物线的表达式. 【答案】(1)抛物线的对称轴是x=0,a+c=2 38/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①b=0,ac=-2 ®r6 【详解】(1)解：由表可知，抛物线经过点一1,2)和山，2)， ·抛物线的对称轴是x=0, b=0 x=-2 六抛物线的解析式是'=ar+c(a≠0) 把点-12的坐标代入可得：a+c=2 (2)①解：当=0时，可得：y=ar+br+c=c。 点C的坐标为0d, :四边形OACB是正方形，OC是正方形的对角线， ·点A、B关于OC对称， ∴抛物线的对称轴是x=0, ∴.b=0: ·AB=OC,点A、B的纵坐标是2， 可得：r2+c= C 2 整理得：2ax2+c=0, 解得： x= 2a, .AB=2- 2a 39/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得： -2ac C, -a .a2c2=-2ac, 解得：ac=-2或ac=0(不符合题意，舍去)： ②解：如下图所示，连接AB,PA、PC, :四边形OACB为菱形， .AB⊥OC,AE=BE,CE=OE, :cot∠AOC=2, ∴.OE=2AE, .OC=c, :.OB=C.AE= 2 4 CC 点的坐标是42 CC 把点4的坐标-42)代入y=a2+c c 可得： 十C= 16 8 解得：c= 2-4 地物线的解折式为y=-。,点，的坐标(？)。 :点P的横坐标为2， 5p=ar2-8=4a-8 a 点p的坐标为2,4a-8】 设直线P的解析式是'=mx+mm≠0) 2 4 1m+n=- a 则有 8, 2m+n=4a- a 40/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=2(a+1 解得： n=-8-4, a 直线4P的解析式是y=2a+1)x-8-4 当x=0时，可得：y=2(a+1)x-8-4=-8 4 :F的标为8- ar-(88(84, 3-5e+8}4+x2x4=12, cs、8 a' 1 1 .a=-2 8 .c=-9=16 、抛物线的解析武为y=)+16 题型05定点问题 13.(2026上海嘉定一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 :y=alx+2(x-4(a>0)与x轴相交 于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,其顶点为D.E是y轴正半轴上一点，直线AE交抛 41/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 物线，的对称箱于点p已知m∠P4B=,连接AC,BC:BC交抛物线L的对称轴于点F B CD 备用图 (1)求直线AE的函数表达式： (2)连接PC,PB,当△PCB和△ABC面积相等时，求a的值； (3)作点D关于点F的对称点M，作点C关于PD的对称点N,把抛物线L沿x轴翻折后，经适当的平移得 到抛物线L',若抛物线L'恰好同时经过点M,N.试探究抛物线L和抛物线L'是否交于某个定点·若是， 求出该定点坐标；若不是，请说明理由， 【答案】()少=2+1： 1 2)a=4: 3,20) 【详解】(1)解：当=0时，a(x+2(x-4=0 解得： X=-2x3=4 ∴A-2,0)B(4,0) 0A=2, .OE =tan∠PAB=2, 1 OA OE=。OA=1, ∴.E0,1 42/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-2k+b=0 设直线AE的函数表达式为y=x+b,则b=1, 解得： b=1 ∴直线AE的函数表达式为y=x+1, (2)解：·x= 2+4=1 2 ∴.抛物线L的对称轴为直线x=1, 引 :△PCB和△ABC面积相等， .BCI AP, .1 设直线BC的解析式为y=2x+1,则×4+1=0， 2 解得：t=-2, 1 :直线BC的解析式为y=2-2。 ∴.C0,-2 把C(0-2 入y=ax+2x-4到，得8a=-2, 1 解得：a=4: (3)解：抛物线乙和抛物线少'是交于定点-20 ,理由如下 y=a(x+2(x-4=a(x-1)2-9a 一抛物线L的对称轴为直线=1，顶点 D1,-9a 抛物线关于轴对称的抛物线为"=-a(r-+9a 设平移后得到的抛物线y=-a(x-1++9如+，如图： 43/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E W C 又B40).C0,-8a ∴.直线BC的解析式为y=2ax-8a, .F(1,-6a ·点M与点D关于点F对称， .M1,-3a :点N与点C关于PD对称， .N(2,-8a 把1-3a,2,-8a代入L的解折式， -ah2+9a+k=-3a 得： -a(h+l+9a+k=-8a' h=2 得：k=8a, “抛物线好y=-ax+12+a y=-a(x+12+a 联立得： y=ax-1)2-9a’ x=-2 x3=2 解得：y=0,2=-8a, 抛物线乙和抛物线是交于定点-20) 44/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14。(2026上海杨浦二模)已知抛物线y=a+hr+c(a≠0) 抛物线上有点A. 5 5 3 3 2 32-1o十234 32-1o十234 -2 -2 -3H -3 (1)当抛物线顶点坐标 0.-2 且经过1-2,2列时： ①求抛物线解析式： ②点B坐标为 ,0),M为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为m,若∠M1B是锐角，且 tan∠MAB≥2，请求出m的取值范围. .1 (2)已知a=4: ①若b=C=0,A与B的横坐标之和为4，求直线AB的斜率； ②若该抛物线经过点 B2,0、C(0,-2),该抛物线与*轴不同于点B的交点为点4，点D在线段0A上， 延长CD交抛物线于点F,点F的横坐标为”，若5之5c,求”的取值范围 ③若b=0,c=-2,点T为抛物线上第一象限的动点，已知P-l.0、Q(0,4,直线7P与直线T分别 交抛物线于另一点M、N,请问：直线MW是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由. 18 7 【答案】(1)①y=x-2:②7≤m< 2 21@l,@n≤-2-23：③直线MW过定点，定点坐标为 -8,0 0,-2) 【详解】(1)解：①，抛物线顶点坐标为 可设抛物线的解析式为'=心-2 45/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将1-2,2 代入y=m-2,得， 2=4a-2, 解得a=l, 抛物线的解析式为'=r-2 ②如图，设AB交y轴于点E,过点A作AB的垂线，交抛物线于点F,交x轴于点G,在抛物线上取点 1,使得tan∠1A8=2.作直线交'轴于点，作W1B于点， 、E 设直线1B的函数解析式为'=+6， 将4-22，BL0代入=+么，得， 2=-2k+b 10=k+b, 2 k=- 3 解得1 2 3 ..y=- 3 将x=0代入y=- 3,得少2 2., 二x+ 3 3 0 ·点E的坐标为 3 46/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理可得4B=W-2-+2-0=5,E=B2+正-V3 3, AE=AB-BE= 2W13 3, :AF⊥AB, ∠BAG=90=∠BE, ∠OBE=∠ABG, ∴.△BE∽△B4G, √13 ..B BE,即1 3, AB BG 13 BG ..BG= 13 3 10 点G的坐标为 :HJ⊥AB, ∠HA=∠HB=90=∠BE, ∠9=∠BEO, .△BEO∽△日 =月，即1 CBCE 9， 在直角△A中，tan∠1A8=分=2， 9为， 3, 47/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得14 7, 月 8/3 3 21, 在直角人E中，E=H2+日2三多 ..OH=HE+= 7, 22 0. 点H的坐标为”7)， 设直线PG的函数解析式为 y=k,x+b 10。 将4-2,2，G30代入y=kx+h,得， 2=-2k3+b2 10 0= k2+b2’ 3 3 解得 k2 2, b2=5 3 直线G的函数解析式为y= x+5 2 联立直线G与抛物线'=r-2, ，得 y= 2t+5 y=x2-2 7 x=- 2 解得x=-2或) 41 y=2 4 741 点F的坐标为2’4 48/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.,22 同理，直线AH的函数解析式为y=7x+ 7 联立直线1H与抛物线=r一2， ,得， 4,22 y= x+ 7 1， y=x2-2 解得〔x=-2或 226 y=2 y= 49 18226 ∴点1的坐标为7’49， ∠MAB是锐角，且tan∠MAB≥2， ∴点M在点I和点F之间，且不与点F重合， 1 ≤m: -Ix (2)解：①由题意可知，抛物线的解析式为y 4 设点的华标为)点。的坐标为5)则+=4 1 B 设直线AB的函数解析式为 =k3x+b 将448子代入y=+:得， 1 2=kx+b,① 4 4=k+h②' 将①-②，并化简，得， x2-x)-4k(x-x2)=0 因式分解，得5名儿+5-46)=0 49/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5≠龙出+x=4 4-4k3=0mk3=1 ，即 ∴直线AB的斜率为1； ②将点B20,C0,-=2代入y=}2+bx+c,得， 4 0=1+2b+c -2=c 1 b= 解得 2, c=-2 滟物线的解折式为y+ +2-2, 点下的坐标为+2”-2 1 1 将y=0代入少= x2+ 4 -2,得， 1 0三2+2x-2 解得x=-4或2， ∴点A的坐标为 -4,0) 如图， D 由题意可知， XE <XA t<-4, 50/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线CF y=kax+ba 的函数解析式为 Ln+ 1 5n-2=nk+b4 4 -2=b4 11 k=4”+2, 解得了 b=-2 1 ∴直线CF的函数解析式为 将，6代入=+》-2解得x= n+2 (8-0 ∴点D的坐标为n+2, 0205四=0-n822 =-n+2' 5m宁0-+-小-2 2n+4, 2 n+2厂n+2' SAADF≥SACOD n3+6n2-32、 8 2n+4 n+2' n3+6m2-16 移项并合并，得 2n+4 ≥0， (n+2n2+4n-8 因式分解，得 ≥0 2(n+2) .n2+4n-8≥0 51/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得n≤-2-2W5或n之-2+23 n<-4, :n≤-2-23 ③a= 4’b=0’c=-2 湖物线的解折式为y子产-2。 设点，的坐标为-2》 4 设直线P的函数解析式为'=人，x+。, 将7好-2 P-1,0)代入y=k+h,得， [L2-2=k+b 4 0=-k,+b t2-8 4t+4 解得 2-8’ bs= 4t+4 直线p的函数解折式为y=女8X+2-8 X+ TP 4+41 4+4 联立直线7p与桃物线-2，得， y=x-2 4 2-8t2-8 y= 41+4 x+ 4t+4 x-+8 x=t t+1 解得 或 y=2-2 7(8-t, y= 4 4(t+12 52/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t+878-2） “点的坐标为 M 1+1'4t+12 816-2t2 同理，点N的坐标为t’2, 设直线的函数解析式为”=，+么。 t+878-t2) 将4 2入，- 78-2)t+8 4(1+12t+1 。+bs 16-228 =°k6+b6 12 t -可 解得 88-2） 4t(t+1) 8-t288-t2 ,直线MN的函数解析式为'4t+可+4+， -88-t2）88-2] 当x=-8时，y=4+l刊 4t(t+1） =0为定值， 直线MW过定点-8,0叭 03压轴强化训练 1.(2026.上海黄浦一模)已知二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图像经过 43o B(0,5)」 53/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)试用字母a的代数式表示b: 2)如果二次函数P=ar+hr+ 图像上存在点C,使得直线MB垂直平分线段OC,求此二次函数的解析式： y=ax2+bx+c (3)试问：二次函数1 图像的对称轴是否可能平分线段AB？如果能，请求出此时二次函数的解 析式；如果不能，请说明理由. 【答案】b=-4-2 2 x+5 12 3)=次函数'=ar+br+ 图像的对称轴不能平分线段AB,理由见解析 50 【详解】(1)解：把 2 B0,5)代入y=ar2+br+C(a≠0)，得 25 5 a+二b+c=0 4 2 c=5 5 解得b= 2a-2 2 (2)解：如图，设AB与CD相交于点D,作DH⊥OA于点H, H B(0,5), 54/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0A=5,0B=5 、AB=VO4+OB 5) V2 +5 5v5 2 0A0B, 2 550D= 2 5 ,OD=5 ∠AOB=90°， ,∠DOH+∠BOD=∠ABO+∠BOD=90°， .∠DOH=∠ABO, :DH⊥OA ,∠OHD=∠ABO=90°， .△ODH∽△OBA, OH DH OD “OB=0AAB OH DH 5 .5 5 5W5, 2 2 OH=2,DH=1 .D2,1) 直线AB垂直平分线段OC, ∴点D是线段OC的中点， .C4,2) 5 -b=20-2,c=5 55/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+ 2a-2r+5 把C4,2)代入，得 5 2=16a+4-2-2+5, 解得a 5 6 12+5 (3)解： B(0,5), 55 线段AB的中点坐标为4'2 y=ax+ -a-2x+5 对称轴是直线r=20-25a+4 5 -= -2a Aa 55 若图像的对称轴能平分线段4B'则42) 在直线x 5a+4上， Aa 5_5a+4 4 4a .5a=5a+4,此方程无解， 。二次函数'=四+x+C图像的对称轴不能平分线段4B xOy 2.(2026上海普陀·二模)在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为 y=ar(a>0.沿者x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线与x轴的夹角为Q. 56/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y y个 O1衣 O1 衣 备用图 (1)如果ana=4,OM-V7 ,求该抛物线的表达式： (2)已知点N在抛物线的下降部分，且∠OMN=2a. OM ①求MN的值： ②平移抛物线，使新抛物线的顶点O'落在线段MN上，且新抛物线与y轴交于点C.己知点M的纵坐标 为1，当四边形OMCN是以ON为腰的等腰梯形时，求点O'的坐标. 【答案】(1 y=4x2 (√5-513+17 2)①3@2,2 M(x,y)(x>0,y> 【详解】(1)解：设 0,则 tana ==4. x y=4x 又OM=P+=而，代入y=4x, √2+(4x=17x=x7=7 解得x=1,则y=4, M1,4) 把M1 代入Par2 4=a12,a=4, 57/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线表达式为： y=4x2 M.MD∥x D M MD⊥y (2)解：①过点作 轴（点P在点以左侧），则MD1'箱，设DM于'轴交于点4.，过点 N作NB⊥MD于点B. D B 、A M Mm,am2） (m>0,在抛物线上升部分)， MD∥x轴， .∠DMO=∠MOP=a, '∠OMN=2a, ∴∠DMN=∠OMN-∠DMO=a,即MD平分∠OMN. 在RaO4W中，ana=O4am MA m am, 设N,am)(n<0,在抛物线下降部分)， teNBM中，tana= NB an2-am2 在 MB m-n an2-am2 =a1, m-n a(n-m)(n+m)=am, m-n n=-2m, 即点N坐标为 -2m,4am2 .0M=Vm-0)2+am2-0'=mV1+a2m2, MN=-2m-m)2+(4am2-am2'=19m2+9a'm"=3m1+a'm2 2 58/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OM m1+a'm2 1 MN 3mv1+a'm2 3. ② N “点M的纵坐标为1，即ar, 1 .a= m2,M(m,1): N(-2m,4am2) 由①的结论， N(-2m,4) 设直线MN的解析式为y=pr+g, f代入M(m1)、N-2m,4到 1=pm+q 4=-2pm+9, 两式相减得-3=3pm 1 p=- 代入得9=2， 因此直线w的解析式为：y=- -x+2 m ',四边形OMCN是以ON为腰的等腰梯形， ∴OM∥CN, 59/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1-01 OM的坡度为m-0m, 4-c 设C(0,c)（c在y轴上)，Cv的坡度为-2m-0, 14-c 由平行得坡度相等得：m-2m-0’ c=6, 即C(0,6) O(h,k 设平移后抛物线的顶点为 则平移后的抛物线为y=a(x-)+k 抛物线与'轴交于C(0,6) 代入x=0得： ah2+k=6, 又：.O(h,)在直线MW上， 1 ∴k=-h+2, m ，k=+2代入+=6得：+2=6 将as1 m 设tsh =m,方程简化为2-1-4=0：由求根公式得： t=1±7 2, 因O在线段MN上，-2m≤h≤m,m>0, 6-23≤1，即-251≤1 m 1+V17 t= 2舍去， 人 2， 60/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即h=1 2 m 等腰梯形两腰相等， ON=MC ON2=MC2 0W2=（-2m)2+42=4m2+16 MC2=(0-m2+(6-1)2=m2+25 4m2+16=m2+25 m>0, m= h=1-匝x5-5-5团 2 2 +23+行 、1 2, (5-53+7 点0的坐标为2 Γ，2 y=-x+2x+3 3.(2025江苏苏州中考真题)如图，二次函数 的图像与x轴交于B 两点（点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C,作直线8CM(m,),N(m+2为为二次函数+2x+8图像上两点 V (备用图) (1)求直线BC对应函数的表达式； 61/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)试判断是否存在实数m使得少+2=10 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. (3)尼知P是二次函数'=+2x+ M,N 1-m 图像上一点（不与点 “重合)，且点P的横坐标为“，作 △MNP.若直线BC与线段MN,MP分别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写 出所有满足条件的m的值. 【详解】(1)解：，二次函数 y=-x2+2x+3 的图像与x轴交于AB 两点， 令x=0,则y=3, (0,3) 心点C的坐标为 令y=0,则-x2+2x+3=0. 解得x=-1,或x=3, (3,0) 点B的坐标为 设直线BC对应函数的表达式为y=+b,由题意，得 b=3 13k+b=0 [k=-1, 解得b=3. ∴.直线BC对应函数的表达式为y=-x+3 (2)不存在实数m使得片+2%=10 理由如下： 方法一： :M(m,Nm+2,)为二次函数y=-+2x+3图像上两点， ∴.y=-m2+2m+3 2=-(0m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3 .y+2y2=-m2+2m+3+2-m2-2m+3=-3m2-2m+9 配方，得+2%=-m+写 12 3 62/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m=一3时，片+2%有最大值为9 95<10, 不存在实数m使得+2=10 方法三：由方法-，得片+2%=-3m-2m+9 当片+25=10 时，-3m-2m+9=10,即3m+2m+1=0」 △=4-12=-8<0， 方程没有实数根。 “不存在实数m使得乃+2少=10 (3)m=1+5 2—或nsV5 2· 解答如下： NH∥y BC N 如图，作 轴，交x轴于点H,交于点”， B W PQ⊥NH MM'∥y 轴，交BC手点M',则 BC MM'∥NN' 作 ,垂足为Q,作 当x=1-m时，y=-1-m+21-m+3=-m2+4 一点P的坐标为 1-m,-m2+4) “点N的坐标为m+2,-m-2m+3到 63/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·点Q的坐标为 m+2,-m2+4, 点H的坐标为m+2,0) 点N'的坐标为(m+2,-m+1) .NO=PO=2m+1 BH=HN'=-m+1 ∴.∠PNQ=∠BNH=45° PN∥BC, ∴.△MDEAMNP (MD2 △MDE的面积_1 MN △MNP的面积4. MD2AMN,即MD=ND】 .MM'∥NN' .AMM'D∽ANW'D MM MD 1 NN ND=i,即MM'=N “点M的坐标为m,m+2m+3) .点M'的坐标为(m,-m+3)」 ∴.m2-3m=-m2-m+2,即m2-m-1=0. 解得m+ 1-5 2或m= 2· 4.（2025宁夏申考真题)如图，抛物线”=r-2x+3与*销负半轴交于点4，与'轴交于点B,顶点C 的横坐标为-1. 64/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： 2如图1，将直线B沿'轴向上平移m(m>0个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围： (3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D,交x轴于点E,连接AC.抛物线上是否存在点P(不与点 C重合)，使得 D=Sc0,若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由. 【答案】1)少=-r-2x+3 a0ms号 -3+17-3-7 (3)存在点P,横坐标为-2,2,2 【详解】(1)抛物线顶点横坐标为-1， b 21 由顶点公式x=2a,其中b=-2,即2 .a=-1 y=-x2-2x+3 抛物线表达式为 (2)当"=0时，-r-2x+3=0即2+2x-3=0 即 解得x=-3或x=1(舍去)， 故1-3,0) 当=0时，y=3故B0,3) 65/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AB的方程为y=x+b, 将点4-30与点B0,3 代入得b=3,k=1, 直线AB的方程为y=+3」 y=x+3+m 向上平移m个单位后，直线方程为 与抛物线少=--2x+3 联立： --2x+3=x+3+m 整理得：x2+3x+m=0 抛物线与直线有交点时，△=32-4×1×m=9-4m≥0， .9 解得m≤4，又m>0' m的取值范围为0<ms? 4 (3)抛物线对称轴为x=-1. 直线1B:y=+3当x=-1时，y=2,故D-2列 顶点C:当x=-l=--2x-+3=4故C-山4 点-3,0) 1 ScD=)×CD×AE=5×4-2)×2=2 2 设Px,川在抛物线上，)=-2x+3 如图， 66/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P E 情况1：过点C作1B的平行线，与抛物线交于点P,此时5，pD=Scm=2 因OA=OB,且PC∥AB,故可设直线PC的解析式为y=×+t,将点C-,4代入求得(=5，即PC的 解析式为y=x+5, y=-x2-2x+3 联立抛物线方程y=x+5 x=-2x=-1 解得：y=3或y=4, -2,3) ∴点P坐标为 情况2：过点E作1B的平行线，交抛物线于点P与月，因CD=DE 直线PC向下平移到直线B的距离等于直线4B向下平移到直线P4的距离， 当y=X+t过点E时，代入-0 解析式为y=x+1, y=-x2-2x+3 联立y=x+1 整理得：x2+3x-2=0, 解得：x=-3土V7 2 67/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3-17 -3+17 即点的横坐标是2，点B的横坐标是2 综上所述，存在点P横坐标为23+73 2 2 。 5. (2025四川成都中考真题)如图，在平面直角坐标系r0中，抛物线y=a2+r过点-3) 且对称 轴为直线=1 y=-k ，直线 与抛物线交于A,B两点，与x轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： ②当=1时，直线4B与y轴交于点D,与直线=2交于点E,若抛物线=(--与线段DE有公共 点，求h的取值范围： )过点C与B垂直的直线交抛物线于P,Q两点，M,N分别是B,Q 的中点.试探究：当k变化时， 抛物线的对称轴上是否存在定点T,使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请 说明理由， 【答案】)少=r-2x 2)4≤h≤2+V2 8物线的对称精上布在-引 使得TC总是平分∠MTN. 【详解】(1)解：：抛物线”=a+r过点-13引，且对称轴为直线=1， 68/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2a a=1 a-b=3,解得： b=-2 .y=x2-2x (2)当k=1时，则：y=x-1, 当2 当=0y=-1 时，1 D(0,-1,E(2,1 y=x-02-1 y=-1 顶点坐标在直线 上移动， y=(x-)2- 与线段DE有公共点， y=(x-h2-1 联立y=x-1,整理，得：2-(2h+刂x+=0, 当A=2h+12-4h2=0,即：h=-4时， 此时兆物线为=+片广-1，与直线，1的交点是宁寻，在线段0E上，满足愿意， y=(x-)21 y=x-1 D y=1 将y=K--1从h=一4开始向右移动，直至抛物线与线段DB只有一个交点为E2,1时，y=(任-h2-1 69/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与线段DE均有公共点， y=(x-)2-1 不=x-1 y=1 当y=--1过点E2,1时，(2--1=1 解得： h=2-5或h=2+万 当4≤h≤2+V5时，抛物线y=任--1与线段DE有公共点： (3)结论：存在： 解：：y=c-k, 当y=0时，x=1, C1,0 抛物线的对称轴为直线x=1, 点C在抛物线的对称轴上， PO 2过点C,且与直线4B垂直， C ∠PC1=90,设直线PP的解析式为：y=r-, 在直线AB上取点E(m,mk-利，在P巴上取点G,使CG=CE,作GHLx轴，EF上x轴，如图，则 ∠CHG=∠CFE=∠GCE=90°，EF=mk-k,CF=m-1, 70/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ∴.∠ECF=∠HGC=90°-∠HCG, △CEF≌△GCH(AAS) GH=FC=m-1,CH=EF =mk-k ∴.OH=mk-k-1, ÷Gk+1-mk,m-) ,m-1=k(k+1-mk-1 k,=衣' 1 流战阳的解析式为：y-,职：y女+ y=kx-k 联立y=x2-2x,整理，得：x2-(k+2)x+k=0, +xg=k+2 ya+yg=kxa-k+kxn-k=k(x+xg)-2k=k2 :M为AB的中点， 11 y=-一x+ 联立 kk, y=x2-2x 71/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 同理可得： 2k'2k2 假设存在点T,使得TC总是平分∠MTN,如图，作MH⊥CT,M⊥CT, :TC平分∠MTN, ∴.∠NTI=∠MTH s.tan∠NTI=tan∠MTH, MH NI TH TI +211-1+ 2 2k 设 ,则： 22, 1,t) t 2 t- 2k2 解得；1 抛物线的对称轴上存在 使得TC总是平分∠MTN. D I 6.(2025四川南充中考真题抛物线y=ar+2x-a≠0与x轴交于43.0，B两点，N是抛物线顶 4 点 72/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式及点B的坐标. 2如图1，抛物线上两点Pm,,(m+2,),若PQ∥BV,求m的值 M-1,-5 (3)如图2，点 ,如果不垂直于y轴的直线1与抛物线交于点G,H,满足∠GMN=∠HMN.探究 直线l是否过定点？若直线过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由. 1,115 【答案】y=4+方-，B-5,0 2 (2)m=-4 -1,-3 (3)存在定点 【详解】(1)解：把43,0)代入y=ar2+2ar-5 .a=1 4· 抛物线的解析式为y=2+x-15 4 2 4, 12,115 =0 令y=0,则4+2x-4 解得-55=3 .B(-5,0j (2)解：：y=x+12-4,N是抛物线顶点， 4 N(-1,-4) 73/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线B 的解析式为'=x+ B(-5,0)N(-1,-4) 「-5k+b=0 k=-1 -k+b=-4,解得：b=-5, ∴直线BV的解析式为y=-x-5, :PQ∥BN, 可设直线PQ为y=-x+n, +m-9》.m*2时w-2+w+2-》 1 设点Pm4” 1 .∴.二m2+-m- 4 2 星m+n且好m+2++2-片-m+2n .115 1 4 解得：m=-4 (3)解：存在定点T满足条件. 设直线'解析式y=c+力，直线'与抛物线相交于点 G(x3,Hx4,》4 + 115 y= 424, y=kx+b .x2+2-4k)x-15-4b=0 ·.△>0X3+x4=4k-2xx4=-15-4b t作GC LMN,HD⊥MW,GC=-1-MC=⅓+5D=+1MD=y+5 YA B D H M (图2) .'∠GMN=∠HMN 74/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴tan∠GMN=tan∠HMN GC HD 即MCMD' -1-53=x4+1 3+5y4+5’ (x3+1(y4+5)+(x4+(y3+5=0 .(x3+1(4+b+5)+(x4+1)(3+b+5)=0 .2kxx4+(k+b+5)(x3+x4)+2b+10=0 ∴2k(-15-4b)+(k+b+5)4k-2)+2b+10=0 .-4k(b-k+3=0 直线不垂直于y轴， k≠0， .b-k+3=0, .b=k-3, 六直线解析式少=(x+刂-3 :无论k为何值，x=-1,y=-3, 1过定点 -山，-3)，故存在定点 T(-1,-3) 7.(2025四川广安中考真题)如图，二次函数y=x+bx+C(b,c为常数)的图象交x轴于A,B两点， 3 交y轴于点C,已知点B的坐标为 ,0,点C的坐标为0-3，造接4C8C。 75/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标. 3将抛物线沿射线C1的方向平移2而个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线 对称轴上的一点，若以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标. 【容灯少=式--3 4175 2)点P的坐标为8，-3到或4'16 点E的坐标为-514或133成5号到 层x9+96+6=0 【详解】(1解，把89.0，C0,-3到代入到y-写+bx+c中得：Q3 8 b=- 3 c=-3' 港物我解新为行-骨。 (2)解：如图2-1所示，当点P在BC下方时， 76/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图2-1 :∠PCB=∠OBC, .PC∥OB, 点P与点C关于抛物线对称轴对称， 8 抛物线对称辅为直线=一 3二4 1 2× 3 8,-3) ∴点P的坐标为 如图2-2所示，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H, :∠PCB=∠OBC, ..CH=BH, CH2=BH2 设H(m,0) (0-m+(-3-0=(9-m2, 解得m=4, ÷H40) 设直线PC解析式为'=kx+6(k≠0) 4k+b=0 b=-3, 77/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6=-3 直线PC解析式为y= x-3 3 y= x-3 联立 ,解得 75或∫x=0(舍去)， °x-3 y= 16y=-3 4175 点P的坐标为416； 4175 综上所述，点P的坐标为8，-3到或4’16： H B 图2-2 (3)解：由(2)可得原抛物线对称轴为直线=4， B(9,0 由对称性可得1(-1.0) .OA=1, C0-3) 0C=3, 4C=02+0C2=10 78/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将抛物线沿射线CA的方向平移 10 个单位长度后得到新抛物线， 将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， 商物线解析式为yx+2-+2小-3+6=女-音-山， 当BE为对角线时，平行四边形对角线互相平分， ,BE,CF的中点坐标相同， .xE+90+4 22 5 -含-5列-1=4 1 此时点￡的坐标为-5,14)， 当BF为对角线时，平行四边形对角线互相平分， ∴BF,CE的中点坐标相同， ,xE+09+4 22 .xe=13 1 e=5×1324×13=1=38 13,38) ∴此时点E的坐标为 当BC为对角线时，：平行四边形对角线互相平分， :BC,EF的中点坐标相同， .xE+49+0 2 2 =5 %写*52 1 3×5-1=2 3 3 79/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 ∴此时点E的坐标为 综上所运，点的华标为-514安以39测或5到 8. (2025四川宜宾中考真题)如图，0是坐标原点，已知抛物线"=一+x+C与轴交于4、8两点， 与'轴交于C点，其中13,0，C0,3) B 备用图 (1)求b、c的值： (2)点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD,与直线AC交于点E,若DE:BE=l:2,求点D的坐标： )若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为Pm,(m>,若P又在原抛物线上，新抛物线与直 线x=1交于点N,连结FP、PN,∠FPW=120°.探新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点.若存在， 求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)b=2,c=3 aD2,3或DL,4 (3)存在，这两个交点之间的距离为2 【详解】(1)解：依题意，分别把43,0，C0,3到代入=-r++c, [0=-9+3b+c 得3=c [b=2 解得c=3. 80/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)得b=2,c=3, 则y=-x+2x+3C(0,3) 令=0，则 0=-x2+2x+3=（-x+3)(x+1) =35=-1 数8-1,0,43,0) 分别过点E、D作EN⊥OA,DM⊥OA,如图所示： oNM主 :EN⊥OA,DM⊥OA, ∴∠ENB=∠DMB=90°， ∠DBM=∠EBN, ..△DMB∽AENB DM BD ·ENBE' ..DE:BE=1:2, DB:BE=3:2, DM 3 EN2 设点E的纵坐标为2m,则点D的纵坐标为3m, 设AC的解析式为 =kx+rk≠0) C0,3A3,0) 3=r .0=3k+r, 81/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [r=3 解得k=-1, AC y=-x+3 的解析式为 把y=2m代入y=-x+3, 得2m=-x+3, .x=3-2m, E3-2m,2m 设5的解析式为'=+g1≠0) 把E3-2m,2m,8-0分别代入=+9， 2m=t(3-2m)+q 得0=-t+q m t= 2-m 解得 m, 9-2-m -x+m=mx+, BE的解析式为y三2一mT2-m227 依题意，起y=3m代入=2”mx+, 得3m= mx+1）, 2- 则x=5-3m, 即点D5-3m,3m 点D为抛物线上第一象限内一点，且”=+2x+3, .3m=-(5-3m)2+2(5-3m)+3 m2-7m+4=（m-1(3m-4)=0 整理得 82/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=1,m=3: 此时)2”x+川的2-州≠0：放叫=1心=号是符合题意的： 当m=l时，则5-3m=5-3=23m=3,此时D(2,3到 4 当m=考时，则5-3m=5-4=13m=3×写=4，此时D1,4到， 综上： D2,3或D1,4, (3)解：存在，过程如下： 由(2)得'-r+2x+3 整理y=-r+2x+3=-(x-12+4 :F为抛物线的顶点， .F(L4) 平移抛物线使得新顶点为 Pm,川川m>小，P又在原抛物线上，新抛物线与直线x=1交于点N,连结 FP、PN,∠FPN=120°. 如图所示： B 平移后的抛物线的解析式为'=一x-m+n, 把x=1代入y=-(x-m)2+n 得=-(1-m)2+n 点Pm,川在y=-(x-刂+4。 83/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n=-(m-12+4 (m-1刂=4-n w=-(1-m)2+n=-4+n+n=-4+2n .N(1,-4+2n ..P(mn)N(1.-4+2n)F(14) PF2=(m-12+(n-4',PW2=(m-12+[n-(-4+2m]=(m-12+(n-42 则PF2=PN2, 即PF=PW ∴△PFN是等腰三角形， 过点P作PH⊥FN, :∠FPN=120°， EH-120r=60. 则m∠FPH=tam60=F附4A-5. HP m-1 4-n=V3(m-1) 令t=m-1, 4-n=3r 即n=V31+4 n=-(m-12+4 5+4=-2+4 即-V3=0 84/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t-5)=0 4=0,5=V3 5m-1=0,或m-1=5 m=1(舍去)或m=5+1, P1+5,1, 平移后的抛物线解析式为少=x-1-V⑤+1， 令y=0,则0=-x-1-5+1, x-1-5'=1, 即x-1-v5=±1 =2+5,x=5 则：--=2+V5-V3=2 新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2. 9.(2025·黑龙江绥化中考真题)综合与探究 如图，抛物线=+r-5交‘袖于人、8两点，交'轴于点C.直线"=-5经过、C两点，若点 A1,0),B-5,0).点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）· 85/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 D 2 12 -3-2-1Q 23 28 9 -9 10 -10 10 备用图 备用图 (1)求抛物线的函数解析式. (2)过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE=3ED时，求P点坐标. (3)若点F是直线BC上的一个动点.请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P,使△AFP是以PF为斜边 的等腰直角三角形.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】1)P=r+4x-5 2P-3-8)B13,16 (3)存在，P点坐标为 --8,或-29，或2，列 【详解】1)解：：抛物线y=+br-5交x轴于1L,0,B(-5,0两点， a+b-5=0 .25a-5b-5=0, [a=1 解得b=4, y=x2+4x-5 (2)解：少=x+4x-5 ，当=0时，y=-5 C(0,-5) 86/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC y=kx-5 设直线 的解析式为 B-5,0) ∴.-5k-5=0, k=-1, ,y=-x-5 设Px2+4r-5) 则Exx-列 当x<-5时， PE=x2+4x-5-(-x-5)=x2+5xDE=-x-5 PE=3ED, x2+5x=3(-x-5) 解得x=-3(舍去)，或x=-5(舍去)， 点P不存在： 当-5<x<0时， PE=-x-5-x2+4x-5=-x2-5x,DE=x+5 42-5x=3x+5到 解得解得x=-3,或x=-5(舍去)， x2+4x-5=-8 ÷-3-8) 当0<x<I时，PE<CE,点P不存在： 当>1时， PE=x2+4x-5-(-x-5)=x2+5xDE=x+5, x2+5x=3(x+5 87/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=3,或x=-5(舍去)， x2+4x-5=16 B(316) 故P点坐标为-3-8)，B3,16) DB (3)解：过点F,P作FG⊥x轴于G,PH⊥x轴于H,则∠AGF=∠AHP=90°， :△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形. AF=AP,∠PAF=90°， :∠FAG+∠PAH=∠APH+∠PAH=90°， ∴∠FAG=∠APH, ÷△AFG≌PAH(AAS) ∴AH=FG,PH=AG, 设Pmm+4m-5到 当-5<m<1时，AH=1-m,PH=-m2-4m+5, ,FG=1-m, .-x-5=1-m, ∴.x=m-6, F(m-6,1-m) 88/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4G=1-(m-6)=7-m -m2-4m+5=7-m 解得m=-1,m=-2, P坐标为 -18,或29y 当m>1时，AH=m-1,PH=m2+4m-5, .FG=m-1, .-x-5=-1, ∴.x=-m-4, ÷F-m-4,m-) ,AG=1-(-m-4)=m+5 m+4m-5=m+5 解得m=2,m=-5(舍去)， P坐标为 2,7) 故P坐标为-1，-8)，或-2-9，或2) G G A,B 10。(2025四川资阳中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于4，“两点（点在点B 89/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的左边)，与'轴相交于点 0,-3) 1,-4) 且抛物线的顶点坐标为 VA B 备用图 (1)求抛物线的表达式： 2P是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,-,连接BC,DP相交于点E,连接PB.若CDE与 △PBE的面积相等，求点P的坐标； M,N M,N BC G,H (3) 是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为 ·是否存在点 M,N,，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由， 【答案】1)2-2x-3 (720 3存在，正方形的边长为2或V2 【详解】(1)解：：抛物线与'轴相交于点 C0,-3引，且抛物线的顶点坐标为 ,-4 设抛物线的解析式为：y=a(x-)°-4 把C0,-3到代入，得：a(0-l-4=-3, .a=1, y=(x-12-4=x2-2x-3 (2)当=r-2x-3= 时，解得：古=31 90/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,B(3,0) C0,-3) 设直线8C的解折式为：)=红-3，托3,0代入，得：=1， ,y=x-3 作PF上x轴，垂足为点F,设Pm,m-2m-3列，则：0F=m,PF=-m2+2m+3, .BF=3-m, :△CDE与△PBE的面积相等， S.coe+Saa=S,pae+Sae,即： S.B0c=SODP8=SPFB+SODPF .D(0-1 .OD=1, 3×3=-m2m+33-m+-m+2m+31m. 1 7 解得：m=3或m=0（舍去)： (3)存在点M,N使四边形MNHG为正方形， 91/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角 三角形，MN∥BC, BC y=x-3 由(2)可知，直线的解析式为 设M(,,N,直线W解析式为y=r-b y=x-b 联立得： y=x2-2x-3, 消去y得：x2-3x+b-3=0, .NF2=x-x=(x+x2)2-4x=21-4b :△MWF为等腰直角三角形， .MW2=2NF2=42-8b, ×E(x,x-3) NE2=[y2-(x3-3]了=(x-b-x3+32=(b-32 ,四边形MNHG为正方形， NH2=MN2 42-勋=公-60+9. 92/101 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得：b2+10b-75=0, 解得：b=-15或b=5, “正方形边长为MW=V42-8动 W=95成V5.即正方形的边长为2或5 11.(2026上海金山一模)如图，在平面直角坐标系0少中，已知抛物线 y=ax2-2anx+an2+2n+1(a<0 的顶点为4，点-小、C3,) (1)若抛物线经过点B和C,求a的值： (2)如果△ABC的面积小于3，求n的取值范围； (3)点A关于原点的对称点D,连接AC、CD,且AC⊥CD,直线BC与抛物线交于点E、F(点E在点C右 侧)，当△ACE与△CDE相似时，求抛物线的表达式. 【答案】(1)2 3 2)4<n<4 =3-1+9 【详解】(1)解： y=ax-2anx+an+2n+l(a<0) :抛物线的对称轴为直线x=一 2an=n, 2a ·抛物线经过点 B(-1,1、C(3, 93/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :抛物线的对称轴为直线x=3=1 2 .n=1, 抛物线为'=a-2ar+a+2+1=ar2-2ar+a+3 将点B-,代入抛物线可得a+2a+a+3=1, 1 解得：a=- 2 (2)解：·点 (-1,1、C(3,1 .BC=4, ·抛物线的对称轴为直线X=n, ∴An,2n+1 1 当点4在BC上方时，Sc-2×42n+1-l=4n, :△ABC的面积小于3， .4n<3, 解得：n 4 当点4在C下方时，SK 2×41-(2n+1)1=-4n, :△ABC的面积小于3， .-4n<3, 3 解得：n>- 4: 综上可，的取位范国为子网< 3 (3)解：如图，连接AD,OC,令BC与抛物线对称轴的交点为M, 94/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R ，点关于原点的对称点， :An,2n+1 A D :D(-n,-2n-1)OA=OD AC⊥CD,O是AD的中点， 0c=54D=01, .32+P=n2+2n+12, ∴.5n2+4n-9=0, 9 解得：n=1或”= 5 a<0, ·抛物线开口向下， :直线BC与抛物线交于点E、F, .2n+1>1, .n>0, .n=1, y=a2-2ax+a+2+1=a(x-12+3A1,3)D(-l,-3)M(1,1, :AM=CM=2, :'△AMC是等腰直角三角形， \DACM=DCAM=45°， ∴.∠DCM=90°-∠ACM=45°=∠ACM, ∴180°-∠ACM=180°-∠DCM,即∠ACE=∠DCE, 4C=V3-1)2+1-3)2=22,CD=-1-3)2+(-3-1)2=42」 .AC≠CD, .∠AEC≠∠DEC, 95/101 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当△ACE与△CDE相似时，只能∠AEC=∠EDC, AC CE CECD· ∴.CE2=AC.CD=2W2×4V2=16 .CE=4, ·E在点C右侧， E7,1 将E7,山代入抛物线y=r-l+3,得7-+3=1， 1 解得：a=- 18 18x-+3 抛物线的表达式为y= 1 12。(2026上海松江·二模)在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+2与x轴交于点4，与y轴交于 点B,C是直线1B上一点（不与点A重合），且B=BC,抛物线"=r+r 2经过A、C两点. 5 4 3 -5-4-3-2-1012345x -21 -3 (1)求抛物线的表达式： (2)点D在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形OBCD是梯形，求梯形OBCD的面积； B点P、0都在第三象限，其中点P在抛物线上，点°在揽物线的对称轴上，如果△1与△10B相似， 且边PO与边OB对应，求点Q的坐标. 【答实灯回+-2 96/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)4+25 3)-1,-,0-1,8-29 【详解】(1)解：由题可知，一次函数V=2+2与x轴交于点4，与y轴交于点B 则点44,0)，B0,2 C是直线AB上一点，且AB=BC, ∴点B是线段AC的中点， C(m,n 设点 B m+(-4)n+0 “点2，2 .m=4,n=4, 点C44到 将点C,点1代入抛物线'=r+r-2 16a+4b-2=4 得16a-4b-2=0 1 a= 解得： b= 2 则抛物线的表达式为：y=4+与-2。 1 (2)解：由题可得图， :四边形OBCD是梯形， OD∥AC, O为原点， 1 则OD的直线解析式为：y=2x, 97/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 y= 则联立函数得 1 4 x-2 2 x=22[x=-22 解得y=√互或y=-2， 点D在抛物线上，且位于第一象限， .D2V2,2 过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴， 5 4 3 B n hF 3-43-2-1012345x 5aw=amm-5g-5ms2+4到x45+44-2-x25x5=4+25, (3)解：①由题可得，过点作1G1GP,过 Q.QH⊥PH ,过点作 Y 4 TB 12B345x 当AP0=心，△1P0与△0B相似且边P0与边0B对应 AP-A0-4-2, 则P00B2 98/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线y= 2-2, :∠AGP=∠PHQ=90° ∴.∠GAP+∠APG=90°∠APG+∠HPQ=90° ∠GAP=∠HPQ △GAP∽AHPQ GA PG AP :HP =2 OH PO 则抛物线的对称轴为：x=-1, 设点e1-1小：点Pk+-2 PG=k--4) 0-k2+k-2 PG k-（-4) QH =2 则GA 42 =2 h-k2+k-2, HP -1-k 4 2 解得：k=8或k=-2, P Q 点、 都在第三象限， 4k=-2, ∴h=-1, -1,-1 ②由题可得，抛物线的对称轴为x=-1, A M⊥QM M PN⊥QN N 过点“作 交对称轴于“过点作 交对称轴于”， 99/101 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 463 当 A0P=90,△P与AM0B相似月边P0与边OB对应 AQ AO 4 =2 则Pg0B2 1 抛物线y=4+2r-2, 2 :∠AMQ=∠PNQ=90° .∠NPQ+∠PQN=90°∠MQA+∠PQW=90° ∠NPQ=∠MQA △NPQ∽aMQA AM_Me42=2 ON PN PO 则抛物线的对称轴为：x=-1, AM=3 MO=0-h O--) PN=-1-k° AM 3 =2 ON + +k-2 Mg0-h=2 PN -1-k 解得： h=8-2i9或h=8+29 (舍去)， 100/101